15. 综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示:
①一张直径为10 cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.

【实践操作】
步骤1:取一张滤纸；
步骤2:按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形；
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.

【实践探索】
(1) 滤纸是否能紧贴此漏斗内壁忽略漏斗管口处？用你所学的数学知识说明.
(2) 当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成圆锥形的体积.结果保留$π$

15. (1) 能 (2) $\frac{125}{24}\sqrt{3}π(\mathrm{cm}^{3})$

【分析】
要解决本题，需先明确滤纸折叠后围成圆锥的侧面展开图特征：圆形滤纸折叠成圆锥时，圆锥的侧面展开图为该圆形的一部分，结合圆锥的弧长、母线、底面半径的关系，判断滤纸围成的圆锥与漏斗是否相似，进而解决问题。步骤1：计算滤纸围成圆锥的母线长和底面直径，对比漏斗的参数判断相似性；步骤2：利用圆锥体积公式计算滤纸围成圆锥的体积。
【解析】
(1) 圆形滤纸直径为10cm，故其半径$R=5\ \mathrm{cm}$。将滤纸折叠成圆锥时，圆锥的侧面展开图为圆心角180°的扇形（半圆），扇形半径等于圆锥母线长$l_1=5\ \mathrm{cm}$，扇形弧长为滤纸半圆的弧长，即$\frac{1}{2}×2π R=5π$。
设滤纸围成的圆锥底面半径为$r_1$，则圆锥底面周长等于扇形弧长，即$2π r_1=5π$，解得$r_1=2.5\ \mathrm{cm}$，故该圆锥底面直径$d_1=2r_1=5\ \mathrm{cm}$，母线长与底面直径的比为$l_1:d_1=5:5=1$。
已知漏斗的母线长$l_2=7\ \mathrm{cm}$，底面直径$d_2=7\ \mathrm{cm}$，母线长与底面直径的比为$l_2:d_2=7:7=1$，两个圆锥对应边成比例，故两圆锥相似，形状相同，因此滤纸能紧贴漏斗内壁。
(2) 由(1)知，滤纸围成的圆锥母线长$l_1=5\ \mathrm{cm}$，底面半径$r_1=2.5\ \mathrm{cm}$，根据圆锥高的公式$h=\sqrt{l^2-r^2}$，得圆锥的高：
$h_1=\sqrt{5^2-(2.5)^2}=\sqrt{25-6.25}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$。
圆锥体积公式为$V=\frac{1}{3}π r^2h$，代入参数得：
$V=\frac{1}{3}π×(2.5)^2×\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{3}π×\frac{25}{4}×\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{125}{24}\sqrt{3}π\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1) 能；(2) $\frac{125}{24}\sqrt{3}π\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
圆锥侧面展开图、圆锥相似性、圆锥体积计算
【点评】
本题结合实践操作考查圆锥的核心性质，关键是理解滤纸折叠后圆锥的侧面展开图特征，通过相似性判断贴合性，再利用公式计算体积，需熟练掌握圆锥的弧长、高、体积的关系，难度适中。
【难度系数】
0.5