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6.如图，直线AB//CD，∠B＝50°，∠C＝40°，则∠E等于()
A.70°
B.80°
C.90°
D.100°
A.70°
B.80°
C.90°
D.100°
答案
C
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件AB//CD，可先利用平行线的性质得到与∠B相等的同位角，将已知的∠B、∠C转化到同一个三角形中，再结合三角形内角和为180°的定理，即可求出∠E的度数。
【解析】
设BE与CD的交点为点F。
∵ AB//CD，根据“两直线平行，同位角相等”，
∴ ∠EFC = ∠B = 50°。
在△EFC中，根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，
∴ ∠E + ∠EFC + ∠C = 180°。
将∠EFC=50°，∠C=40°代入得：
∠E = 180° - 50° - 40° = 90°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，考查平行线性质与三角形内角和的综合运用，解题的核心是通过平行线的性质实现角的转化，将待求角和已知角放到同一个三角形中计算，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知条件AB//CD，可先利用平行线的性质得到与∠B相等的同位角，将已知的∠B、∠C转化到同一个三角形中，再结合三角形内角和为180°的定理，即可求出∠E的度数。
【解析】
设BE与CD的交点为点F。
∵ AB//CD，根据“两直线平行，同位角相等”，
∴ ∠EFC = ∠B = 50°。
在△EFC中，根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，
∴ ∠E + ∠EFC + ∠C = 180°。
将∠EFC=50°，∠C=40°代入得：
∠E = 180° - 50° - 40° = 90°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，考查平行线性质与三角形内角和的综合运用，解题的核心是通过平行线的性质实现角的转化，将待求角和已知角放到同一个三角形中计算，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
7.如图,在$△ ABC$中,$∠ A=50°$,点$D$,$E$分别在$AB$,$AC$上,则$∠1+∠2$的大小为()
A.$130°$
B.$230°$
C.$180°$
D.$310°$
A.$130°$
B.$230°$
C.$180°$
D.$310°$
答案
B
解析
【分析】
要计算∠1+∠2的大小，首先观察角的位置：∠1、∠2与△ABC的∠B、∠C共同构成四边形CEDB的4个内角。我们可以先利用三角形内角和定理求出∠B+∠C的度数，再结合四边形内角和为360°，即可求出∠1+∠2的和，无需单独计算∠1和∠2的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ A=50°$，代入得：
$∠ B + ∠ C = 180° - 50° = 130°$
在四边形CEDB中，四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$，即：
$∠ C + ∠ B + ∠ 1 + ∠ 2 = 360°$
将$∠ B + ∠ C=130°$代入上式：
$∠ 1 + ∠ 2 = 360° - 130° = 230°$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；四边形内角和
【点评】
本题是内角和定理的基础应用题目，解题时采用整体代换的思路，不需要分别求出∠1、∠2的具体度数，简化了计算过程，注意不要直接用180°减∠A得到结果，避免误选。
【难度系数】
0.7
要计算∠1+∠2的大小，首先观察角的位置：∠1、∠2与△ABC的∠B、∠C共同构成四边形CEDB的4个内角。我们可以先利用三角形内角和定理求出∠B+∠C的度数，再结合四边形内角和为360°，即可求出∠1+∠2的和，无需单独计算∠1和∠2的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ A=50°$，代入得：
$∠ B + ∠ C = 180° - 50° = 130°$
在四边形CEDB中，四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$，即：
$∠ C + ∠ B + ∠ 1 + ∠ 2 = 360°$
将$∠ B + ∠ C=130°$代入上式：
$∠ 1 + ∠ 2 = 360° - 130° = 230°$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；四边形内角和
【点评】
本题是内角和定理的基础应用题目，解题时采用整体代换的思路，不需要分别求出∠1、∠2的具体度数，简化了计算过程，注意不要直接用180°减∠A得到结果，避免误选。
【难度系数】
0.7
8.已知直线$ l_1 // l_2 $，将一个直角三角尺ABC(其中$ ∠ A=30°, ∠ C=60° $)按如图所示的方式放置，若$ ∠1=84° $，则$ ∠2 $等于()
A.$ 56° $
B.$ 64° $
C.$ 66° $
D.$ 76° $
A.$ 56° $
B.$ 64° $
C.$ 66° $
D.$ 76° $
答案
C
解析
【分析】
解题思路：首先利用三角形外角的性质，结合已知的∠1和∠C的度数，求出∠CBD的度数；再根据直角三角尺的直角为90°，求出与∠2是同位角的∠ABD的度数；最后依据平行线“两直线平行，同位角相等”的性质，即可得出∠2的度数。
【解析】
设AC与直线$l_2$交于点D。
1. 由三角形外角的性质可知，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此$∠1 = ∠C + ∠CBD$。
已知$∠1=84°$，$∠C=60°$，代入得：$∠CBD = ∠1 - ∠C = 84° - 60° = 24°$。
2. 因为△ABC是直角三角尺，所以$∠ABC=90°$，则$∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 90° - 24° = 66°$。
3. 已知$l_1 // l_2$，根据两直线平行，同位角相等，可得$∠2 = ∠ABD = 66°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形角度特征
【点评】
本题是平行线性质与三角形角度计算的结合类基础题，解题的关键是准确识别外角、同位角等特殊位置的角，理清各角度之间的数量关系，是几何角度计算的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先利用三角形外角的性质，结合已知的∠1和∠C的度数，求出∠CBD的度数；再根据直角三角尺的直角为90°，求出与∠2是同位角的∠ABD的度数；最后依据平行线“两直线平行，同位角相等”的性质，即可得出∠2的度数。
【解析】
设AC与直线$l_2$交于点D。
1. 由三角形外角的性质可知，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此$∠1 = ∠C + ∠CBD$。
已知$∠1=84°$，$∠C=60°$，代入得：$∠CBD = ∠1 - ∠C = 84° - 60° = 24°$。
2. 因为△ABC是直角三角尺，所以$∠ABC=90°$，则$∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 90° - 24° = 66°$。
3. 已知$l_1 // l_2$，根据两直线平行，同位角相等，可得$∠2 = ∠ABD = 66°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形角度特征
【点评】
本题是平行线性质与三角形角度计算的结合类基础题，解题的关键是准确识别外角、同位角等特殊位置的角，理清各角度之间的数量关系，是几何角度计算的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,过点D作DE//BC交AC于点E.若∠A=54°,∠B=48°,则∠CDE的大小为()
A.38°
B.39°
C.40°
D.44°
A.38°
B.39°
C.40°
D.44°
答案
B
解析
【分析】
要求∠CDE的度数，可先观察角度关系：由DE//BC可联想到平行线的内错角相等，能将求∠CDE转化为求∠BCD；CD是∠ACB的角平分线，因此只需先求出∠ACB的度数即可。已知△ABC中∠A和∠B的度数，利用三角形内角和为180°就能算出∠ACB，后续按逻辑依次推导即可得到结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-54°-48°=78°$
∵CD平分∠ACB
∴$∠ BCD=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×78°=39°$
∵DE//BC
∴∠CDE=∠BCD（两直线平行，内错角相等）
∴∠CDE=39°
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考察了三角形内角和、角平分线、平行线的性质三个核心知识点，解题的关键是利用平行线的性质完成所求角度的转化，计算时注意角度运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
要求∠CDE的度数，可先观察角度关系：由DE//BC可联想到平行线的内错角相等，能将求∠CDE转化为求∠BCD；CD是∠ACB的角平分线，因此只需先求出∠ACB的度数即可。已知△ABC中∠A和∠B的度数，利用三角形内角和为180°就能算出∠ACB，后续按逻辑依次推导即可得到结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-54°-48°=78°$
∵CD平分∠ACB
∴$∠ BCD=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×78°=39°$
∵DE//BC
∴∠CDE=∠BCD（两直线平行，内错角相等）
∴∠CDE=39°
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考察了三角形内角和、角平分线、平行线的性质三个核心知识点，解题的关键是利用平行线的性质完成所求角度的转化，计算时注意角度运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
10.如图,B处在A处的南偏西$45°$的方向,C处在A处的南偏东$15°$方向,C处在B处的北偏东$80°$方向,求$∠ ACB$.
第10题图
第10题图答案
解：
由题意得，∠BAC = 45° + 15° = 60°。
因为A处的南北方向线与B处的南北方向线互相平行，
所以B处测得A的方向为北偏东45°，即∠ABN=45°（N为B处正北方向）。
又因为C处在B处的北偏东80°，即∠CBN=80°，
所以∠ABC = ∠CBN - ∠ABN = 80° - 45° = 35°。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 60° - 35° = 85°。
答：∠ACB的度数为85°。
由题意得，∠BAC = 45° + 15° = 60°。
因为A处的南北方向线与B处的南北方向线互相平行，
所以B处测得A的方向为北偏东45°，即∠ABN=45°（N为B处正北方向）。
又因为C处在B处的北偏东80°，即∠CBN=80°，
所以∠ABC = ∠CBN - ∠ABN = 80° - 45° = 35°。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 60° - 35° = 85°。
答：∠ACB的度数为85°。
解析
【分析】
要解决这道题，需结合方向角定义、平行线性质和三角形内角和定理逐步推导：第一步，先根据A处的两个方向描述，直接求和得到△ABC中∠BAC的度数；第二步，利用不同地点的南北方向线互相平行的特点，通过平行线的性质得到B处观测A的方向角，再结合B处观测C的方向角，作差求出∠ABC的度数；最后利用三角形内角和为180°，减去已求出的两个内角，即可得到∠ACB的度数。
【解析】
由题意得，$∠ BAC = 45° + 15° = 60°$。
因为A处的南北方向线与B处的南北方向线互相平行，
所以B处测得A的方向为北偏东$45°$，即$∠ ABN=45°$（N为B处正北方向）。
又因为C处在B处的北偏东$80°$，即$∠ CBN=80°$，
所以$∠ ABC = ∠ CBN - ∠ ABN = 80° - 45° = 35°$。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ ACB = 180° - ∠ BAC - ∠ ABC = 180° - 60° - 35° = 85°$。
【答案】
$85°$
【知识点】
方向角的识别；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是方向角与三角形内角和结合的基础常考题，解题核心是准确理解方向角的含义，通过平行线的性质完成角度转化，再代入三角形内角和公式计算即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合方向角定义、平行线性质和三角形内角和定理逐步推导：第一步，先根据A处的两个方向描述，直接求和得到△ABC中∠BAC的度数；第二步，利用不同地点的南北方向线互相平行的特点，通过平行线的性质得到B处观测A的方向角，再结合B处观测C的方向角，作差求出∠ABC的度数；最后利用三角形内角和为180°，减去已求出的两个内角，即可得到∠ACB的度数。
【解析】
由题意得，$∠ BAC = 45° + 15° = 60°$。
因为A处的南北方向线与B处的南北方向线互相平行，
所以B处测得A的方向为北偏东$45°$，即$∠ ABN=45°$（N为B处正北方向）。
又因为C处在B处的北偏东$80°$，即$∠ CBN=80°$，
所以$∠ ABC = ∠ CBN - ∠ ABN = 80° - 45° = 35°$。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ ACB = 180° - ∠ BAC - ∠ ABC = 180° - 60° - 35° = 85°$。
【答案】
$85°$
【知识点】
方向角的识别；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是方向角与三角形内角和结合的基础常考题，解题核心是准确理解方向角的含义，通过平行线的性质完成角度转化，再代入三角形内角和公式计算即可。
【难度系数】
0.7
11.如图,在△ABC中,已知AD是∠BAC的角平分线,∠B=66°,∠C=54°.
(1)求∠DAC的度数;
(2)若DE平分∠ADC交AC于点E,求∠CDE的度数.
(1)求∠DAC的度数;
(2)若DE平分∠ADC交AC于点E,求∠CDE的度数.
答案
解：
(1) 在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 66° - 54° = 60°
∵ AD是∠BAC的角平分线
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°
(2) 在△ADC中，由三角形内角和定理得：
∠ADC = 180° - ∠DAC - ∠C = 180° - 30° - 54° = 96°
∵ DE平分∠ADC
∴ ∠CDE = $\frac{1}{2}$∠ADC = $\frac{1}{2}$×96° = 48°
答：(1) ∠DAC的度数为30°；(2) ∠CDE的度数为48°。
(1) 在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 66° - 54° = 60°
∵ AD是∠BAC的角平分线
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°
(2) 在△ADC中，由三角形内角和定理得：
∠ADC = 180° - ∠DAC - ∠C = 180° - 30° - 54° = 96°
∵ DE平分∠ADC
∴ ∠CDE = $\frac{1}{2}$∠ADC = $\frac{1}{2}$×96° = 48°
答：(1) ∠DAC的度数为30°；(2) ∠CDE的度数为48°。
解析
【分析】
(1) 要求∠DAC的度数，已知AD是∠BAC的角平分线，所以首先需要求出∠BAC的度数。根据三角形内角和为180°，结合题目给出的∠B和∠C的度数，可先计算出∠BAC，再利用角平分线的性质，即角平分线把角分成两个相等的小角，可得∠DAC是∠BAC的一半，即可求出结果。
(2) 要求∠CDE的度数，已知DE平分∠ADC，所以首先需要求出∠ADC的度数。在△ADC中，已知∠C的度数和第一问求出的∠DAC的度数，利用三角形内角和定理算出∠ADC后，再根据角平分线的性质，可得∠CDE是∠ADC的一半，即可求出结果。
【解析】
(1) 在△ABC中，由三角形内角和定理得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 66° - 54° = 60°$
∵ AD是∠BAC的角平分线
∴ $∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 60° = 30°$
(2) 在△ADC中，由三角形内角和定理得：
$∠ ADC = 180° - ∠ DAC - ∠ C = 180° - 30° - 54° = 96°$
∵ DE平分∠ADC
∴ $∠ CDE = \frac{1}{2}∠ ADC = \frac{1}{2} × 96° = 48°$
【答案】
(1) $∠ DAC=30°$；(2) $∠ CDE=48°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是灵活运用三角形内角和定理和角平分线的定义，逐步推导未知角的度数，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
(1) 要求∠DAC的度数，已知AD是∠BAC的角平分线，所以首先需要求出∠BAC的度数。根据三角形内角和为180°，结合题目给出的∠B和∠C的度数，可先计算出∠BAC，再利用角平分线的性质，即角平分线把角分成两个相等的小角，可得∠DAC是∠BAC的一半，即可求出结果。
(2) 要求∠CDE的度数，已知DE平分∠ADC，所以首先需要求出∠ADC的度数。在△ADC中，已知∠C的度数和第一问求出的∠DAC的度数，利用三角形内角和定理算出∠ADC后，再根据角平分线的性质，可得∠CDE是∠ADC的一半，即可求出结果。
【解析】
(1) 在△ABC中，由三角形内角和定理得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 66° - 54° = 60°$
∵ AD是∠BAC的角平分线
∴ $∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 60° = 30°$
(2) 在△ADC中，由三角形内角和定理得：
$∠ ADC = 180° - ∠ DAC - ∠ C = 180° - 30° - 54° = 96°$
∵ DE平分∠ADC
∴ $∠ CDE = \frac{1}{2}∠ ADC = \frac{1}{2} × 96° = 48°$
【答案】
(1) $∠ DAC=30°$；(2) $∠ CDE=48°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是灵活运用三角形内角和定理和角平分线的定义，逐步推导未知角的度数，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
