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1. 如图，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量 A，B 间的距离，但绳子不够长，于是他想了一个办法：在地上取一点 C，使它可以直接到达 A，B 两点，在 AC 的延长线上取一点 D，使 $ CD = \frac{1}{2}CA $，在 BC 的延长线上取一点 E，使 $ CE = \frac{1}{2}CB $，测得 DE 的长为 5 m，则 AB 两点间的距离为(
A.6 m
B.8 m
C.10 m
D.12 m
C
)。A.6 m
B.8 m
C.10 m
D.12 m
答案
1.C
解析
【分析】
要测量无法直接测量的AB的长度，可通过证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求解。首先观察△ABC和△DEC：已知CD与CA、CE与CB的比例均为1:2，且两个三角形有一组对顶角∠ACB和∠DCE相等，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定条件，证明两三角形相似后，根据相似比即可由DE的长度求出AB的长度。
【解析】
在△ABC和△DEC中：
∵ $CD=\frac{1}{2}CA$，$CE=\frac{1}{2}CB$
∴ $\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}=\frac{1}{2}$
又
∵ $∠ ACB = ∠ DCE$（对顶角相等）
∴ $△ ABC ∽ △ DEC$（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}=\frac{1}{2}$，即$AB=2DE$
已知$DE=5\mathrm{m}$，代入得$AB=2×5=10\mathrm{m}$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际测量问题的基础题型，解题核心是通过已知的边的比例关系和对顶角相等证明三角形相似，再借助相似三角形对应边成比例的性质求出未知距离，解题时注意找准相似三角形的对应边和对应角即可。
【难度系数】
0.8
要测量无法直接测量的AB的长度，可通过证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求解。首先观察△ABC和△DEC：已知CD与CA、CE与CB的比例均为1:2，且两个三角形有一组对顶角∠ACB和∠DCE相等，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定条件，证明两三角形相似后，根据相似比即可由DE的长度求出AB的长度。
【解析】
在△ABC和△DEC中：
∵ $CD=\frac{1}{2}CA$，$CE=\frac{1}{2}CB$
∴ $\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}=\frac{1}{2}$
又
∵ $∠ ACB = ∠ DCE$（对顶角相等）
∴ $△ ABC ∽ △ DEC$（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}=\frac{1}{2}$，即$AB=2DE$
已知$DE=5\mathrm{m}$，代入得$AB=2×5=10\mathrm{m}$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际测量问题的基础题型，解题核心是通过已知的边的比例关系和对顶角相等证明三角形相似，再借助相似三角形对应边成比例的性质求出未知距离，解题时注意找准相似三角形的对应边和对应角即可。
【难度系数】
0.8
2.如图所示是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，则河宽AB=
100
m。答案
2.100
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：∠B与∠C均为直角，∠ADB和∠EDC是对顶角，两角分别相等可证△ABD与△ECD相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出河宽AB。
【解析】
解：
∵∠ADB与∠EDC是对顶角，
∴∠ADB=∠EDC，
又
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABD∽△ECD（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{EC}=\frac{BD}{CD}$
将BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m代入得：
$\frac{AB}{50}=\frac{120}{60}$
解得：$AB=50×\frac{120}{60}=100$（m）
【答案】
100
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际测量问题的基础题型，核心是准确识别图中的相似三角形，结合相似性质列比例式计算即可，解题思路清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形特征：∠B与∠C均为直角，∠ADB和∠EDC是对顶角，两角分别相等可证△ABD与△ECD相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出河宽AB。
【解析】
解：
∵∠ADB与∠EDC是对顶角，
∴∠ADB=∠EDC，
又
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABD∽△ECD（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{EC}=\frac{BD}{CD}$
将BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m代入得：
$\frac{AB}{50}=\frac{120}{60}$
解得：$AB=50×\frac{120}{60}=100$（m）
【答案】
100
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际测量问题的基础题型，核心是准确识别图中的相似三角形，结合相似性质列比例式计算即可，解题思路清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8
3.如图,河的南北两岸有一段岸线相互平行,北岸每隔4 m有一棵树。为了测量河的宽度,在南岸 l 上取一点 P,从南岸一侧离 l 垂直距离为 10 m 的点 A 处朝 P 点看去,视线 AP 延长后恰好看北岸的树 C;沿与 l 平行的直线前进 4 m 至点 B,再次朝 P 点看去,视线 BP 延长后恰好看北岸的树 D,树 C 与树 D 之间还有 1 棵树,求河的宽度。
答案
3.解:过点 P 作 l 的垂线,与 DC 的延长线交于点 F,与 BA 的延长线交于点 E，
因为南岸与北岸相互平行,即 $ CD// AB $,
所以$ △ PCD ∽ △ PAB $。
因为三角形的高线之比等于相似比，
所以$ \frac{PF}{PE}=\frac{CD}{AB} $。
由题意得 $ CD=8\ \mathrm{m},AB=4\ \mathrm{m},PE=10\ \mathrm{m} $,
所以$ \frac{PF}{10}=\frac{8}{4} $。
解得 $ PF=20 $,
即河的宽度为 20 m。
解析
【分析】
要解决河宽测量问题，首先观察到南北两岸平行，可得AB//CD，符合相似三角形的判定条件，因此考虑用相似三角形的性质求解：
1. 作辅助线：过P作南岸l的垂线，交北岸于F，交BA延长线于E，此时PF就是所求的河宽，PE是已知的点A到l的垂直距离；
2. 由平行可证△PCD∽△PAB，根据相似三角形对应高的比等于相似比，可列比例式$\frac{PF}{PE}=\frac{CD}{AB}$；
3. 结合题意计算各已知量：CD之间有1棵树，树间距为4m，故CD=2×4=8m，AB=4m，PE=10m，代入比例式即可求出PF的值。
【解析】
解：过点P作l的垂线，与DC的延长线交于点F，与BA的延长线交于点E，
∵南北两岸相互平行，即CD//AB，
∴△PCD∽△PAB，
∵相似三角形对应高线的比等于相似比，
∴$\frac{PF}{PE}=\frac{CD}{AB}$，
由题意得：CD=2×4=8m，AB=4m，PE=10m，
将各值代入比例式得：$\frac{PF}{10}=\frac{8}{4}$，
解得PF=20，即河宽为20m。
【答案】
过点 P 作 l 的垂线,与 DC 的延长线交于点 F,与 BA 的延长线交于点 E，
因为南岸与北岸相互平行,即 $ CD// AB $,
所以$ △ PCD ∽ △ PAB $。
因为三角形的高线之比等于相似比，
所以$ \frac{PF}{PE}=\frac{CD}{AB} $。
由题意得 $ CD=8\ \mathrm{m},AB=4\ \mathrm{m},PE=10\ \mathrm{m} $,
所以$ \frac{PF}{10}=\frac{8}{4} $。
解得 $ PF=20 $,
即河的宽度为 20 m。
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质；相似三角形应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际测量问题的典型题，解题核心是构造相似三角形，利用相似三角形的性质建立比例关系求解，很好地体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
要解决河宽测量问题，首先观察到南北两岸平行，可得AB//CD，符合相似三角形的判定条件，因此考虑用相似三角形的性质求解：
1. 作辅助线：过P作南岸l的垂线，交北岸于F，交BA延长线于E，此时PF就是所求的河宽，PE是已知的点A到l的垂直距离；
2. 由平行可证△PCD∽△PAB，根据相似三角形对应高的比等于相似比，可列比例式$\frac{PF}{PE}=\frac{CD}{AB}$；
3. 结合题意计算各已知量：CD之间有1棵树，树间距为4m，故CD=2×4=8m，AB=4m，PE=10m，代入比例式即可求出PF的值。
【解析】
解：过点P作l的垂线，与DC的延长线交于点F，与BA的延长线交于点E，
∵南北两岸相互平行，即CD//AB，
∴△PCD∽△PAB，
∵相似三角形对应高线的比等于相似比，
∴$\frac{PF}{PE}=\frac{CD}{AB}$，
由题意得：CD=2×4=8m，AB=4m，PE=10m，
将各值代入比例式得：$\frac{PF}{10}=\frac{8}{4}$，
解得PF=20，即河宽为20m。
【答案】
过点 P 作 l 的垂线,与 DC 的延长线交于点 F,与 BA 的延长线交于点 E，
因为南岸与北岸相互平行,即 $ CD// AB $,
所以$ △ PCD ∽ △ PAB $。
因为三角形的高线之比等于相似比，
所以$ \frac{PF}{PE}=\frac{CD}{AB} $。
由题意得 $ CD=8\ \mathrm{m},AB=4\ \mathrm{m},PE=10\ \mathrm{m} $,
所以$ \frac{PF}{10}=\frac{8}{4} $。
解得 $ PF=20 $,
即河的宽度为 20 m。
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质；相似三角形应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际测量问题的典型题，解题核心是构造相似三角形，利用相似三角形的性质建立比例关系求解，很好地体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
1.如图,为了估计河的宽度,在河的对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P,Q,S在一条直线上,且直线PS与河垂直,在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R。如果QS=60 m,ST=120 m,QR=80 m,则河的宽度PQ为(
A.40 m
B.60 m
C.120 m
D.180 m
C
)。A.40 m
B.60 m
C.120 m
D.180 m
答案
1.C
解析
【分析】
首先观察图形特征：直线b、直线a都与PS垂直，可得QR平行于ST，进而可判定△PQR与△PST相似；再结合相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的QS、ST、QR的长度，列出关于PQ的比例式，解方程即可求出河的宽度PQ。
【解析】
解：
∵ $QR⊥ PS$，$ST⊥ PS$
∴ $QR// ST$，$∠ PQR=∠ PST=90°$
又
∵ $∠ P=∠ P$（公共角）
∴ $△ PQR ∽ △ PST$
∴ $\frac{PQ}{PS}=\frac{QR}{ST}$
设PQ的长度为$x\ \mathrm{m}$，则$PS=PQ+QS=(x+60)\ \mathrm{m}$，
将$QR=80\ \mathrm{m}$，$ST=120\ \mathrm{m}$代入比例式得：
$\frac{x}{x+60}=\frac{80}{120}$
化简得$\frac{x}{x+60}=\frac{2}{3}$
交叉相乘得：$3x=2(x+60)$
解得$x=120$
即$PQ=120\ \mathrm{m}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的典型应用，解题核心是通过垂直关系得到平行线，进而证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例建立方程求解，解题思路清晰，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征：直线b、直线a都与PS垂直，可得QR平行于ST，进而可判定△PQR与△PST相似；再结合相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的QS、ST、QR的长度，列出关于PQ的比例式，解方程即可求出河的宽度PQ。
【解析】
解：
∵ $QR⊥ PS$，$ST⊥ PS$
∴ $QR// ST$，$∠ PQR=∠ PST=90°$
又
∵ $∠ P=∠ P$（公共角）
∴ $△ PQR ∽ △ PST$
∴ $\frac{PQ}{PS}=\frac{QR}{ST}$
设PQ的长度为$x\ \mathrm{m}$，则$PS=PQ+QS=(x+60)\ \mathrm{m}$，
将$QR=80\ \mathrm{m}$，$ST=120\ \mathrm{m}$代入比例式得：
$\frac{x}{x+60}=\frac{80}{120}$
化简得$\frac{x}{x+60}=\frac{2}{3}$
交叉相乘得：$3x=2(x+60)$
解得$x=120$
即$PQ=120\ \mathrm{m}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的典型应用，解题核心是通过垂直关系得到平行线，进而证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例建立方程求解，解题思路清晰，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
2.如图是一个照相机成像的示意图,如果底片AB宽40 mm,焦距是60 mm,所拍摄的2 m外的景物的宽CD为(
A.12 m
B.3 m
C.$\frac{3}{2}$ m
D.$\frac{4}{3}$ m
D
)。A.12 m
B.3 m
C.$\frac{3}{2}$ m
D.$\frac{4}{3}$ m
答案
2.D
解析
【分析】
首先观察图形可知底片AB与景物CD平行，可判定△AEB和△CED相似。根据相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于对应高的比，我们只需统一单位后，将已知的AB长度、E到AB的距离（焦距）、E到CD的距离代入比例式，即可求解CD的长度。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴△AEB∽△CED。
根据相似三角形的性质，相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{\mathrm{点E到AB的距离}}{\mathrm{点E到CD的距离}}$
先统一单位：$40\ \mathrm{mm}=0.04\ \mathrm{m}$，$60\ \mathrm{mm}=0.06\ \mathrm{m}$，设景物宽CD为$x\ \mathrm{m}$，代入得：
$\frac{0.04}{x}=\frac{0.06}{2}$
解得：$0.06x=0.04×2$，$x=\frac{0.08}{0.06}=\frac{4}{3}$
即景物CD的宽为$\frac{4}{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形的应用
【点评】
本题考查相似三角形在实际成像问题中的应用，解题的核心是准确找到相似三角形并对应好边和高的比例关系，计算时要注意单位统一，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知底片AB与景物CD平行，可判定△AEB和△CED相似。根据相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于对应高的比，我们只需统一单位后，将已知的AB长度、E到AB的距离（焦距）、E到CD的距离代入比例式，即可求解CD的长度。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴△AEB∽△CED。
根据相似三角形的性质，相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{\mathrm{点E到AB的距离}}{\mathrm{点E到CD的距离}}$
先统一单位：$40\ \mathrm{mm}=0.04\ \mathrm{m}$，$60\ \mathrm{mm}=0.06\ \mathrm{m}$，设景物宽CD为$x\ \mathrm{m}$，代入得：
$\frac{0.04}{x}=\frac{0.06}{2}$
解得：$0.06x=0.04×2$，$x=\frac{0.08}{0.06}=\frac{4}{3}$
即景物CD的宽为$\frac{4}{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形的应用
【点评】
本题考查相似三角形在实际成像问题中的应用，解题的核心是准确找到相似三角形并对应好边和高的比例关系，计算时要注意单位统一，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.7
