登录
1.如图，直线$a$，$b$分别与黑板边缘形成$∠ 1$，$∠ 2$，小明量出$∠ 1=71°$，$∠ 2=78°$，则可以算出直线$a$，$b$形成的锐角的度数是。
答案
$\boldsymbol{31°}$
解析
【分析】
首先观察图形，黑板的上边缘是直线，对应平角，度数为180°。直线a、b与上边缘相交形成的∠1、∠2和a、b的夹角三个角之和恰好等于这个平角，因此要求直线a、b形成的锐角，只需用平角的度数减去已知的∠1和∠2的度数即可。
【解析】
因为黑板上边缘为直线，所以其上三个角的和为平角180°，即：
$∠1 + ∠2 + \mathrm{直线}a,b\mathrm{的夹角}=180°$
已知$∠1=71°$，$∠2=78°$，代入计算：
$\mathrm{直线}a,b\mathrm{的夹角}=180° - 71° -78°=31°$
$31°$为锐角，符合题意。
【答案】
$\boldsymbol{31°}$
【知识点】
平角的定义，角度计算
【点评】
本题结合生活场景考查角度计算，解题关键是识别出平角的隐含条件，整体比较基础，容易得分。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，黑板的上边缘是直线，对应平角，度数为180°。直线a、b与上边缘相交形成的∠1、∠2和a、b的夹角三个角之和恰好等于这个平角，因此要求直线a、b形成的锐角，只需用平角的度数减去已知的∠1和∠2的度数即可。
【解析】
因为黑板上边缘为直线，所以其上三个角的和为平角180°，即：
$∠1 + ∠2 + \mathrm{直线}a,b\mathrm{的夹角}=180°$
已知$∠1=71°$，$∠2=78°$，代入计算：
$\mathrm{直线}a,b\mathrm{的夹角}=180° - 71° -78°=31°$
$31°$为锐角，符合题意。
【答案】
$\boldsymbol{31°}$
【知识点】
平角的定义，角度计算
【点评】
本题结合生活场景考查角度计算，解题关键是识别出平角的隐含条件，整体比较基础，容易得分。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A = 36°,∠ C = 72°,BD$平分$∠ ABC$,求$∠ DBC$的度数.
答案
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理，
∠ABC = 180° - ∠A - ∠C
= 180° - 36° - 72°
= 72°
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×72° = 36°
∠ABC = 180° - ∠A - ∠C
= 180° - 36° - 72°
= 72°
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×72° = 36°
解析
【分析】
要求∠DBC的度数，已知BD平分∠ABC，因此首先需要求出∠ABC的度数。在△ABC中，已知∠A和∠C的度数，可利用三角形内角和为180°计算出∠ABC的度数，再根据角平分线的性质，∠DBC为∠ABC的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$\begin{aligned}∠ABC &= 180° - ∠A - ∠C\\&= 180° - 36° - 72°\\&= 72°\end{aligned}$
∵ BD平分∠ABC，
∴ $\begin{aligned}∠DBC = \frac{1}{2}∠ABC = \frac{1}{2}×72° = 36°\end{aligned}$
【答案】
$36°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是先利用三角形内角和求出未知内角的度数，再结合角平分线的性质计算所求角的度数，解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.9
要求∠DBC的度数，已知BD平分∠ABC，因此首先需要求出∠ABC的度数。在△ABC中，已知∠A和∠C的度数，可利用三角形内角和为180°计算出∠ABC的度数，再根据角平分线的性质，∠DBC为∠ABC的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$\begin{aligned}∠ABC &= 180° - ∠A - ∠C\\&= 180° - 36° - 72°\\&= 72°\end{aligned}$
∵ BD平分∠ABC，
∴ $\begin{aligned}∠DBC = \frac{1}{2}∠ABC = \frac{1}{2}×72° = 36°\end{aligned}$
【答案】
$36°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是先利用三角形内角和求出未知内角的度数，再结合角平分线的性质计算所求角的度数，解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.9
1. 写出下列图中x的值：
(1)x=； (2)x=。
(1)x=； (2)x=。答案
解：
(1) 根据三角形内角和等于180°，可得：
$x + x + 90 = 180$
$2x = 90$
$x = 45$
(2) 根据三角形内角和等于180°，可得：
$x + x + 30 = 180$
$2x = 150$
$x = 75$
(1)$x=\boldsymbol{45}$；(2)$x=\boldsymbol{75}$。
(1) 根据三角形内角和等于180°，可得：
$x + x + 90 = 180$
$2x = 90$
$x = 45$
(2) 根据三角形内角和等于180°，可得：
$x + x + 30 = 180$
$2x = 150$
$x = 75$
(1)$x=\boldsymbol{45}$；(2)$x=\boldsymbol{75}$。
解析
【分析】
解题需依据三角形内角和为180°的定理，观察两个三角形的角的特征：图(1)是含直角的三角形，两个底角相等均为$x°$；图(2)是等腰三角形，顶角为$30°$，两个底角相等均为$x°$。分别根据内角和关系列出关于$x$的一元一次方程，解方程即可求出$x$的值。
【解析】
(1) 根据三角形内角和等于$180°$，列方程：
$x + x + 90 = 180$
合并同类项得：$2x = 90$
解得：$x = 45$
(2) 根据三角形内角和等于$180°$，列方程：
$x + x + 30 = 180$
合并同类项得：$2x = 150$
解得：$x = 75$
【答案】
(1)45；(2)75
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形性质；一元一次方程求解
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，重点考查对三角形内角和定理的运用，结合等腰三角形两底角相等的性质列方程计算即可，解题逻辑简单，计算量小。
【难度系数】
0.9
解题需依据三角形内角和为180°的定理，观察两个三角形的角的特征：图(1)是含直角的三角形，两个底角相等均为$x°$；图(2)是等腰三角形，顶角为$30°$，两个底角相等均为$x°$。分别根据内角和关系列出关于$x$的一元一次方程，解方程即可求出$x$的值。
【解析】
(1) 根据三角形内角和等于$180°$，列方程：
$x + x + 90 = 180$
合并同类项得：$2x = 90$
解得：$x = 45$
(2) 根据三角形内角和等于$180°$，列方程：
$x + x + 30 = 180$
合并同类项得：$2x = 150$
解得：$x = 75$
【答案】
(1)45；(2)75
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形性质；一元一次方程求解
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，重点考查对三角形内角和定理的运用，结合等腰三角形两底角相等的性质列方程计算即可，解题逻辑简单，计算量小。
【难度系数】
0.9
2.如图,在△ABC中,BD和CE是△ABC的两条角平分线.若∠A=52°,则∠1+∠2的度数为.
答案
$\boldsymbol{64°}$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先，根据三角形内角和为180°，结合已知∠A的度数，求出∠ABC与∠ACB的和；其次，根据角平分线的定义，明确∠1是∠ABC的一半、∠2是∠ACB的一半；最后，将∠1+∠2转化为(∠ABC+∠ACB)的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
在△ABC中，由三角形内角和定理可得：
∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 52° = 128°
∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线
∴∠1 = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠2 = $\frac{1}{2}$∠ACB
∴∠1 + ∠2 = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×128° = 64°
【答案】
$\boldsymbol{64°}$
【知识点】
三角形内角和定理、角平分线的定义
【点评】
本题是基础计算题，将角平分线的性质和三角形内角和定理结合考查，解题的关键是把所求角的和转化为与已知角相关的整体进行计算，不需要分别求出∠1和∠2的具体度数，可简化运算过程。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：首先，根据三角形内角和为180°，结合已知∠A的度数，求出∠ABC与∠ACB的和；其次，根据角平分线的定义，明确∠1是∠ABC的一半、∠2是∠ACB的一半；最后，将∠1+∠2转化为(∠ABC+∠ACB)的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
在△ABC中，由三角形内角和定理可得：
∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 52° = 128°
∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线
∴∠1 = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠2 = $\frac{1}{2}$∠ACB
∴∠1 + ∠2 = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×128° = 64°
【答案】
$\boldsymbol{64°}$
【知识点】
三角形内角和定理、角平分线的定义
【点评】
本题是基础计算题，将角平分线的性质和三角形内角和定理结合考查，解题的关键是把所求角的和转化为与已知角相关的整体进行计算，不需要分别求出∠1和∠2的具体度数，可简化运算过程。
【难度系数】
0.8
3.如图,在点D处看建筑物顶端A,仰角∠ADC=45°;向前走到点C处看顶端A,仰角∠ACB=64°,则∠CAD=.
答案
$\boldsymbol{19°}$
解析
【分析】
我们要求∠CAD的度数，可从角的数量关系入手分析：观察图形可知，∠ACB是△ACD的外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠ACB=∠CAD+∠ADC，已知∠ACB和∠ADC的度数，代入计算即可求出∠CAD；也可先利用平角定义求出∠ACD的度数，再结合三角形内角和定理计算结果，两种方法均符合当前学段知识要求，用外角性质计算更简便。
【解析】
∵∠ACB是△ACD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴∠ACB = ∠CAD + ∠ADC
已知∠ACB=64°，∠ADC=45°，代入得：
∠CAD = ∠ACB - ∠ADC = 64° - 45° = 19°
【答案】
$\boldsymbol{19°}$
【知识点】
三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础角度计算题，解题核心是准确识别图形中角的位置关系，灵活选用对应的三角形角的性质求解，计算难度低，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
我们要求∠CAD的度数，可从角的数量关系入手分析：观察图形可知，∠ACB是△ACD的外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠ACB=∠CAD+∠ADC，已知∠ACB和∠ADC的度数，代入计算即可求出∠CAD；也可先利用平角定义求出∠ACD的度数，再结合三角形内角和定理计算结果，两种方法均符合当前学段知识要求，用外角性质计算更简便。
【解析】
∵∠ACB是△ACD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴∠ACB = ∠CAD + ∠ADC
已知∠ACB=64°，∠ADC=45°，代入得：
∠CAD = ∠ACB - ∠ADC = 64° - 45° = 19°
【答案】
$\boldsymbol{19°}$
【知识点】
三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础角度计算题，解题核心是准确识别图形中角的位置关系，灵活选用对应的三角形角的性质求解，计算难度低，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
4.如图,考古学家发现在地下A处有一座古墓,古墓上方是天然气管道,为了不影响管道,准备在B,C处开工挖出“V”字形通道.若$∠ DBA=120°,∠ ECA=135°$,则$∠ A$的度数是.
答案
解：
∵ 点D、B、C、E在同一直线上，
∴ ∠ABC = 180° - ∠DBA = 180° - 120° = 60°，
∠ACB = 180° - ∠ECA = 180° - 135° = 45°。
在△ABC中，由三角形内角和为180°，得
∠A = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 60° - 45° = 75°。
75°
∵ 点D、B、C、E在同一直线上，
∴ ∠ABC = 180° - ∠DBA = 180° - 120° = 60°，
∠ACB = 180° - ∠ECA = 180° - 135° = 45°。
在△ABC中，由三角形内角和为180°，得
∠A = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 60° - 45° = 75°。
75°
解析
【分析】
解题时首先观察到点D、B、C、E共线，已知的∠DBA、∠ECA分别是△ABC两个内角的邻补角，因此第一步可以利用平角为180°的性质，先求出△ABC中∠ABC和∠ACB的度数，第二步再结合三角形内角和为180°的定理，即可计算出∠A的度数。
【解析】
∵ 点D、B、C、E在同一直线上，
∴ ∠ABC = 180° - ∠DBA = 180° - 120° = 60°，
∠ACB = 180° - ∠ECA = 180° - 135° = 45°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠A = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 60° - 45° = 75°。
【答案】
75°
【知识点】
邻补角的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是结合图形找到已知角和三角形内角的关系，熟练掌握三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到点D、B、C、E共线，已知的∠DBA、∠ECA分别是△ABC两个内角的邻补角，因此第一步可以利用平角为180°的性质，先求出△ABC中∠ABC和∠ACB的度数，第二步再结合三角形内角和为180°的定理，即可计算出∠A的度数。
【解析】
∵ 点D、B、C、E在同一直线上，
∴ ∠ABC = 180° - ∠DBA = 180° - 120° = 60°，
∠ACB = 180° - ∠ECA = 180° - 135° = 45°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠A = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 60° - 45° = 75°。
【答案】
75°
【知识点】
邻补角的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是结合图形找到已知角和三角形内角的关系，熟练掌握三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5.如图,是一块三角形木板的残余部分,量得∠A=80°,∠B=40°,这块三角形木板另外一个角的度数为()
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆三角形的基本性质：任意三角形的内角和都是180°。本题已经给出了三角形中两个内角的度数，要求第三个角的度数，我们只需要用三角形内角和减去已知两个角的度数之和，就能求出未知角的度数，再对应选项选择即可。
【解析】
解：
∵三角形的内角和为180°，
已知该三角形两个内角分别为∠A=80°，∠B=40°，
∴第三个角的度数 = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 80° - 40° = 60°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类题目，直接考查三角形内角和定理的应用，无需复杂推导，只要牢记定理内容即可快速计算出结果。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆三角形的基本性质：任意三角形的内角和都是180°。本题已经给出了三角形中两个内角的度数，要求第三个角的度数，我们只需要用三角形内角和减去已知两个角的度数之和，就能求出未知角的度数，再对应选项选择即可。
【解析】
解：
∵三角形的内角和为180°，
已知该三角形两个内角分别为∠A=80°，∠B=40°，
∴第三个角的度数 = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 80° - 40° = 60°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类题目，直接考查三角形内角和定理的应用，无需复杂推导，只要牢记定理内容即可快速计算出结果。
【难度系数】
0.9
