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1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A:∠ B:∠ C=2:m:4$，则$m$的值是________。
答案
解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，有一个内角为$90°$，且三角形内角和为$180°$。
设$∠ A=2x$，$∠ B=mx$，$∠ C=4x$，可得$2x+mx+4x=180°$。
分两种情况讨论：
1. 若$∠ B$为直角，则$mx=90°$，代入得$2x+4x=90°$，解得$x=15°$，因此$m×15°=90°$，得$m=6$。
2. 若$∠ C$为直角，则$4x=90°$，解得$x=22.5°$，代入$2x+mx=90°$，得$45°+22.5° m=90°$，解得$m=2$。
若$∠ A$为直角，则$2x=90°$，$x=45°$，此时$4x=180°$，不符合三角形内角定义，舍去。
综上，$m$的值是$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{6}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，有一个内角为$90°$，且三角形内角和为$180°$。
设$∠ A=2x$，$∠ B=mx$，$∠ C=4x$，可得$2x+mx+4x=180°$。
分两种情况讨论：
1. 若$∠ B$为直角，则$mx=90°$，代入得$2x+4x=90°$，解得$x=15°$，因此$m×15°=90°$，得$m=6$。
2. 若$∠ C$为直角，则$4x=90°$，解得$x=22.5°$，代入$2x+mx=90°$，得$45°+22.5° m=90°$，解得$m=2$。
若$∠ A$为直角，则$2x=90°$，$x=45°$，此时$4x=180°$，不符合三角形内角定义，舍去。
综上，$m$的值是$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{6}$。
解析
【分析】
本题是结合直角三角形性质与三角形内角和的计算题，解题思路如下：首先明确直角三角形有且仅有1个内角为90°，且三角形内角和为180°；题目仅给出三个角的度数比，未指定直角，因此需要分类讨论。先排除不可能的情况：若比例为2的∠A是直角，那么比例为4的∠C会等于180°，不符合三角形内角定义，因此只需分∠B为直角、∠C为直角两种情况，分别结合内角和列方程求解即可。
【解析】
解：设$∠ A=2x$，$∠ B=mx$，$∠ C=4x$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$2x+mx+4x=180°$
分情况讨论：
1. 若$∠ B$为直角，则$mx=90°$，代入上式得$2x+4x=90°$，解得$x=15°$。
将$x=15°$代入$mx=90°$，得$15m=90$，解得$m=6$。
2. 若$∠ C$为直角，则$4x=90°$，解得$x=22.5°$。
代入$2x+mx=90°$，得$45+22.5m=90$，解得$m=2$。
3. 若$∠ A$为直角，则$2x=90°$，解得$x=45°$，此时$∠ C=4x=180°$，不符合三角形内角的取值要求，故舍去。
综上，$m$的值为2或6。
【答案】
$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{6}$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的定义；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略直角的不确定性，漏写其中一个解。解答未明确直角的直角三角形相关问题时，要注意分类讨论，求出结果后还需验证是否符合三角形内角的取值要求，避免出现不符合定义的情况。
【难度系数】
0.6
本题是结合直角三角形性质与三角形内角和的计算题，解题思路如下：首先明确直角三角形有且仅有1个内角为90°，且三角形内角和为180°；题目仅给出三个角的度数比，未指定直角，因此需要分类讨论。先排除不可能的情况：若比例为2的∠A是直角，那么比例为4的∠C会等于180°，不符合三角形内角定义，因此只需分∠B为直角、∠C为直角两种情况，分别结合内角和列方程求解即可。
【解析】
解：设$∠ A=2x$，$∠ B=mx$，$∠ C=4x$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$2x+mx+4x=180°$
分情况讨论：
1. 若$∠ B$为直角，则$mx=90°$，代入上式得$2x+4x=90°$，解得$x=15°$。
将$x=15°$代入$mx=90°$，得$15m=90$，解得$m=6$。
2. 若$∠ C$为直角，则$4x=90°$，解得$x=22.5°$。
代入$2x+mx=90°$，得$45+22.5m=90$，解得$m=2$。
3. 若$∠ A$为直角，则$2x=90°$，解得$x=45°$，此时$∠ C=4x=180°$，不符合三角形内角的取值要求，故舍去。
综上，$m$的值为2或6。
【答案】
$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{6}$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的定义；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略直角的不确定性，漏写其中一个解。解答未明确直角的直角三角形相关问题时，要注意分类讨论，求出结果后还需验证是否符合三角形内角的取值要求，避免出现不符合定义的情况。
【难度系数】
0.6
2.如图，E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1=∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？
答案
解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵ ED⊥AB，
∴ ∠ADE = 90°，
∴ 在Rt△ADE中，∠A + ∠1 = 90°。
又∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠A + ∠2 = 90°。
在△ABC中，∠C = 180° - (∠A + ∠2) = 180° - 90° = 90°，
∴ △ABC是直角三角形。
∵ ED⊥AB，
∴ ∠ADE = 90°，
∴ 在Rt△ADE中，∠A + ∠1 = 90°。
又∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠A + ∠2 = 90°。
在△ABC中，∠C = 180° - (∠A + ∠2) = 180° - 90° = 90°，
∴ △ABC是直角三角形。
解析
【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，只需验证其存在一个内角为90°即可。首先从已知条件ED⊥AB入手，可得△ADE是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，能推出∠A+∠1=90°；再结合给出的∠1=∠2，通过等量代换得到∠A+∠2=90°；最后利用三角形内角和定理计算∠C的度数，即可得出结论。
【解析】
△ABC是直角三角形，理由如下：
∵ ED⊥AB，
∴ ∠ADE = 90°，
∴ 在Rt△ADE中，∠A + ∠1 = 90°。
又
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠A + ∠2 = 90°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠C = 180° - (∠A + ∠2) = 180° - 90° = 90°，
∴ △ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形，理由如下：
∵ ED⊥AB，
∴ ∠ADE = 90°，
∴ 在Rt△ADE中，∠A + ∠1 = 90°。
又
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠A + ∠2 = 90°。
在△ABC中，∠C = 180° - (∠A + ∠2) = 180° - 90° = 90°，
∴ △ABC是直角三角形。
【知识点】
直角三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是借助垂直性质得到互余的角，再通过等量代换结合三角形内角和定理推导出直角，主要考查学生对基础几何定理的应用能力和简单的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC是否为直角三角形，只需验证其存在一个内角为90°即可。首先从已知条件ED⊥AB入手，可得△ADE是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，能推出∠A+∠1=90°；再结合给出的∠1=∠2，通过等量代换得到∠A+∠2=90°；最后利用三角形内角和定理计算∠C的度数，即可得出结论。
【解析】
△ABC是直角三角形，理由如下：
∵ ED⊥AB，
∴ ∠ADE = 90°，
∴ 在Rt△ADE中，∠A + ∠1 = 90°。
又
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠A + ∠2 = 90°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠C = 180° - (∠A + ∠2) = 180° - 90° = 90°，
∴ △ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形，理由如下：
∵ ED⊥AB，
∴ ∠ADE = 90°，
∴ 在Rt△ADE中，∠A + ∠1 = 90°。
又
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠A + ∠2 = 90°。
在△ABC中，∠C = 180° - (∠A + ∠2) = 180° - 90° = 90°，
∴ △ABC是直角三角形。
【知识点】
直角三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是借助垂直性质得到互余的角，再通过等量代换结合三角形内角和定理推导出直角，主要考查学生对基础几何定理的应用能力和简单的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
1.如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝38°，则∠A等于。
答案
$\boldsymbol{52°}$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据AB、CD交于点O，利用对顶角相等，找到与∠BOD相等的角∠AOC；第二步，由AC⊥CD可知△ACO是直角三角形，直角三角形的两个锐角之和为90°；第三步，用90°减去∠AOC的度数即可求出∠A的大小。
【解析】
解：
∵直线AB、CD相交于点O
∴∠AOC = ∠BOD = 38°（对顶角相等）
又
∵AC⊥CD
∴∠C = 90°，即△ACO为直角三角形
根据直角三角形两锐角互余可得：
∠A = 90° - ∠AOC = 90° - 38° = 52°
【答案】
$\boldsymbol{52°}$
【知识点】
对顶角相等；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是利用对顶角相等完成角度的转化，再结合直角三角形的角度性质计算，解题时注意找准对应的角的关系即可。
【难度系数】
0.85
解题思路可分为三步：第一步，根据AB、CD交于点O，利用对顶角相等，找到与∠BOD相等的角∠AOC；第二步，由AC⊥CD可知△ACO是直角三角形，直角三角形的两个锐角之和为90°；第三步，用90°减去∠AOC的度数即可求出∠A的大小。
【解析】
解：
∵直线AB、CD相交于点O
∴∠AOC = ∠BOD = 38°（对顶角相等）
又
∵AC⊥CD
∴∠C = 90°，即△ACO为直角三角形
根据直角三角形两锐角互余可得：
∠A = 90° - ∠AOC = 90° - 38° = 52°
【答案】
$\boldsymbol{52°}$
【知识点】
对顶角相等；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是利用对顶角相等完成角度的转化，再结合直角三角形的角度性质计算，解题时注意找准对应的角的关系即可。
【难度系数】
0.85
2.如图，直线$AE // BC$，$BA ⊥ AC$.若$∠ ABC = 54°$，则$∠ EAC =$.
答案
$\boldsymbol{36°}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据垂直的定义得到△ABC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知的∠ABC的度数，先求出∠ACB的度数；再根据平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，可得∠EAC和∠ACB相等，即可求出∠EAC的大小。
【解析】
解：
∵ BA ⊥ AC，
∴ ∠BAC = 90°（垂直的定义），
在Rt△ABC中，∠ABC + ∠ACB = 90°（直角三角形的两个锐角互余），
已知∠ABC = 54°，
∴ ∠ACB = 90° - 54° = 36°，
又
∵ DE // BC，
∴ ∠EAC = ∠ACB（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠EAC = 36°。
【答案】
$\boldsymbol{36°}$
【知识点】
直角三角形的性质、平行线的性质、垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，主要结合平行线和直角三角形的性质考查角度计算，解题的关键是准确识别图形中的内错角，掌握直角三角形的内角特征，是几何入门的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先根据垂直的定义得到△ABC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知的∠ABC的度数，先求出∠ACB的度数；再根据平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，可得∠EAC和∠ACB相等，即可求出∠EAC的大小。
【解析】
解：
∵ BA ⊥ AC，
∴ ∠BAC = 90°（垂直的定义），
在Rt△ABC中，∠ABC + ∠ACB = 90°（直角三角形的两个锐角互余），
已知∠ABC = 54°，
∴ ∠ACB = 90° - 54° = 36°，
又
∵ DE // BC，
∴ ∠EAC = ∠ACB（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠EAC = 36°。
【答案】
$\boldsymbol{36°}$
【知识点】
直角三角形的性质、平行线的性质、垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，主要结合平行线和直角三角形的性质考查角度计算，解题的关键是准确识别图形中的内错角，掌握直角三角形的内角特征，是几何入门的常考题型。
【难度系数】
0.8
3.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD$交$BC$于点$D$,$BE⊥ AD$于点$E$.若$∠ DBE=28°$,则$∠ CAD=$.
答案
$\boldsymbol{28°}$
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：已知有两个直角∠C和∠E，同时存在对顶角∠ADC与∠BDE。我们可以利用直角三角形两锐角互余的性质，分别表示出两个直角三角形中两个锐角的和，再结合对顶角相等，通过等角的余角相等即可推出∠CAD和∠DBE相等，从而得到所求角的度数。
【解析】
解：
∵∠C=90°，BE⊥AD，
∴∠C=∠E=90°。
在Rt△ACD中，根据直角三角形两锐角互余可得：∠CAD + ∠ADC = 90°；
在Rt△BED中，同理可得：∠DBE + ∠BDE = 90°。
∵∠ADC和∠BDE是对顶角，
∴∠ADC=∠BDE。
根据等角的余角相等，可得∠CAD=∠DBE。
又
∵∠DBE=28°，
∴∠CAD=28°。
【答案】
28°
【知识点】
直角三角形的性质，对顶角的性质，余角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查直角三角形锐角关系和余角的性质，解题的关键是找准两个直角三角形中相等的对顶角，利用等角的余角相等快速推导，无需复杂计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形特征：已知有两个直角∠C和∠E，同时存在对顶角∠ADC与∠BDE。我们可以利用直角三角形两锐角互余的性质，分别表示出两个直角三角形中两个锐角的和，再结合对顶角相等，通过等角的余角相等即可推出∠CAD和∠DBE相等，从而得到所求角的度数。
【解析】
解：
∵∠C=90°，BE⊥AD，
∴∠C=∠E=90°。
在Rt△ACD中，根据直角三角形两锐角互余可得：∠CAD + ∠ADC = 90°；
在Rt△BED中，同理可得：∠DBE + ∠BDE = 90°。
∵∠ADC和∠BDE是对顶角，
∴∠ADC=∠BDE。
根据等角的余角相等，可得∠CAD=∠DBE。
又
∵∠DBE=28°，
∴∠CAD=28°。
【答案】
28°
【知识点】
直角三角形的性质，对顶角的性质，余角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查直角三角形锐角关系和余角的性质，解题的关键是找准两个直角三角形中相等的对顶角，利用等角的余角相等快速推导，无需复杂计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
4.如图，已知∠AON=40°,P是射线ON上一动点.在点P的运动过程中，当△AOP为直角三角形时，∠A=.
答案
解：
分两种情况讨论：
① 若∠APO = 90°，
根据直角三角形的两个锐角互余，得∠A + ∠AON = 90°。
∵∠AON = 40°，
∴∠A = 90° - 40° = 50°。
② 若∠OAP = 90°，即∠A = 90°，
此时∠APO = 180° - 90° - 40° = 50°，符合三角形内角和定理。
已知∠AON = 40°≠90°，因此∠O不可能为直角。
综上，∠A = 50°或90°。
分两种情况讨论：
① 若∠APO = 90°，
根据直角三角形的两个锐角互余，得∠A + ∠AON = 90°。
∵∠AON = 40°，
∴∠A = 90° - 40° = 50°。
② 若∠OAP = 90°，即∠A = 90°，
此时∠APO = 180° - 90° - 40° = 50°，符合三角形内角和定理。
已知∠AON = 40°≠90°，因此∠O不可能为直角。
综上，∠A = 50°或90°。
解析
【分析】
解决本题首先要明确：题目仅说明△AOP是直角三角形，未指定直角的位置，因此需要先对直角的位置进行分类讨论。已知∠AON=40°，显然∠O不可能是直角，因此仅需考虑直角为∠APO、直角为∠A两种情况，再结合直角三角形两锐角互余的性质分别计算∠A的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 若∠APO = 90°，
根据直角三角形的两个锐角互余，得∠A + ∠AON = 90°。
∵∠AON = 40°，
∴∠A = 90° - 40° = 50°。
② 若∠OAP = 90°，即∠A = 90°，
此时∠APO = 180° - 90° - 40° = 50°，符合三角形内角和定理。
已知∠AON = 40°≠90°，因此∠O不可能为直角，无需讨论。
综上，∠A的度数为50°或90°。
【答案】
50°或90°
【知识点】
直角三角形性质，三角形内角和定理，分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略直角顶点的不确定性，漏算其中一种情况。遇到未指明直角的直角三角形相关问题时，要先对直角的位置进行分类，排除不可能的情况后逐一计算，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确：题目仅说明△AOP是直角三角形，未指定直角的位置，因此需要先对直角的位置进行分类讨论。已知∠AON=40°，显然∠O不可能是直角，因此仅需考虑直角为∠APO、直角为∠A两种情况，再结合直角三角形两锐角互余的性质分别计算∠A的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 若∠APO = 90°，
根据直角三角形的两个锐角互余，得∠A + ∠AON = 90°。
∵∠AON = 40°，
∴∠A = 90° - 40° = 50°。
② 若∠OAP = 90°，即∠A = 90°，
此时∠APO = 180° - 90° - 40° = 50°，符合三角形内角和定理。
已知∠AON = 40°≠90°，因此∠O不可能为直角，无需讨论。
综上，∠A的度数为50°或90°。
【答案】
50°或90°
【知识点】
直角三角形性质，三角形内角和定理，分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略直角顶点的不确定性，漏算其中一种情况。遇到未指明直角的直角三角形相关问题时，要先对直角的位置进行分类，排除不可能的情况后逐一计算，避免漏解。
【难度系数】
0.7
5. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，若一个锐角等于$40°$，则另一个锐角的度数为（）
A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$
A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的是直角三角形，结合直角三角形的性质可知其有一个内角为90°，再根据三角形内角和为180°，可推出直角三角形的两个锐角之和为90°（即两锐角互余），已知其中一个锐角的度数，用90°减去已知锐角的度数，就能求出另一个锐角的度数。
【解析】
∵ △ABC是直角三角形
∴ 该三角形有一个内角为90°
根据三角形内角和为180°，可得两个锐角的和为：$180°-90°=90°$
已知其中一个锐角为$40°$，则另一个锐角的度数为：$90°-40°=50°$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念应用题，直接考查直角三角形的角度性质，熟练掌握相关性质即可快速得出答案，计算量小。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目给出的是直角三角形，结合直角三角形的性质可知其有一个内角为90°，再根据三角形内角和为180°，可推出直角三角形的两个锐角之和为90°（即两锐角互余），已知其中一个锐角的度数，用90°减去已知锐角的度数，就能求出另一个锐角的度数。
【解析】
∵ △ABC是直角三角形
∴ 该三角形有一个内角为90°
根据三角形内角和为180°，可得两个锐角的和为：$180°-90°=90°$
已知其中一个锐角为$40°$，则另一个锐角的度数为：$90°-40°=50°$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念应用题，直接考查直角三角形的角度性质，熟练掌握相关性质即可快速得出答案，计算量小。
【难度系数】
0.9
6.如图，已知$AC⊥BC$于点$C$，$CD⊥AB$于点$D$，$∠A=56°$，则$∠DCB$的度数是（）
A.$30°$
B.$45°$
C.$56°$
D.$60°$
A.$30°$
B.$45°$
C.$56°$
D.$60°$
答案
C
解析
【分析】
解题时先从题目给出的垂直条件入手，垂直可以得到90°的角，对应直角三角形。根据直角三角形的两个锐角互余，分别在Rt△ACB和Rt△CDB中表示出和∠B互余的角，再根据“同角的余角相等”即可推出∠DCB和∠A相等，代入∠A的度数就能得到结果。
【解析】
解：
∵$AC⊥BC$，
∴$∠ACB=90°$，即在$Rt△ ACB$中，$∠A + ∠B = 90°$。
又
∵$CD⊥AB$，
∴$∠CDB=90°$，即在$Rt△ CDB$中，$∠DCB + ∠B = 90°$。
根据同角的余角相等，可得$∠DCB=∠A$，
∵$∠A=56°$，
∴$∠DCB=56°$。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题是基础题型，解题的核心是利用垂直得到直角三角形，再结合余角的性质推导等角，熟练掌握直角三角形的性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先从题目给出的垂直条件入手，垂直可以得到90°的角，对应直角三角形。根据直角三角形的两个锐角互余，分别在Rt△ACB和Rt△CDB中表示出和∠B互余的角，再根据“同角的余角相等”即可推出∠DCB和∠A相等，代入∠A的度数就能得到结果。
【解析】
解：
∵$AC⊥BC$，
∴$∠ACB=90°$，即在$Rt△ ACB$中，$∠A + ∠B = 90°$。
又
∵$CD⊥AB$，
∴$∠CDB=90°$，即在$Rt△ CDB$中，$∠DCB + ∠B = 90°$。
根据同角的余角相等，可得$∠DCB=∠A$，
∵$∠A=56°$，
∴$∠DCB=56°$。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题是基础题型，解题的核心是利用垂直得到直角三角形，再结合余角的性质推导等角，熟练掌握直角三角形的性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
7.如图是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB=（）
A.$60°$
B.$75°$
C.$85°$
D.$105°$
A.$60°$
B.$75°$
C.$85°$
D.$105°$
答案
B
解析
【分析】
首先明确一副标准三角尺的固定内角度数：含30°角的三角尺三个角分别为30°、60°、90°，等腰直角三角尺三个角分别为45°、45°、90°。观察图形可得△ABE中，∠A=60°，∠ABE=45°，结合三角形内角和为180°，代入计算即可求出∠AEB的度数。
【解析】
解：根据三角尺的角度特征可知：
∠A=60°，∠ABE=45°
由三角形内角和定理（三角形内角和为180°）可得：
∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-60°-45°=75°
【答案】
B
【知识点】
三角尺的角度特征，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练识记三角尺的固定角度，再结合三角形内角和定理计算即可，注意不要混淆两种三角尺的锐角度数。
【难度系数】
0.8
首先明确一副标准三角尺的固定内角度数：含30°角的三角尺三个角分别为30°、60°、90°，等腰直角三角尺三个角分别为45°、45°、90°。观察图形可得△ABE中，∠A=60°，∠ABE=45°，结合三角形内角和为180°，代入计算即可求出∠AEB的度数。
【解析】
解：根据三角尺的角度特征可知：
∠A=60°，∠ABE=45°
由三角形内角和定理（三角形内角和为180°）可得：
∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-60°-45°=75°
【答案】
B
【知识点】
三角尺的角度特征，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练识记三角尺的固定角度，再结合三角形内角和定理计算即可，注意不要混淆两种三角尺的锐角度数。
【难度系数】
0.8
8.如图,在$Rt△ ABC$中,$AC≠AB$,$AD$是斜边上的高,$DE⊥AB$,$DF⊥AB$,垂足分别为点$E$,$F$,则图中与$∠ C$相等的角的个数是()
A.4
B.3
C.2
D.1
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
B
解析
【分析】
要找出图中与∠C相等的角，可利用直角三角形两锐角互余的性质，结合“同角的余角相等”这一结论推导：首先找到所有和∠C互余的角，再看哪些角也和这个互余的角互余，这些角就和∠C相等，逐一排查即可得到总数。
【解析】
已知Rt△ABC中∠BAC=90°，因此$∠ C + ∠ B = 90°$。
1. 因为AD是斜边上的高，即$AD⊥ BC$，所以$∠ ADB=90°$，可得$∠ BAD + ∠ B = 90°$。根据同角的余角相等，得$∠ C = ∠ BAD$；
2. 由图可知$DF⊥ AB$，所以$∠ DFB=90°$，可得$∠ BDF + ∠ B = 90°$。同理得$∠ C = ∠ BDF$；
3. 由图可知$DE⊥ AC$，所以$∠ AED=90°$，可得$∠ ADE + ∠ DAE = 90°$；又因为$AD⊥ BC$，$∠ ADC=90°$，所以$∠ C + ∠ DAE = 90°$，同理得$∠ C = ∠ ADE$。
综上，与∠C相等的角有$∠ BAD$、$∠ BDF$、$∠ ADE$，共3个。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题是典型的利用余角性质找等角的题目，解题时要注意观察图中所有直角，结合互余关系推导相等角，避免漏数。
【难度系数】
0.7
要找出图中与∠C相等的角，可利用直角三角形两锐角互余的性质，结合“同角的余角相等”这一结论推导：首先找到所有和∠C互余的角，再看哪些角也和这个互余的角互余，这些角就和∠C相等，逐一排查即可得到总数。
【解析】
已知Rt△ABC中∠BAC=90°，因此$∠ C + ∠ B = 90°$。
1. 因为AD是斜边上的高，即$AD⊥ BC$，所以$∠ ADB=90°$，可得$∠ BAD + ∠ B = 90°$。根据同角的余角相等，得$∠ C = ∠ BAD$；
2. 由图可知$DF⊥ AB$，所以$∠ DFB=90°$，可得$∠ BDF + ∠ B = 90°$。同理得$∠ C = ∠ BDF$；
3. 由图可知$DE⊥ AC$，所以$∠ AED=90°$，可得$∠ ADE + ∠ DAE = 90°$；又因为$AD⊥ BC$，$∠ ADC=90°$，所以$∠ C + ∠ DAE = 90°$，同理得$∠ C = ∠ ADE$。
综上，与∠C相等的角有$∠ BAD$、$∠ BDF$、$∠ ADE$，共3个。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题是典型的利用余角性质找等角的题目，解题时要注意观察图中所有直角，结合互余关系推导相等角，避免漏数。
【难度系数】
0.7
