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疑难点拨
若用半径为2、圆心角为$120°$的扇形围成圆锥,则该圆锥的底面半径为
点拨 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.
若用半径为2、圆心角为$120°$的扇形围成圆锥,则该圆锥的底面半径为
$\frac{2}{3}$
.点拨 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.
答案
$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
本题考查圆锥侧面展开图与底面的关系，核心思路是：圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时，先根据扇形的半径和圆心角计算弧长，再利用圆的周长公式，让弧长等于底面周长，即可求出底面半径。
【解析】
1. 计算扇形的弧长：扇形弧长公式为$ l=\frac{nπ R}{180} $（其中$ n $为圆心角度数，$ R $为扇形半径），代入$ n=120° $，$ R=2 $，得弧长$ l=\frac{120π×2}{180}=\frac{4π}{3} $。
2. 设圆锥底面半径为$ r $，圆锥底面周长等于侧面扇形弧长，圆的周长公式为$ C=2π r $，因此$ 2π r=\frac{4π}{3} $，两边同时除以$ π $得$ 2r=\frac{4}{3} $，解得$ r=\frac{2}{3} $。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长公式、圆的周长公式
【点评】
本题属于圆锥相关的基础题型，关键是掌握“圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长”这一核心关系，公式应用简单，计算量小，是初中数学的常考基础题。
【难度系数】
0.8
本题考查圆锥侧面展开图与底面的关系，核心思路是：圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时，先根据扇形的半径和圆心角计算弧长，再利用圆的周长公式，让弧长等于底面周长，即可求出底面半径。
【解析】
1. 计算扇形的弧长：扇形弧长公式为$ l=\frac{nπ R}{180} $（其中$ n $为圆心角度数，$ R $为扇形半径），代入$ n=120° $，$ R=2 $，得弧长$ l=\frac{120π×2}{180}=\frac{4π}{3} $。
2. 设圆锥底面半径为$ r $，圆锥底面周长等于侧面扇形弧长，圆的周长公式为$ C=2π r $，因此$ 2π r=\frac{4π}{3} $，两边同时除以$ π $得$ 2r=\frac{4}{3} $，解得$ r=\frac{2}{3} $。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长公式、圆的周长公式
【点评】
本题属于圆锥相关的基础题型，关键是掌握“圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长”这一核心关系，公式应用简单，计算量小，是初中数学的常考基础题。
【难度系数】
0.8
1. 已知圆锥的底面圆半径为3,母线长为4,则圆锥的侧面积为 (
A.$6π$
B.$12π$
C.$15π$
D.$24π$
B
)A.$6π$
B.$12π$
C.$15π$
D.$24π$
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查圆锥侧面积的计算，解题思路是：首先明确圆锥侧面积的计算公式，再从题目中提取对应的底面半径和母线长，代入公式计算后匹配选项即可。
【解析】
圆锥的侧面积公式为$ S_{侧} = π r l $（其中$ r $为圆锥底面圆半径，$ l $为圆锥母线长）。
已知圆锥底面圆半径$ r=3 $，母线长$ l=4 $，代入公式得：
$ S_{侧} = π × 3 × 4 = 12π $，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算
【点评】
本题为圆锥侧面积公式的基础应用，只需牢记公式并准确代入数值即可解答，属于简单题。
【难度系数】
0.9
本题考查圆锥侧面积的计算，解题思路是：首先明确圆锥侧面积的计算公式，再从题目中提取对应的底面半径和母线长，代入公式计算后匹配选项即可。
【解析】
圆锥的侧面积公式为$ S_{侧} = π r l $（其中$ r $为圆锥底面圆半径，$ l $为圆锥母线长）。
已知圆锥底面圆半径$ r=3 $，母线长$ l=4 $，代入公式得：
$ S_{侧} = π × 3 × 4 = 12π $，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算
【点评】
本题为圆锥侧面积公式的基础应用，只需牢记公式并准确代入数值即可解答，属于简单题。
【难度系数】
0.9
2. 若一个圆锥的母线长是它底面圆半径的3倍,则它的侧面展开图的圆心角的度数是 (
A.$90°$
B.$120°$
C.$135°$
D.$180°$
B
)A.$90°$
B.$120°$
C.$135°$
D.$180°$
答案
2. B
解析
【分析】要解决这个问题，需明确圆锥侧面展开图的核心性质：圆锥侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。我们可以通过设底面半径，结合弧长公式建立等式，进而求解圆心角的度数。
【解析】设圆锥底面圆的半径为$ r $，由题意得母线长$ l = 3r $，设侧面展开图的圆心角为$ n° $。
因为圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，根据扇形弧长公式$ \mathrm{弧长} = \frac{nπ l}{180} $，底面圆周长为$ 2π r $，可列方程：
$\frac{nπ · 3r}{180} = 2π r$
两边同时约去$ π r $，化简得：
$\frac{3n}{180} = 2$
解得：$ n = \frac{2 × 180}{3} = 120 $，即侧面展开图的圆心角为$ 120° $，对应选项B。
【答案】B
【知识点】圆锥的侧面展开图、弧长计算
【点评】本题考查圆锥侧面展开图与弧长公式的基础应用，核心是掌握“侧面展开图弧长等于底面周长”这一关键关系，计算过程简单，属于基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】设圆锥底面圆的半径为$ r $，由题意得母线长$ l = 3r $，设侧面展开图的圆心角为$ n° $。
因为圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，根据扇形弧长公式$ \mathrm{弧长} = \frac{nπ l}{180} $，底面圆周长为$ 2π r $，可列方程：
$\frac{nπ · 3r}{180} = 2π r$
两边同时约去$ π r $，化简得：
$\frac{3n}{180} = 2$
解得：$ n = \frac{2 × 180}{3} = 120 $，即侧面展开图的圆心角为$ 120° $，对应选项B。
【答案】B
【知识点】圆锥的侧面展开图、弧长计算
【点评】本题考查圆锥侧面展开图与弧长公式的基础应用，核心是掌握“侧面展开图弧长等于底面周长”这一关键关系，计算过程简单，属于基础题型。
【难度系数】0.7
3. 如图,圆锥底面圆的半径为4,则这个圆锥的侧面展开图中$\overset{\frown}{AA'}$的长为 (
A.$4π$
B.$6π$
C.$8π$
D.$16π$
(第3题)
C
)A.$4π$
B.$6π$
C.$8π$
D.$16π$
(第3题)
答案
3. C
解析
【分析】
要计算圆锥侧面展开图中$\overset{\frown}{AA'}$的长，需利用圆锥的核心性质：圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长。因此只需根据底面圆半径，通过圆的周长公式计算底面圆的周长，就能得到$\overset{\frown}{AA'}$的长度。
【解析】
根据圆锥的性质，侧面展开图的弧长等于底面圆的周长。已知圆锥底面圆的半径$r=4$，根据圆的周长公式$C=2π r$，代入计算得：
$C=2π × 4 = 8π$，即$\overset{\frown}{AA'}$的长为$8π$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面展开图、圆的周长公式
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图与底面周长的关系，属于基础题型，只要掌握相关公式即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
要计算圆锥侧面展开图中$\overset{\frown}{AA'}$的长，需利用圆锥的核心性质：圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长。因此只需根据底面圆半径，通过圆的周长公式计算底面圆的周长，就能得到$\overset{\frown}{AA'}$的长度。
【解析】
根据圆锥的性质，侧面展开图的弧长等于底面圆的周长。已知圆锥底面圆的半径$r=4$，根据圆的周长公式$C=2π r$，代入计算得：
$C=2π × 4 = 8π$，即$\overset{\frown}{AA'}$的长为$8π$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面展开图、圆的周长公式
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图与底面周长的关系，属于基础题型，只要掌握相关公式即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
4. 若圆锥的底面半径是2,侧面展开图是一个圆心角为$120°$的扇形,则该圆锥的母线长是
6
.答案
4. 6
解析
【分析】
本题要求圆锥的母线长，核心是明确圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面的周长。解题时，先通过圆的周长公式算出底面周长，再结合扇形弧长公式，利用弧长相等的等量关系列方程，即可求出母线长。
【解析】
设该圆锥的母线长为$ L $。
1. 计算圆锥底面周长：已知底面半径$ r=2 $，根据圆的周长公式$ C=2π r $，得底面周长$ C=2π × 2 = 4π $。
2. 圆锥侧面展开图是圆心角为$ 120° $的扇形，扇形弧长公式为$ l=\frac{nπ L}{180} $（$ n $为圆心角度数，$ L $为扇形半径，即圆锥母线长）。由于扇形弧长等于圆锥底面周长，列方程：
$ \frac{120π L}{180} = 4π $
3. 解方程：两边同除以$ π $得$ \frac{120L}{180}=4 $，化简为$ \frac{2L}{3}=4 $，解得$ L=6 $。
【答案】
6
【知识点】
圆锥的侧面展开图、弧长公式
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图的性质，核心是利用“扇形弧长等于底面圆周长”的关系，结合弧长公式求解，属于基础题型，只要掌握相关公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.4
本题要求圆锥的母线长，核心是明确圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面的周长。解题时，先通过圆的周长公式算出底面周长，再结合扇形弧长公式，利用弧长相等的等量关系列方程，即可求出母线长。
【解析】
设该圆锥的母线长为$ L $。
1. 计算圆锥底面周长：已知底面半径$ r=2 $，根据圆的周长公式$ C=2π r $，得底面周长$ C=2π × 2 = 4π $。
2. 圆锥侧面展开图是圆心角为$ 120° $的扇形，扇形弧长公式为$ l=\frac{nπ L}{180} $（$ n $为圆心角度数，$ L $为扇形半径，即圆锥母线长）。由于扇形弧长等于圆锥底面周长，列方程：
$ \frac{120π L}{180} = 4π $
3. 解方程：两边同除以$ π $得$ \frac{120L}{180}=4 $，化简为$ \frac{2L}{3}=4 $，解得$ L=6 $。
【答案】
6
【知识点】
圆锥的侧面展开图、弧长公式
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图的性质，核心是利用“扇形弧长等于底面圆周长”的关系，结合弧长公式求解，属于基础题型，只要掌握相关公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.4
5. 用一个半径长为6 cm的半圆围成一个圆锥的侧面,则此圆锥的底面半径为
3 cm
.答案
5. 3 cm
解析
【分析】要解决该问题，需明确：用半圆围成圆锥侧面时，半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长。先计算半圆的弧长，再利用圆的周长公式建立等式，即可求出圆锥底面半径。
【解析】
1. 计算半圆的弧长：已知半圆半径为6 cm，半圆的弧长公式为$ l = π R $（$ R $为半圆半径），代入得弧长$ l = π × 6 = 6π \, \mathrm{cm} $。
2. 建立等式：圆锥底面是圆，其周长等于半圆的弧长。设圆锥底面半径为$ r $，圆的周长公式为$ C = 2π r $，因此有$ 2π r = 6π $。
3. 求解半径：两边同时除以$ 2π $，得$ r = 3 \, \mathrm{cm} $。
【答案】3 cm
【知识点】圆锥侧面展开图、圆的周长计算
【点评】本题考查圆锥侧面展开图与底面周长的关系，属于基础题型，核心是理解半圆的弧长等于圆锥底面周长，难度较低。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 计算半圆的弧长：已知半圆半径为6 cm，半圆的弧长公式为$ l = π R $（$ R $为半圆半径），代入得弧长$ l = π × 6 = 6π \, \mathrm{cm} $。
2. 建立等式：圆锥底面是圆，其周长等于半圆的弧长。设圆锥底面半径为$ r $，圆的周长公式为$ C = 2π r $，因此有$ 2π r = 6π $。
3. 求解半径：两边同时除以$ 2π $，得$ r = 3 \, \mathrm{cm} $。
【答案】3 cm
【知识点】圆锥侧面展开图、圆的周长计算
【点评】本题考查圆锥侧面展开图与底面周长的关系，属于基础题型，核心是理解半圆的弧长等于圆锥底面周长，难度较低。
【难度系数】0.6
6. [教材改编]如图,用一个半径为12 cm,面积为$48π \ \mathrm{cm}^{2}$的扇形铁皮,制作一个无底的圆锥不计损耗.
(1) 求扇形的圆心角的度数；
(2) 求圆锥的底面半径$r$.
(1) 求扇形的圆心角的度数；
(2) 求圆锥的底面半径$r$.
答案
6. (1) $120°$ (2) 4 cm
解析
【分析】
要解决本题，需利用扇形的面积公式、弧长公式，以及圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长的关系。第(1)问已知扇形半径和面积，代入扇形面积公式可直接求圆心角；第(2)问先算扇形弧长，再根据圆锥底面周长等于该弧长，结合圆的周长公式求底面半径。
【解析】
(1) 设扇形的圆心角为$n°$，已知扇形半径$R = 12\ \mathrm{cm}$，面积$S = 48π\ \mathrm{cm}^2$。
根据扇形面积公式$S = \frac{nπ R^2}{360}$，代入数据得：
$48π = \frac{nπ × 12^2}{360}$
两边约去$π$，化简得：$48 = \frac{144n}{360}$
解得：$n = \frac{48 × 360}{144} = 120$，即扇形的圆心角为$120°$。
(2) 先求扇形的弧长$l$，根据弧长公式$l = \frac{nπ R}{180}$，代入$n = 120$，$R = 12$得：
$l = \frac{120π × 12}{180} = 8π\ (\mathrm{cm})$
因为圆锥底面周长等于扇形弧长，设圆锥底面半径为$r$，则底面周长为$2π r$，因此：
$2π r = 8π$
两边除以$2π$，解得：$r = 4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $120°$；(2) $4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
扇形面积计算、弧长计算、圆锥与扇形的关系
【点评】
本题为教材改编基础题，考查扇形公式应用及圆锥侧面展开图的性质，核心是明确圆锥底面周长等于侧面扇形的弧长，难度较低，侧重基础知识点的掌握。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需利用扇形的面积公式、弧长公式，以及圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长的关系。第(1)问已知扇形半径和面积，代入扇形面积公式可直接求圆心角；第(2)问先算扇形弧长，再根据圆锥底面周长等于该弧长，结合圆的周长公式求底面半径。
【解析】
(1) 设扇形的圆心角为$n°$，已知扇形半径$R = 12\ \mathrm{cm}$，面积$S = 48π\ \mathrm{cm}^2$。
根据扇形面积公式$S = \frac{nπ R^2}{360}$，代入数据得：
$48π = \frac{nπ × 12^2}{360}$
两边约去$π$，化简得：$48 = \frac{144n}{360}$
解得：$n = \frac{48 × 360}{144} = 120$，即扇形的圆心角为$120°$。
(2) 先求扇形的弧长$l$，根据弧长公式$l = \frac{nπ R}{180}$，代入$n = 120$，$R = 12$得：
$l = \frac{120π × 12}{180} = 8π\ (\mathrm{cm})$
因为圆锥底面周长等于扇形弧长，设圆锥底面半径为$r$，则底面周长为$2π r$，因此：
$2π r = 8π$
两边除以$2π$，解得：$r = 4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $120°$；(2) $4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
扇形面积计算、弧长计算、圆锥与扇形的关系
【点评】
本题为教材改编基础题，考查扇形公式应用及圆锥侧面展开图的性质，核心是明确圆锥底面周长等于侧面扇形的弧长，难度较低，侧重基础知识点的掌握。
【难度系数】
0.6
7. 如图所示是一个几何体的三视图图中尺寸单位:cm,则这个几何体的侧面积为 (
A.$48π \ \mathrm{cm}^{2}$
B.$24π \ \mathrm{cm}^{2}$
C.$12π \ \mathrm{cm}^{2}$
D.$9π \ \mathrm{cm}^{2}$
(第7题)
(第8题)
B
)A.$48π \ \mathrm{cm}^{2}$
B.$24π \ \mathrm{cm}^{2}$
C.$12π \ \mathrm{cm}^{2}$
D.$9π \ \mathrm{cm}^{2}$
(第7题)
(第8题)
答案
7. B
解析
【分析】
首先观察三视图，主视图为三角形、俯视图为圆，可判断该几何体是圆锥。要求圆锥的侧面积，需先从三视图中确定圆锥的底面半径和母线长：由图可知，底面直径为6cm，因此底面半径r=3cm，母线长l=8cm。圆锥侧面积公式为$ S_{侧}=πrl $，将对应数值代入公式即可计算结果。
【解析】
解：由三视图可知，该几何体是圆锥，底面直径为6cm，故底面半径$ r = \frac{6}{2}=3\ \mathrm{cm} $，母线长$ l = 8\ \mathrm{cm} $。
根据圆锥侧面积公式：$ S_{侧}=πrl $，代入$ r=3 $、$ l=8 $得：
$ S_{侧}=π×3×8=24π\ \mathrm{cm}^2 $，对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算；三视图识别
【点评】
本题为基础题型，考查由三视图判断几何体并计算圆锥侧面积，解题关键是从三视图中准确提取底面半径和母线长，运用公式计算即可，难度较低，是初中数学的常考知识点。
【难度系数】
0.6
首先观察三视图，主视图为三角形、俯视图为圆，可判断该几何体是圆锥。要求圆锥的侧面积，需先从三视图中确定圆锥的底面半径和母线长：由图可知，底面直径为6cm，因此底面半径r=3cm，母线长l=8cm。圆锥侧面积公式为$ S_{侧}=πrl $，将对应数值代入公式即可计算结果。
【解析】
解：由三视图可知，该几何体是圆锥，底面直径为6cm，故底面半径$ r = \frac{6}{2}=3\ \mathrm{cm} $，母线长$ l = 8\ \mathrm{cm} $。
根据圆锥侧面积公式：$ S_{侧}=πrl $，代入$ r=3 $、$ l=8 $得：
$ S_{侧}=π×3×8=24π\ \mathrm{cm}^2 $，对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算；三视图识别
【点评】
本题为基础题型，考查由三视图判断几何体并计算圆锥侧面积，解题关键是从三视图中准确提取底面半径和母线长，运用公式计算即可，难度较低，是初中数学的常考知识点。
【难度系数】
0.6
8. (2026山东烟台)某班学生表演课本剧,要制作一顶圆锥形的小丑帽.该圆锥的底面圆的周长为$20π \ \mathrm{cm}$,母线长为30 cm.为了使帽子更美观,要粘贴彩带进行装饰,其中需要粘贴一条从底面圆周上的点A处开始,绕侧面一周又回到点A的彩带彩带宽度忽略不计,这条彩带的最短长度是
$30\sqrt{3}$
cm.答案
8. $30\sqrt{3}$
解析
【分析】
要计算圆锥侧面上绕一周回到点A的最短彩带长度，需将圆锥侧面展开为平面扇形，利用“平面内两点之间线段最短”的原理求解。步骤为：1. 由圆锥底面周长求出侧面展开图扇形的圆心角；2. 确定展开图中对应点的位置，利用三角形知识计算两点间线段长度，即为最短彩带长度。
【解析】
1. 计算圆锥侧面展开图的圆心角：
设扇形圆心角为$n°$，圆锥底面周长等于扇形弧长，即$20π = \frac{nπ × 30}{180}$，解得$n = 120$，即扇形圆心角为$120°$。
2. 求最短彩带长度：
圆锥顶点为$B$，展开后点$A$对应扇形的两个端点，与$B$构成两边长为30cm、夹角为$120°$的三角形。根据余弦定理，两点间线段长度（即最短彩带长度）为：
$\sqrt{30^2 + 30^2 - 2 × 30 × 30 × \cos120°} = \sqrt{900 + 900 - 2 × 900 × (-\frac{1}{2})} = \sqrt{2700} = 30\sqrt{3} \ (\mathrm{cm})$
【答案】
$30\sqrt{3}$
【知识点】
圆锥侧面展开、最短路径、余弦定理
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图的应用，核心是将空间问题转化为平面问题，利用平面几何知识求解最短距离，需掌握圆锥弧长与底面周长的关系及余弦定理的应用。
【难度系数】
0.5
要计算圆锥侧面上绕一周回到点A的最短彩带长度，需将圆锥侧面展开为平面扇形，利用“平面内两点之间线段最短”的原理求解。步骤为：1. 由圆锥底面周长求出侧面展开图扇形的圆心角；2. 确定展开图中对应点的位置，利用三角形知识计算两点间线段长度，即为最短彩带长度。
【解析】
1. 计算圆锥侧面展开图的圆心角：
设扇形圆心角为$n°$，圆锥底面周长等于扇形弧长，即$20π = \frac{nπ × 30}{180}$，解得$n = 120$，即扇形圆心角为$120°$。
2. 求最短彩带长度：
圆锥顶点为$B$，展开后点$A$对应扇形的两个端点，与$B$构成两边长为30cm、夹角为$120°$的三角形。根据余弦定理，两点间线段长度（即最短彩带长度）为：
$\sqrt{30^2 + 30^2 - 2 × 30 × 30 × \cos120°} = \sqrt{900 + 900 - 2 × 900 × (-\frac{1}{2})} = \sqrt{2700} = 30\sqrt{3} \ (\mathrm{cm})$
【答案】
$30\sqrt{3}$
【知识点】
圆锥侧面展开、最短路径、余弦定理
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图的应用，核心是将空间问题转化为平面问题，利用平面几何知识求解最短距离，需掌握圆锥弧长与底面周长的关系及余弦定理的应用。
【难度系数】
0.5
