12. 在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”，例如，三个内角分别为$120°$，$40°$，$20°$的三角形是“三倍角三角形”。
（1）在$△ ABC$中，$∠ A = 35°$，$∠ B = 40°$，$△ ABC$是“三倍角三角形”吗？为什么？
（2）若$△ ABC$是“三倍角三角形”，且$∠ B = 60°$，求$△ ABC$中最小内角的度数。

解：
(1) △ABC是“三倍角三角形”，理由如下：
由三角形内角和定理，得∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 35° - 40° = 105°，
∵ 105° = 3×35°，即∠C = 3∠A，
∴ △ABC是“三倍角三角形”。
(2) 在△ABC中，∠A + ∠C = 180° - ∠B = 180° - 60° = 120°。
设△ABC的最小内角为x，分情况讨论：
情况1：若∠B是最小内角的3倍，即3x = 60°，
解得x = 20°，此时另一个内角为120° - 20° = 100°，三个内角为20°，60°，100°，符合三角形内角和定理，满足“三倍角三角形”的定义；
情况2：若∠A、∠C中较大角是较小角的3倍，即3x + x = 120°，
解得x = 30°，此时三个内角为30°，60°，90°，符合三角形内角和定理，满足“三倍角三角形”的定义。
不存在其他符合条件的情况。
综上，△ABC中最小内角的度数为20°或30°。

【分析】
（1）判断三角形是否为“三倍角三角形”，首先需根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再验证三个内角中是否存在一个内角是另一个内角的3倍即可。（2）已知∠B=60°，先求出剩余两个内角的和为120°，结合“三倍角三角形”的定义分两种情况讨论：一是∠B是最小内角的3倍，二是剩余两个内角之间存在三倍关系，分别计算后验证是否符合定义即可。
【解析】
(1) △ABC是“三倍角三角形”，理由如下：
由三角形内角和定理，得∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 35° - 40° = 105°，
∵ 105° = 3×35°，即∠C = 3∠A，
∴ △ABC是“三倍角三角形”。
(2) 在△ABC中，∠A + ∠C = 180° - ∠B = 180° - 60° = 120°。
设△ABC的最小内角为x，分情况讨论：
情况1：若∠B是最小内角的3倍，即3x = 60°，
解得x = 20°，此时另一个内角为120° - 20° = 100°，三个内角为20°，60°，100°，符合三角形内角和定理，满足“三倍角三角形”的定义；
情况2：若∠A、∠C中较大角是较小角的3倍，即3x + x = 120°，
解得x = 30°，此时三个内角为30°，60°，90°，符合三角形内角和定理，满足“三倍角三角形”的定义。
不存在其他符合条件的情况。
综上，△ABC中最小内角的度数为20°或30°。
【答案】
（1）是“三倍角三角形”，理由见解析；（2）20°或30°
【知识点】
三角形内角和定理；新定义理解；分类讨论
【点评】
本题结合新定义考查三角形内角和的应用，解题核心是准确理解“三倍角三角形”的定义，第二问求解时要全面梳理所有可能的倍数关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7

13.如图1,在$△ ABC$中,$∠ B＜∠ C$,AD平分$∠ BAC$,E为AD(不与点A,D重合)上的一动点,$EF ⊥ BC$于点F.
(1)若$∠ B=40°,∠ DEF=20°$,求$∠ C$的度数;
(2)如图2,在$△ ABC$中,$∠ B＜∠ C$,AD平分$∠ BAC$,E为AD上一点,$EF ⊥ AD$交BC的延长线于点F,$∠ ACB=m°$,$∠ B=n°$,求$∠ F$的度数(用含$m,n$的式子表示).

解：(1)
∵ EF⊥BC，
∴ ∠EFD=90°，
∴ ∠EDF = 90° - ∠DEF = 90° - 20° = 70°，
∵ ∠EDF是△ABD的外角，
∴ ∠EDF = ∠B + ∠BAD，
∴ ∠BAD = ∠EDF - ∠B = 70° - 40° = 30°，
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAC = 2∠BAD = 60°，
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠C = 180° - ∠B - ∠BAC = 180° - 40° - 60° = 80°。
(2)
在△ABC中，∠BAC = 180° - ∠B - ∠ACB = 180° - n° - m°，
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}(180° - m° - n°)$，
∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD = $n° + \frac{1}{2}(180° - m° - n°) = 90° + \frac{1}{2}n° - \frac{1}{2}m°$，
∵ EF⊥AD，
∴ ∠DEF=90°，
在Rt△DEF中，∠F + ∠ADC = 90°，
∴ ∠F = 90° - ∠ADC = $90° -(90° + \frac{1}{2}n° - \frac{1}{2}m°) = \frac{1}{2}(m-n)°$。

【分析】
(1) 解题思路：首先由EF⊥BC可得△EFD是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠EDF的度数；再根据三角形外角的性质，结合∠EDF是△ABD的外角，求出∠BAD的度数；接着利用角平分线的定义得到∠BAC的度数；最后根据三角形内角和为180°计算出∠C的度数。
(2) 解题思路：首先利用三角形内角和定理表示出∠BAC的度数，结合角平分线的定义求出∠BAD的度数；再利用三角形外角的性质求出∠ADC的度数；最后由EF⊥AD可知△DEF是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余，代入∠ADC的表达式化简即可得到∠F的度数。
【解析】
(1)
∵ EF⊥BC，
∴ ∠EFD=90°，
∴ ∠EDF = 90° - ∠DEF = 90° - 20° = 70°，
∵ ∠EDF是△ABD的外角，
∴ ∠EDF = ∠B + ∠BAD，
∴ ∠BAD = ∠EDF - ∠B = 70° - 40° = 30°，
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAC = 2∠BAD = 60°，
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠C = 180° - ∠B - ∠BAC = 180° - 40° - 60° = 80°。
(2)
在△ABC中，∠BAC = 180° - ∠B - ∠ACB = 180° - n° - m°，
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}(180° - m° - n°)$，
∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD = $n° + \frac{1}{2}(180° - m° - n°) = 90° + \frac{1}{2}n° - \frac{1}{2}m°$，
∵ EF⊥AD，
∴ ∠DEF=90°，
在Rt△DEF中，∠F + ∠ADC = 90°，
∴ ∠F = 90° - ∠ADC = $90° -(90° + \frac{1}{2}n° - \frac{1}{2}m°) = \frac{1}{2}(m-n)°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠C=80°}$；
(2) $\boldsymbol{∠F=\frac{1}{2}(m-n)°}$。
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的综合基础题，需要熟练掌握三角形角度相关的基本性质，解题时要注意观察图形中的外角、直角关系，逐步梳理角度之间的联系，完成推导，对知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7