例1 如图是一张长方形纸片，剪去一角可得到一个三角形，则图中$∠ 1+∠ 2$的度数是（）

A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$

【思路导析】因为长方形四个角均为直角，所以剪去一角得到的三角形是直角三角形。
【请你解答】

C

【分析】
解题时首先观察图形特征，已知原图形是长方形，长方形的所有内角都是90°，剪去一角后得到的三角形保留了长方形的一个直角，因此该三角形是直角三角形。接下来结合三角形内角和为180°的性质，用内角和减去直角的度数，即可求出∠1和∠2的度数和。
【解析】
∵ 长方形的四个内角均为直角，
∴ 剪去一角得到的三角形有一个内角为90°，即该三角形是直角三角形。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，可得：
$∠ 1 + ∠ 2 + 90° = 180°$
∴ $∠ 1 + ∠ 2 = 180° - 90° = 90°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，长方形的性质
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查对常见图形性质的掌握，解题的关键是判断出剪下的三角形为直角三角形，再结合三角形内角和公式计算即可。
【难度系数】
0.8

例2 在满足下列条件的$△ ABC$中,不是直角三角形的是()

A.$∠ A - ∠ B = ∠ C$
B.$∠ A : ∠ B : ∠ C = 3:4:7$
C.$∠ A = 2∠ B = 3∠ C$
D.$∠ A = 90°, ∠ B = 81°$
【思路导析】对于C,可设$∠ A = x$,
则$∠ B = \frac{1}{2}x, ∠ C = \frac{1}{3}x$.
则$x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x = 180°$.
从而求出三个内角的度数.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 直角三角形的判定

C

【分析】
要判断三角形是否为直角三角形，核心依据是三角形内角和为180°，只要三角形中有一个内角为90°，就是直角三角形。解题时逐个分析选项，根据各选项给出的角的数量关系，计算出最大内角的度数，判断是否等于90°即可。
【解析】
根据三角形内角和为180°，逐个分析选项：
1. 选项A：已知$∠A - ∠B = ∠C$，变形得$∠A = ∠B + ∠C$。代入内角和公式：$∠A + ∠B + ∠C = 180°$，即$2∠A = 180°$，解得$∠A=90°$，是直角三角形，不符合题意。
2. 选项B：$∠A:∠B:∠C=3:4:7$，总份数为$3+4+7=14$，最大角$∠C$的度数为$180°×\frac{7}{14}=90°$，是直角三角形，不符合题意。
3. 选项C：设$∠A=x$，则$∠B=\frac{1}{2}x$，$∠C=\frac{1}{3}x$，代入内角和公式得：
$x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x=180°$
通分计算得$\frac{11}{6}x=180°$，解得$x=\frac{1080°}{11}≈98.18°$，三个内角均不等于90°，不是直角三角形，符合题意。
4. 选项D：已知$∠A=90°$，直接判定为直角三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理，结合各选项给出的角的关系计算内角，判断是否存在直角，计算时注意通分等运算不要出错。
【难度系数】
0.7

例3 如图，AB//CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P。求证：△EFP是直角三角形。

【思路导析】如果三角形中有两个角的和等于90°（互余），就可证明该三角形为直角三角形。
【规范解答】证明：∵AB//CD，
∴∠BEF + ∠DFE = 180°。
∵EP平分∠BEF，FP平分∠DFE，
∴∠PEF = $\frac{1}{2}$∠BEF，∠PFE = $\frac{1}{2}$∠DFE。
∴∠PEF + ∠PFE = $\frac{1}{2}$（∠BEF + ∠DFE）= $\frac{1}{2}$×180°=90°。
∴△EFP是直角三角形。

证明：∵AB//CD，
∴∠BEF + ∠DFE = 180°。
∵EP平分∠BEF，FP平分∠DFE，
∴∠PEF = $\frac{1}{2}$∠BEF，∠PFE = $\frac{1}{2}$∠DFE。
∴∠PEF + ∠PFE = $\frac{1}{2}$(∠BEF + ∠DFE) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°。
∴△EFP是直角三角形。

【分析】
要证明△EFP是直角三角形，可通过证明三角形内有两个内角互余来推导。首先由已知AB//CD，根据平行线的性质可得同旁内角∠BEF与∠DFE的和为180°；再结合EP、FP分别是∠BEF和∠DFE的角平分线，可得出∠PEF、∠PFE分别是对应角的一半，计算二者的和即可得到两角互余，进而完成证明。
【解析】
证明：
∵AB//CD，
∴∠BEF + ∠DFE = 180°。
∵EP平分∠BEF，FP平分∠DFE，
∴∠PEF = $\frac{1}{2}$∠BEF，∠PFE = $\frac{1}{2}$∠DFE。
∴∠PEF + ∠PFE = $\frac{1}{2}$(∠BEF + ∠DFE) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°。
∴△EFP是直角三角形。
【答案】
证明：
∵AB//CD，
∴∠BEF + ∠DFE = 180°。
∵EP平分∠BEF，FP平分∠DFE，
∴∠PEF = $\frac{1}{2}$∠BEF，∠PFE = $\frac{1}{2}$∠DFE。
∴∠PEF + ∠PFE = $\frac{1}{2}$(∠BEF + ∠DFE) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°。
∴△EFP是直角三角形。
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；直角三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何综合证明题，主要考查平行线、角平分线和直角三角形判定的相关知识，解题关键是利用平行线同旁内角互补的性质，结合角平分线定义推导得到两个内角互余，掌握基础几何性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.85