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22. 所有的循环小数都可以表示成分数，所以它们都属于有理数。在今后的学习中，还会出现无限不循环小数，除了我们在小学阶段学过的“π”，还有哪些无限不循环小数呢？
答案
常见的无限不循环小数还有√2、√3、自然常数e，以及每两个1之间依次多一个0的0.1010010001…这样的数。
解析
【分析】
解题时首先要抓住无限不循环小数的两个核心特点：第一，小数部分的位数是无限的，不会终止；第二，小数部分没有固定重复的循环节。我们可以从三类常见的符合要求的数思考举例：第一类是开平方后无法得到整数或有限小数的数，比如√2、√3，它们的小数部分无限且没有循环规律；第二类是数学中的特殊常数，除了π之外还有自然常数e；第三类是人为构造的有排列规律但不循环的小数，比如每两个1之间依次多一个0的数，它的数字排列有规律，但没有固定重复的循环节，也属于无限不循环小数。
【解析】
首先明确无限不循环小数的定义：小数部分位数无限，且不存在周期性重复出现的数字序列（即没有循环节）的小数就是无限不循环小数。
除了π之外，常见的无限不循环小数分为三类：
1. 开平方开不尽的数，比如√2、√3，它们的小数部分没有循环节且无限延伸；
2. 数学中的特殊常数，比如自然常数e；
3. 人为构造的有规律但不循环的小数，比如每两个1之间依次多一个0的0.1010010001…，它的数字排列有规律，但没有固定循环节，属于无限不循环小数。
【答案】
常见的无限不循环小数还有√2、√3、自然常数e，以及每两个1之间依次多一个0的0.1010010001…这样的数。
【知识点】
1. 无限不循环小数概念
2. 无限不循环小数识别
【点评】
这道题是对小数分类知识的拓展考查，需要在掌握无限不循环小数特征的基础上积累常见例子，要注意区分“有排列规律”和“循环”的差异，有规律的小数不一定是循环小数。
【难度系数】
0.7
解题时首先要抓住无限不循环小数的两个核心特点：第一，小数部分的位数是无限的，不会终止；第二，小数部分没有固定重复的循环节。我们可以从三类常见的符合要求的数思考举例：第一类是开平方后无法得到整数或有限小数的数，比如√2、√3，它们的小数部分无限且没有循环规律；第二类是数学中的特殊常数，除了π之外还有自然常数e；第三类是人为构造的有排列规律但不循环的小数，比如每两个1之间依次多一个0的数，它的数字排列有规律，但没有固定重复的循环节，也属于无限不循环小数。
【解析】
首先明确无限不循环小数的定义：小数部分位数无限，且不存在周期性重复出现的数字序列（即没有循环节）的小数就是无限不循环小数。
除了π之外，常见的无限不循环小数分为三类：
1. 开平方开不尽的数，比如√2、√3，它们的小数部分没有循环节且无限延伸；
2. 数学中的特殊常数，比如自然常数e；
3. 人为构造的有规律但不循环的小数，比如每两个1之间依次多一个0的0.1010010001…，它的数字排列有规律，但没有固定循环节，属于无限不循环小数。
【答案】
常见的无限不循环小数还有√2、√3、自然常数e，以及每两个1之间依次多一个0的0.1010010001…这样的数。
【知识点】
1. 无限不循环小数概念
2. 无限不循环小数识别
【点评】
这道题是对小数分类知识的拓展考查，需要在掌握无限不循环小数特征的基础上积累常见例子，要注意区分“有排列规律”和“循环”的差异，有规律的小数不一定是循环小数。
【难度系数】
0.7
在()里填入两个相同的数,使等式成立。
()×()=16 ()×()=1.44 ()×()=81
()×()=7 ()×()=11 ()×()=21
当我们用小学阶段学过的数无法表示的时候,我们会学习像“$\sqrt{7}$”这样一种数,$\sqrt{7}×\sqrt{7}=7$。$\sqrt{7},\sqrt{11},\sqrt{21}$等用计算器计算后,是一个无限不循环小数,无限不循环小数叫做无理数。
()×()=16 ()×()=1.44 ()×()=81
()×()=7 ()×()=11 ()×()=21
当我们用小学阶段学过的数无法表示的时候,我们会学习像“$\sqrt{7}$”这样一种数,$\sqrt{7}×\sqrt{7}=7$。$\sqrt{7},\sqrt{11},\sqrt{21}$等用计算器计算后,是一个无限不循环小数,无限不循环小数叫做无理数。
答案
解：
对于( )×( )=16，设该数为x，x²=16，解得x=4；
对于( )×( )=1.44，设该数为x，x²=1.44，解得x=1.2；
对于( )×( )=81，设该数为x，x²=81，解得x=9；
对于( )×( )=7，设该数为x，x²=7，解得x=√7；
对于( )×( )=11，设该数为x，x²=11，解得x=√11；
对于( )×( )=21，设该数为x，x²=21，解得x=√21；
对于( )×( )=16，设该数为x，x²=16，解得x=4；
对于( )×( )=1.44，设该数为x，x²=1.44，解得x=1.2；
对于( )×( )=81，设该数为x，x²=81，解得x=9；
对于( )×( )=7，设该数为x，x²=7，解得x=√7；
对于( )×( )=11，设该数为x，x²=11，解得x=√11；
对于( )×( )=21，设该数为x，x²=21，解得x=√21；
解析
【分析】
解题时我们要找到两个相同的数，使它们的乘积等于等式右侧的数。首先回忆已学的整数、小数乘法计算规则，能匹配到对应整数或小数的直接填写；如果找不到已学过的整数、小数满足要求，就根据题目给出的规律：两个相同的$\sqrt{a}$相乘的结果为$a$，用带根号的形式填写即可。
【解析】
1. 求解$( )×( )=16$：回忆乘法口诀“四四十六”，可得$4×4=16$，因此括号填4；
2. 求解$( )×( )=1.44$：已知$12×12=144$，两个乘数都是一位小数时积为两位小数，因此$1.2×1.2=1.44$，括号填1.2；
3. 求解$( )×( )=81$：回忆乘法口诀“九九八十一”，可得$9×9=81$，因此括号填9；
4. 求解$( )×( )=7$：没有整数或小数乘自身等于7，根据题中规律$\sqrt{a}×\sqrt{a}=a$，可得$\sqrt{7}×\sqrt{7}=7$，括号填$\sqrt{7}$；
5. 求解$( )×( )=11$：同理可得$\sqrt{11}×\sqrt{11}=11$，括号填$\sqrt{11}$；
6. 求解$( )×( )=21$：同理可得$\sqrt{21}×\sqrt{21}=21$，括号填$\sqrt{21}$。
【答案】
4，4；1.2，1.2；9，9；$\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$；$\sqrt{11}$，$\sqrt{11}$；$\sqrt{21}$，$\sqrt{21}$
【知识点】
乘法运算；平方根初步；无理数概念
【点评】
本题既考查了学生对整数、小数乘法的掌握熟练度，又通过新知识引入的方式，引导学生自主运用新规律解决问题，帮助学生拓展对数的认知范围。
【难度系数】
0.8
解题时我们要找到两个相同的数，使它们的乘积等于等式右侧的数。首先回忆已学的整数、小数乘法计算规则，能匹配到对应整数或小数的直接填写；如果找不到已学过的整数、小数满足要求，就根据题目给出的规律：两个相同的$\sqrt{a}$相乘的结果为$a$，用带根号的形式填写即可。
【解析】
1. 求解$( )×( )=16$：回忆乘法口诀“四四十六”，可得$4×4=16$，因此括号填4；
2. 求解$( )×( )=1.44$：已知$12×12=144$，两个乘数都是一位小数时积为两位小数，因此$1.2×1.2=1.44$，括号填1.2；
3. 求解$( )×( )=81$：回忆乘法口诀“九九八十一”，可得$9×9=81$，因此括号填9；
4. 求解$( )×( )=7$：没有整数或小数乘自身等于7，根据题中规律$\sqrt{a}×\sqrt{a}=a$，可得$\sqrt{7}×\sqrt{7}=7$，括号填$\sqrt{7}$；
5. 求解$( )×( )=11$：同理可得$\sqrt{11}×\sqrt{11}=11$，括号填$\sqrt{11}$；
6. 求解$( )×( )=21$：同理可得$\sqrt{21}×\sqrt{21}=21$，括号填$\sqrt{21}$。
【答案】
4，4；1.2，1.2；9，9；$\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$；$\sqrt{11}$，$\sqrt{11}$；$\sqrt{21}$，$\sqrt{21}$
【知识点】
乘法运算；平方根初步；无理数概念
【点评】
本题既考查了学生对整数、小数乘法的掌握熟练度，又通过新知识引入的方式，引导学生自主运用新规律解决问题，帮助学生拓展对数的认知范围。
【难度系数】
0.8
23. 把下列各数按要求填入相应的()内。
$-2.7,15,\frac{5}{4},0.11,0,-\frac{5}{14},9.87,69,0.99,\sqrt{15},-5$。
正整数:()。
负整数:()。
正分数:()。
负分数:()。
正有理数:()。
无理数:()。
$-2.7,15,\frac{5}{4},0.11,0,-\frac{5}{14},9.87,69,0.99,\sqrt{15},-5$。
正整数:()。
负整数:()。
正分数:()。
负分数:()。
正有理数:()。
无理数:()。
答案
解：
正整数：(15, 69)
负整数：(-5)
正分数：($\frac{5}{4}$, 0.11, 9.87, 0.99)
负分数：(-2.7, $-\frac{5}{14}$)
正有理数：(15, $\frac{5}{4}$, 0.11, 9.87, 69, 0.99)
无理数：($\sqrt{15}$)
正整数：(15, 69)
负整数：(-5)
正分数：($\frac{5}{4}$, 0.11, 9.87, 0.99)
负分数：(-2.7, $-\frac{5}{14}$)
正有理数：(15, $\frac{5}{4}$, 0.11, 9.87, 69, 0.99)
无理数：($\sqrt{15}$)
解析
【分析】
解题前先明确每类数的定义，再逐个核对给定的数完成分类：①正整数：大于0的整数；②负整数：小于0的整数；③正分数：大于0的分数，有限小数可转化为分数，也属于分数范畴；④负分数：小于0的分数，负的有限小数同样属于分数；⑤正有理数：所有正整数和正分数的统称；⑥无理数：无限不循环小数，开方开不尽的数属于无理数。注意0既不是正数也不是负数，不会归入正、负相关的类别中。
【解析】
我们依次判断每个数的类别：
1. 正整数：大于0的整数，符合的有15、69；
2. 负整数：小于0的整数，符合的有-5；
3. 正分数：大于0的分数（含可化成分数的有限小数），符合的有$\frac{5}{4}$、0.11、9.87、0.99；
4. 负分数：小于0的分数（含可化成分数的负有限小数），符合的有$-2.7$、$-\frac{5}{14}$；
5. 正有理数：正整数加正分数，符合的有15、$\frac{5}{4}$、0.11、9.87、69、0.99；
6. 无理数：$\sqrt{15}$是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数。
【答案】
正整数:(15, 69)
负整数:(-5)
正分数:($\frac{5}{4}$, 0.11, 9.87, 0.99)
负分数:(-2.7, $-\frac{5}{14}$)
正有理数:(15, $\frac{5}{4}$, 0.11, 9.87, 69, 0.99)
无理数:($\sqrt{15}$)
【知识点】
有理数分类、无理数识别、数的正负判断
【点评】
本题属于数的分类基础题，解题关键是牢记各类数的定义，注意有限小数归为分数、0既不是正数也不是负数，做题时逐一核对每个数，避免漏选或错选。
【难度系数】
0.85
解题前先明确每类数的定义，再逐个核对给定的数完成分类：①正整数：大于0的整数；②负整数：小于0的整数；③正分数：大于0的分数，有限小数可转化为分数，也属于分数范畴；④负分数：小于0的分数，负的有限小数同样属于分数；⑤正有理数：所有正整数和正分数的统称；⑥无理数：无限不循环小数，开方开不尽的数属于无理数。注意0既不是正数也不是负数，不会归入正、负相关的类别中。
【解析】
我们依次判断每个数的类别：
1. 正整数：大于0的整数，符合的有15、69；
2. 负整数：小于0的整数，符合的有-5；
3. 正分数：大于0的分数（含可化成分数的有限小数），符合的有$\frac{5}{4}$、0.11、9.87、0.99；
4. 负分数：小于0的分数（含可化成分数的负有限小数），符合的有$-2.7$、$-\frac{5}{14}$；
5. 正有理数：正整数加正分数，符合的有15、$\frac{5}{4}$、0.11、9.87、69、0.99；
6. 无理数：$\sqrt{15}$是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数。
【答案】
正整数:(15, 69)
负整数:(-5)
正分数:($\frac{5}{4}$, 0.11, 9.87, 0.99)
负分数:(-2.7, $-\frac{5}{14}$)
正有理数:(15, $\frac{5}{4}$, 0.11, 9.87, 69, 0.99)
无理数:($\sqrt{15}$)
【知识点】
有理数分类、无理数识别、数的正负判断
【点评】
本题属于数的分类基础题，解题关键是牢记各类数的定义，注意有限小数归为分数、0既不是正数也不是负数，做题时逐一核对每个数，避免漏选或错选。
【难度系数】
0.85
