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9. 若圆锥的母线长为13 cm,侧面展开图的面积为$65π \ \mathrm{cm}^{2}$,则这个圆锥的高为
12 cm
.答案
9. 12 cm
解析
【分析】要计算圆锥的高，需先明确圆锥侧面展开图的性质：圆锥侧面展开图为扇形，扇形半径等于圆锥母线长，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长。已知母线长和侧面展开图面积，先通过扇形面积公式求出底面圆半径，再利用圆锥的母线、底面半径、高构成直角三角形，结合勾股定理计算高。
【解析】设圆锥底面圆半径为$ r \, \mathrm{cm} $，圆锥母线长$ l = 13 \, \mathrm{cm} $，侧面展开图面积为$ 65π \, \mathrm{cm}^2 $。
1. 圆锥侧面展开图（扇形）的面积公式为$ S = π r l $，代入已知条件得：
$ 65π = π × r × 13 $，解得$ r = 5 \, \mathrm{cm} $。
2. 圆锥的高$ h $、母线$ l $、底面半径$ r $满足勾股定理：$ h^2 + r^2 = l^2 $，因此：
$ h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12 \, \mathrm{cm} $。
【答案】12 cm
【知识点】圆锥的侧面展开图、勾股定理
【点评】本题考查圆锥的基本计算，核心是掌握侧面展开图与圆锥各量的对应关系，利用勾股定理求解高，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.7
【解析】设圆锥底面圆半径为$ r \, \mathrm{cm} $，圆锥母线长$ l = 13 \, \mathrm{cm} $，侧面展开图面积为$ 65π \, \mathrm{cm}^2 $。
1. 圆锥侧面展开图（扇形）的面积公式为$ S = π r l $，代入已知条件得：
$ 65π = π × r × 13 $，解得$ r = 5 \, \mathrm{cm} $。
2. 圆锥的高$ h $、母线$ l $、底面半径$ r $满足勾股定理：$ h^2 + r^2 = l^2 $，因此：
$ h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12 \, \mathrm{cm} $。
【答案】12 cm
【知识点】圆锥的侧面展开图、勾股定理
【点评】本题考查圆锥的基本计算，核心是掌握侧面展开图与圆锥各量的对应关系，利用勾股定理求解高，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.7
10. 如图,在一张正方形纸片上剪下一个半径为$r$的圆形和一个半径为$R$的扇形,使之恰好围成图中所示的圆锥,则$R$与$r$之间的关系是
(第10题)
(第11题)
$R=4r$
.(第10题)
(第11题)
答案
10. $R=4r$
解析
【分析】要推导R与r的关系，需利用圆锥的核心性质：侧面展开图（扇形）的弧长等于底面圆形的周长。首先观察图形，可知剪下的扇形是圆心角为90°（即$\frac{1}{4}$圆）的扇形，据此分别计算扇形弧长和底面圆周长，再根据两者相等列等式求解。
【解析】因为扇形恰好围成圆锥，所以扇形的弧长等于底面圆形的周长。
1. 计算扇形弧长：扇形圆心角为90°，半径为R，根据弧长公式$\frac{nπR}{180}$（n为圆心角度数），代入得弧长为$\frac{90πR}{180} = \frac{πR}{2}$；
2. 计算底面圆周长：底面圆半径为r，周长为$2πr$；
3. 列等式化简：由弧长等于底面周长，得$\frac{πR}{2}=2πr$，两边同时除以π，化简得$\frac{R}{2}=2r$，即$R=4r$。
【答案】$R=4r$
【知识点】圆锥侧面展开图、弧长公式、圆的周长公式
【点评】本题考查圆锥侧面展开图的性质应用，核心是掌握“扇形弧长等于底面圆周长”的关键关系，结合图形特征推导，属于基础几何应用题目，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】因为扇形恰好围成圆锥，所以扇形的弧长等于底面圆形的周长。
1. 计算扇形弧长：扇形圆心角为90°，半径为R，根据弧长公式$\frac{nπR}{180}$（n为圆心角度数），代入得弧长为$\frac{90πR}{180} = \frac{πR}{2}$；
2. 计算底面圆周长：底面圆半径为r，周长为$2πr$；
3. 列等式化简：由弧长等于底面周长，得$\frac{πR}{2}=2πr$，两边同时除以π，化简得$\frac{R}{2}=2r$，即$R=4r$。
【答案】$R=4r$
【知识点】圆锥侧面展开图、弧长公式、圆的周长公式
【点评】本题考查圆锥侧面展开图的性质应用，核心是掌握“扇形弧长等于底面圆周长”的关键关系，结合图形特征推导，属于基础几何应用题目，难度适中。
【难度系数】0.5
11. 如图,小珍同学用半径为10 cm,圆心角为$100°$的扇形纸片,制作一个底面半径为2.5 cm的圆锥侧面,则圆锥上粘贴部分的面积是
$\frac{25}{9}π$
$\mathrm{cm}^{2}$.答案
11. $\frac{25}{9}π$
解析
【分析】
要计算圆锥粘贴部分的面积，需明确：粘贴部分的面积等于制作圆锥侧面的扇形面积减去圆锥的侧面积。先利用扇形面积公式算出扇形总面积，再用圆锥侧面积公式算出圆锥侧面的实际面积，两者作差即可得到结果。
【解析】
1. 计算扇形的面积：
已知扇形半径$ R=10\,\mathrm{cm} $，圆心角$ n=100° $，根据扇形面积公式$ S_{\mathrm{扇}}=\frac{nπ R^2}{360} $，代入得：
$ S_{\mathrm{扇}}=\frac{100×π×10^2}{360}=\frac{10000π}{360}=\frac{250π}{9}\,\mathrm{cm}^2 $。
2. 计算圆锥的侧面积：
圆锥底面半径$ r=2.5\,\mathrm{cm} $，母线长等于扇形半径$ l=10\,\mathrm{cm} $，根据圆锥侧面积公式$ S_{\mathrm{侧}}=π r l $，代入得：
$ S_{\mathrm{侧}}=π×2.5×10=25π=\frac{225π}{9}\,\mathrm{cm}^2 $。
3. 计算粘贴部分的面积：
粘贴部分面积 = 扇形面积 - 圆锥侧面积，即：
$ \frac{250π}{9}-\frac{225π}{9}=\frac{25π}{9}\,\mathrm{cm}^2 $。
【答案】
$\frac{25}{9}π$
【知识点】
扇形面积计算、圆锥侧面积计算
【点评】
本题核心是理解圆锥侧面展开图为扇形，粘贴部分面积为扇形面积与圆锥侧面积的差值，需熟练运用扇形和圆锥侧面积公式，属于基础几何应用题型。
【难度系数】
0.5
要计算圆锥粘贴部分的面积，需明确：粘贴部分的面积等于制作圆锥侧面的扇形面积减去圆锥的侧面积。先利用扇形面积公式算出扇形总面积，再用圆锥侧面积公式算出圆锥侧面的实际面积，两者作差即可得到结果。
【解析】
1. 计算扇形的面积：
已知扇形半径$ R=10\,\mathrm{cm} $，圆心角$ n=100° $，根据扇形面积公式$ S_{\mathrm{扇}}=\frac{nπ R^2}{360} $，代入得：
$ S_{\mathrm{扇}}=\frac{100×π×10^2}{360}=\frac{10000π}{360}=\frac{250π}{9}\,\mathrm{cm}^2 $。
2. 计算圆锥的侧面积：
圆锥底面半径$ r=2.5\,\mathrm{cm} $，母线长等于扇形半径$ l=10\,\mathrm{cm} $，根据圆锥侧面积公式$ S_{\mathrm{侧}}=π r l $，代入得：
$ S_{\mathrm{侧}}=π×2.5×10=25π=\frac{225π}{9}\,\mathrm{cm}^2 $。
3. 计算粘贴部分的面积：
粘贴部分面积 = 扇形面积 - 圆锥侧面积，即：
$ \frac{250π}{9}-\frac{225π}{9}=\frac{25π}{9}\,\mathrm{cm}^2 $。
【答案】
$\frac{25}{9}π$
【知识点】
扇形面积计算、圆锥侧面积计算
【点评】
本题核心是理解圆锥侧面展开图为扇形，粘贴部分面积为扇形面积与圆锥侧面积的差值，需熟练运用扇形和圆锥侧面积公式，属于基础几何应用题型。
【难度系数】
0.5
12. 在数学实验课上,小莹将含$30°$角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周,得到甲、乙两个圆锥,并用作图软件Geogebra画出如图所示的示意图.
小亮观察后说:"甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到,所以它们的侧面积相等."
你认同小亮的说法吗？请说明理由.
小亮观察后说:"甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到,所以它们的侧面积相等."
你认同小亮的说法吗？请说明理由.
答案
12. 不认同
解析
【分析】要判断两个圆锥的侧面积是否相等，需依据圆锥侧面积公式$S_{侧}=π rl$（$r$为底面半径，$l$为母线长）分析：两个圆锥的母线长均为三角尺的斜边$AB$，故母线长$l$相同，只需比较底面半径$r$是否相等。结合含$30°$角的直角三角尺的边长关系，两个直角边长度不同，旋转得到的底面半径不同，因此侧面积不相等。
【解析】设含$30°$角的直角三角尺中，$∠ BAC=30°$，直角边$BC=a$，则斜边$AB=2a$，另一条直角边$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3}a$。
1. 甲圆锥以直角边$AC$为轴旋转，底面半径$r_1=BC=a$，母线长$l=AB=2a$，侧面积$S_甲=π r_1 l=π · a · 2a=2π a^2$；
2. 乙圆锥以直角边$BC$为轴旋转，底面半径$r_2=AC=\sqrt{3}a$，母线长$l=AB=2a$，侧面积$S_乙=π r_2 l=π · \sqrt{3}a · 2a=2\sqrt{3}π a^2$；
因为$2π a^2 ≠ 2\sqrt{3}π a^2$，所以两个圆锥侧面积不相等，不认同小亮的说法。
【答案】不认同
【知识点】圆锥侧面积、含30°角直角三角形性质
【点评】本题需结合圆锥侧面积公式，明确旋转后圆锥的底面半径和母线长，避免仅因母线长相同就误判侧面积相等，考查对公式的理解和应用能力。
【难度系数】0.5
【解析】设含$30°$角的直角三角尺中，$∠ BAC=30°$，直角边$BC=a$，则斜边$AB=2a$，另一条直角边$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3}a$。
1. 甲圆锥以直角边$AC$为轴旋转，底面半径$r_1=BC=a$，母线长$l=AB=2a$，侧面积$S_甲=π r_1 l=π · a · 2a=2π a^2$；
2. 乙圆锥以直角边$BC$为轴旋转，底面半径$r_2=AC=\sqrt{3}a$，母线长$l=AB=2a$，侧面积$S_乙=π r_2 l=π · \sqrt{3}a · 2a=2\sqrt{3}π a^2$；
因为$2π a^2 ≠ 2\sqrt{3}π a^2$，所以两个圆锥侧面积不相等，不认同小亮的说法。
【答案】不认同
【知识点】圆锥侧面积、含30°角直角三角形性质
【点评】本题需结合圆锥侧面积公式，明确旋转后圆锥的底面半径和母线长，避免仅因母线长相同就误判侧面积相等，考查对公式的理解和应用能力。
【难度系数】0.5
13. 如图,物体由两个圆锥组成,其主视图中,$∠ A=90°$,$∠ ABC=105°$.若上面圆锥的侧面积为1,则下面圆锥的侧面积为 (
A. 2
B. $\sqrt{3}$
C. $\dfrac{3}{2}$
D. $\sqrt{2}$
(第13题)
D
)A. 2
B. $\sqrt{3}$
C. $\dfrac{3}{2}$
D. $\sqrt{2}$
(第13题)
答案
13. D
解析
【分析】
本题需结合圆锥侧面积公式，通过分析主视图中三角形的角度和形状，推导两个圆锥母线长的关系，进而求出下面圆锥的侧面积。首先明确：两个圆锥底面为同一个圆，故底面半径相同，圆锥侧面积之比等于母线长之比；再通过角度计算判断三角形形状，得到母线长的比例关系。
【解析】
1. 分析$△ ABD$：
已知$∠ A=90°$，且主视图中$AB=AD$，因此$△ ABD$是等腰直角三角形，可得$∠ ABD=45°$，斜边$BD=\sqrt{2}AB$。
2. 计算$∠ DBC$：
由$∠ ABC=105°$，得$∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=105°-45°=60°$。
3. 分析$△ BCD$：
两个圆锥的母线相等，即$BC=CD$，故$△ BCD$是等腰三角形；又$∠ DBC=60°$，因此$△ BCD$是等边三角形，得$BC=BD$。
4. 求侧面积：
设圆锥底面半径为$r$，上面圆锥侧面积$S_1=π r· AB=1$；下面圆锥侧面积$S_2=π r· BC$。
因为$BC=BD=\sqrt{2}AB$，所以$S_2=π r· \sqrt{2}AB=\sqrt{2}· (π r· AB)=\sqrt{2}×1=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
圆锥侧面积、等腰直角三角形、等边三角形
【点评】
本题结合圆锥主视图，利用三角形性质推导母线长关系，关键在于通过角度计算确定三角形形状，将侧面积问题转化为母线长比例问题，属于中等难度的几何应用题型。
【难度系数】
0.4
本题需结合圆锥侧面积公式，通过分析主视图中三角形的角度和形状，推导两个圆锥母线长的关系，进而求出下面圆锥的侧面积。首先明确：两个圆锥底面为同一个圆，故底面半径相同，圆锥侧面积之比等于母线长之比；再通过角度计算判断三角形形状，得到母线长的比例关系。
【解析】
1. 分析$△ ABD$：
已知$∠ A=90°$，且主视图中$AB=AD$，因此$△ ABD$是等腰直角三角形，可得$∠ ABD=45°$，斜边$BD=\sqrt{2}AB$。
2. 计算$∠ DBC$：
由$∠ ABC=105°$，得$∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=105°-45°=60°$。
3. 分析$△ BCD$：
两个圆锥的母线相等，即$BC=CD$，故$△ BCD$是等腰三角形；又$∠ DBC=60°$，因此$△ BCD$是等边三角形，得$BC=BD$。
4. 求侧面积：
设圆锥底面半径为$r$，上面圆锥侧面积$S_1=π r· AB=1$；下面圆锥侧面积$S_2=π r· BC$。
因为$BC=BD=\sqrt{2}AB$，所以$S_2=π r· \sqrt{2}AB=\sqrt{2}· (π r· AB)=\sqrt{2}×1=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
圆锥侧面积、等腰直角三角形、等边三角形
【点评】
本题结合圆锥主视图，利用三角形性质推导母线长关系，关键在于通过角度计算确定三角形形状，将侧面积问题转化为母线长比例问题，属于中等难度的几何应用题型。
【难度系数】
0.4
14. 如图,在半径为$\sqrt{2}$的圆形纸片中,剪一个圆心角为$90°$的最大扇形阴影部分,则这个扇形的面积为
$π$
;若将此扇形围成一个无底的圆锥不计接头,则圆锥的底面半径为$\frac{1}{2}$
.答案
14. $π$ $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
首先利用圆周角定理确定扇形的半径：扇形圆心角为90°，其两个端点在半径为√2的圆上，根据“90°圆周角所对的弦是圆的直径”，可知扇形两端点的连线为圆的直径，结合等腰直角三角形性质求出扇形半径；再用扇形面积公式计算面积；最后根据“扇形弧长等于圆锥底面周长”，结合弧长和圆周长公式求出圆锥底面半径。
【解析】
1. 求扇形的半径：
设扇形半径为$ l $，由题意，扇形圆心角为90°，其两端点在半径为$ \sqrt{2} $的圆上，根据圆周角定理，90°圆周角所对的弦是圆的直径，因此扇形两端点的连线为圆的直径，长度为$ 2\sqrt{2} $。
该扇形对应的三角形是等腰直角三角形，由勾股定理：$ l^2 + l^2 = (2\sqrt{2})^2 $，即$ 2l^2 = 8 $，解得$ l = 2 $（半径为正数）。
2. 求扇形的面积：
扇形面积公式为$ S = \frac{nπ l^2}{360} $（$ n $为圆心角度数），代入$ n=90° $，$ l=2 $：
$ S = \frac{90π × 2^2}{360} = \frac{1}{4} × 4π = π $。
3. 求圆锥的底面半径：
扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形弧长公式为$ L = \frac{nπ l}{180} $，代入得弧长：
$ L = \frac{90π × 2}{180} = π $。
设圆锥底面半径为$ r $，底面周长为$ 2π r $，则$ 2π r = π $，解得$ r = \frac{1}{2} $。
【答案】
$ π $；$ \frac{1}{2} $
【知识点】
扇形面积计算；圆锥的底面半径；圆周角定理
【点评】
本题结合圆的性质、扇形公式和圆锥周长关系求解，核心是利用圆周角定理确定扇形半径，再通过弧长与底面周长的联系计算圆锥半径，需熟练掌握相关公式和定理，综合性较强。
【难度系数】
0.5
首先利用圆周角定理确定扇形的半径：扇形圆心角为90°，其两个端点在半径为√2的圆上，根据“90°圆周角所对的弦是圆的直径”，可知扇形两端点的连线为圆的直径，结合等腰直角三角形性质求出扇形半径；再用扇形面积公式计算面积；最后根据“扇形弧长等于圆锥底面周长”，结合弧长和圆周长公式求出圆锥底面半径。
【解析】
1. 求扇形的半径：
设扇形半径为$ l $，由题意，扇形圆心角为90°，其两端点在半径为$ \sqrt{2} $的圆上，根据圆周角定理，90°圆周角所对的弦是圆的直径，因此扇形两端点的连线为圆的直径，长度为$ 2\sqrt{2} $。
该扇形对应的三角形是等腰直角三角形，由勾股定理：$ l^2 + l^2 = (2\sqrt{2})^2 $，即$ 2l^2 = 8 $，解得$ l = 2 $（半径为正数）。
2. 求扇形的面积：
扇形面积公式为$ S = \frac{nπ l^2}{360} $（$ n $为圆心角度数），代入$ n=90° $，$ l=2 $：
$ S = \frac{90π × 2^2}{360} = \frac{1}{4} × 4π = π $。
3. 求圆锥的底面半径：
扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形弧长公式为$ L = \frac{nπ l}{180} $，代入得弧长：
$ L = \frac{90π × 2}{180} = π $。
设圆锥底面半径为$ r $，底面周长为$ 2π r $，则$ 2π r = π $，解得$ r = \frac{1}{2} $。
【答案】
$ π $；$ \frac{1}{2} $
【知识点】
扇形面积计算；圆锥的底面半径；圆周角定理
【点评】
本题结合圆的性质、扇形公式和圆锥周长关系求解，核心是利用圆周角定理确定扇形半径，再通过弧长与底面周长的联系计算圆锥半径，需熟练掌握相关公式和定理，综合性较强。
【难度系数】
0.5
