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3. 如图,在平行四边形ABCD中,$O_1$,$O_2$,$O_3$分别是对角线BD上的三点,且$BO_1 = O_1O_2 = O_2O_3 = O_3D$,连接$AO_1$并延长交BC于点E,连接$EO_3$并延长交AD于点F,则$AF:DF$等于(
A.$19:2$
B.$9:1$
C.$8:1$
D.$7:1$
C
)。A.$19:2$
B.$9:1$
C.$8:1$
D.$7:1$
答案
3.C
解析
【分析】
本题可利用平行四边形对边平行的性质推出两组相似三角形，首先根据BD的等分关系确定第一组相似三角形△BO₁E与△DO₁A的相似比，求出BE与AD的数量关系；再确定第二组相似三角形△BO₃E与△DO₃F的相似比，求出DF与AD的数量关系，最后计算AF与DF的比值即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠O₁BE=∠O₁DA，∠O₁EB=∠O₁AD，
∴△BO₁E∽△DO₁A。
由题意BO₁=O₁O₂=O₂O₃=O₃D，得BO₁:O₁D=1:3，
∴BE:AD=BO₁:O₁D=1:3，即$BE = \frac{1}{3}AD$。
又
∵AD//BC，
∴∠O₃BE=∠O₃DF，∠O₃EB=∠O₃FD，
∴△BO₃E∽△DO₃F。
由题意得BO₃:O₃D=3:1，
∴BE:DF=BO₃:O₃D=3:1，
∴$DF = \frac{1}{3}BE = \frac{1}{3}×\frac{1}{3}AD = \frac{1}{9}AD$，
∴$AF = AD - DF = AD - \frac{1}{9}AD = \frac{8}{9}AD$，
∴$AF:DF = \frac{8}{9}AD : \frac{1}{9}AD = 8:1$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的比例计算类题目，解题的核心是准确找到两组相似三角形，正确确定相似比，再通过比例关系推导所求线段的比值，是几何中较为典型的比例应用题型。
【难度系数】
0.7
本题可利用平行四边形对边平行的性质推出两组相似三角形，首先根据BD的等分关系确定第一组相似三角形△BO₁E与△DO₁A的相似比，求出BE与AD的数量关系；再确定第二组相似三角形△BO₃E与△DO₃F的相似比，求出DF与AD的数量关系，最后计算AF与DF的比值即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠O₁BE=∠O₁DA，∠O₁EB=∠O₁AD，
∴△BO₁E∽△DO₁A。
由题意BO₁=O₁O₂=O₂O₃=O₃D，得BO₁:O₁D=1:3，
∴BE:AD=BO₁:O₁D=1:3，即$BE = \frac{1}{3}AD$。
又
∵AD//BC，
∴∠O₃BE=∠O₃DF，∠O₃EB=∠O₃FD，
∴△BO₃E∽△DO₃F。
由题意得BO₃:O₃D=3:1，
∴BE:DF=BO₃:O₃D=3:1，
∴$DF = \frac{1}{3}BE = \frac{1}{3}×\frac{1}{3}AD = \frac{1}{9}AD$，
∴$AF = AD - DF = AD - \frac{1}{9}AD = \frac{8}{9}AD$，
∴$AF:DF = \frac{8}{9}AD : \frac{1}{9}AD = 8:1$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的比例计算类题目，解题的核心是准确找到两组相似三角形，正确确定相似比，再通过比例关系推导所求线段的比值，是几何中较为典型的比例应用题型。
【难度系数】
0.7
4.如图所示,某校宣传栏后面2 m处种了一排树,每隔2 m一棵,共种了6棵,小亮站在距宣传栏中间位置的垂直距离3 m处,正好看到两端的树干,其余的4棵均被挡住,那么宣传栏的长为
6
m。(不计宣传栏的厚度)答案
4.6
解析
【分析】
解题首先要把实际场景转化为相似三角形模型：小亮的视线与宣传栏、树排分别构成两个相似的等腰三角形，相似比等于小亮到两个底边的距离之比。第一步先计算树排的总长度：6棵树每隔2m一棵，间隔数为棵数减1，总长度=间隔数×间隔距离；第二步找到两个相似三角形的对应高，小亮距宣传栏3m，宣传栏距树2m，因此小亮到树排的距离是3+2=5m，相似比为3:5；第三步根据相似三角形对应边成比例列等式，即可求出宣传栏的长度。
【解析】
解：首先计算树排的总长度：
6棵树的间隔数为 $ 6-1=5 $ 个，每个间隔2m，因此树排总长为 $ 5 × 2 = 10\ \mathrm{m} $。
设宣传栏的长度为 $ x\ \mathrm{m} $，由题意可知，以宣传栏为底的三角形和以树排为底的三角形相似，两个三角形对应高的比等于小亮到宣传栏的距离与小亮到树排的距离之比，即相似比为 $ \frac{3}{3+2}=\frac{3}{5} $。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$ \frac{x}{10} = \frac{3}{5} $
解得 $ x=6 $。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的性质，相似三角形实际应用，植树间隔计算
【点评】
本题结合生活场景考查相似三角形的应用，解题的关键是准确建立相似三角形模型，同时注意计算树排总长度时，间隔数=棵数-1，避免因算错树排长度导致结果错误。
【难度系数】
0.7
解题首先要把实际场景转化为相似三角形模型：小亮的视线与宣传栏、树排分别构成两个相似的等腰三角形，相似比等于小亮到两个底边的距离之比。第一步先计算树排的总长度：6棵树每隔2m一棵，间隔数为棵数减1，总长度=间隔数×间隔距离；第二步找到两个相似三角形的对应高，小亮距宣传栏3m，宣传栏距树2m，因此小亮到树排的距离是3+2=5m，相似比为3:5；第三步根据相似三角形对应边成比例列等式，即可求出宣传栏的长度。
【解析】
解：首先计算树排的总长度：
6棵树的间隔数为 $ 6-1=5 $ 个，每个间隔2m，因此树排总长为 $ 5 × 2 = 10\ \mathrm{m} $。
设宣传栏的长度为 $ x\ \mathrm{m} $，由题意可知，以宣传栏为底的三角形和以树排为底的三角形相似，两个三角形对应高的比等于小亮到宣传栏的距离与小亮到树排的距离之比，即相似比为 $ \frac{3}{3+2}=\frac{3}{5} $。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$ \frac{x}{10} = \frac{3}{5} $
解得 $ x=6 $。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的性质，相似三角形实际应用，植树间隔计算
【点评】
本题结合生活场景考查相似三角形的应用，解题的关键是准确建立相似三角形模型，同时注意计算树排总长度时，间隔数=棵数-1，避免因算错树排长度导致结果错误。
【难度系数】
0.7
5.某天早上小亮在家里发现阳光通过窗口照射到室内，会在地面上留下亮区。小亮想通过已经掌握的知识求出家里窗户的高度。于是小亮利用家里的工具测得：此时阳光通过窗口照射到地面上留下2.7 m宽的亮区，测得亮区到窗口下的墙脚距离 $EC = 8.7\ \mathrm{m}$，窗口高度 $AB = 1.8\ \mathrm{m}$，求窗口底边离地面的高 $BC$ 的长度。
答案
5.$BC=4\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
解题时首先结合平行投影的特点，可知太阳光线是平行的，即$AE// BD$，由此可判定$△ BCD$与$△ ACE$相似；接下来结合相似三角形对应边成比例的性质，列出关于$BC$的比例式，代入已知数据求解即可得到$BC$的长度。
【解析】
解：
∵太阳光线是平行的，
∴$BD// AE$，
∴$∠ BDC=∠ AEC$，
又
∵$∠ C=∠ C$（公共角），
∴$△ BCD ∽ △ ACE$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{DC}{EC}$。
由题意可知：$ED=2.7\ \mathrm{m}$，$EC=8.7\ \mathrm{m}$，$AB=1.8\ \mathrm{m}$，
∴$DC=EC-ED=8.7-2.7=6\ \mathrm{m}$，$AC=AB+BC=1.8+BC$，
代入比例式得：$\frac{BC}{1.8+BC}=\frac{6}{8.7}$，
交叉相乘得：$8.7BC=6×(1.8+BC)$，
整理得：$2.7BC=10.8$，
解得：$BC=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
$BC=4\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质；平行投影性质
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的常见应用题型，解题的核心是借助平行光线得到平行线，进而构造出相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例的性质建立方程求解，解题时需注意准确识别相似三角形的对应边，避免比例关系列错。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合平行投影的特点，可知太阳光线是平行的，即$AE// BD$，由此可判定$△ BCD$与$△ ACE$相似；接下来结合相似三角形对应边成比例的性质，列出关于$BC$的比例式，代入已知数据求解即可得到$BC$的长度。
【解析】
解：
∵太阳光线是平行的，
∴$BD// AE$，
∴$∠ BDC=∠ AEC$，
又
∵$∠ C=∠ C$（公共角），
∴$△ BCD ∽ △ ACE$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{DC}{EC}$。
由题意可知：$ED=2.7\ \mathrm{m}$，$EC=8.7\ \mathrm{m}$，$AB=1.8\ \mathrm{m}$，
∴$DC=EC-ED=8.7-2.7=6\ \mathrm{m}$，$AC=AB+BC=1.8+BC$，
代入比例式得：$\frac{BC}{1.8+BC}=\frac{6}{8.7}$，
交叉相乘得：$8.7BC=6×(1.8+BC)$，
整理得：$2.7BC=10.8$，
解得：$BC=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
$BC=4\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质；平行投影性质
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的常见应用题型，解题的核心是借助平行光线得到平行线，进而构造出相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例的性质建立方程求解，解题时需注意准确识别相似三角形的对应边，避免比例关系列错。
【难度系数】
0.7
6.为了保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，小亮和小莹想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长度。如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB，AC的延长线上取点D，E，使得DE//BC。经测量，BC＝80 m，DE＝140 m，且点E到河岸BC的距离为75 m。已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据帮助他们计算桥AF的长度。
答案
6.$AF=100\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
首先由$DE// BC$可判定$△ ABC ∽ △ ADE$，根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，我们设桥长$AF$为$x\ \mathrm{m}$。其中$△ ABC$中$BC$边上的高为$AF=x$，由于河岸平行，$△ ADE$中$DE$边上的高为$AF$加上点$E$到$BC$的距离，即$x+75$，最后结合已知的$BC$、$DE$长度列比例式求解即可。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ ABC=∠ D$，$∠ ACB=∠ E$，
$\therefore △ ABC ∽ △ ADE$。
$\because AF⊥ BC$，且两侧河岸平行，
$\therefore △ ADE$中$DE$边上的高为$(AF+75)\mathrm{m}$。
设$AF=x\ \mathrm{m}$，根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{AF}{AF+75}=\frac{BC}{DE}$
将$BC=80\ \mathrm{m}$，$DE=140\ \mathrm{m}$代入得：
$\frac{x}{x+75}=\frac{80}{140}$
交叉相乘化简得：
$140x=80(x+75)$
$140x=80x+6000$
$60x=6000$
$x=100$
经检验，$x=100$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
$AF=100\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景的典型应用，解题核心是准确找到相似三角形，理清对应高和相似比的对应关系，结合方程思想求解，计算后要注意检验解是否符合实际情况。
【难度系数】
0.7
首先由$DE// BC$可判定$△ ABC ∽ △ ADE$，根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，我们设桥长$AF$为$x\ \mathrm{m}$。其中$△ ABC$中$BC$边上的高为$AF=x$，由于河岸平行，$△ ADE$中$DE$边上的高为$AF$加上点$E$到$BC$的距离，即$x+75$，最后结合已知的$BC$、$DE$长度列比例式求解即可。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ ABC=∠ D$，$∠ ACB=∠ E$，
$\therefore △ ABC ∽ △ ADE$。
$\because AF⊥ BC$，且两侧河岸平行，
$\therefore △ ADE$中$DE$边上的高为$(AF+75)\mathrm{m}$。
设$AF=x\ \mathrm{m}$，根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{AF}{AF+75}=\frac{BC}{DE}$
将$BC=80\ \mathrm{m}$，$DE=140\ \mathrm{m}$代入得：
$\frac{x}{x+75}=\frac{80}{140}$
交叉相乘化简得：
$140x=80(x+75)$
$140x=80x+6000$
$60x=6000$
$x=100$
经检验，$x=100$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
$AF=100\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景的典型应用，解题核心是准确找到相似三角形，理清对应高和相似比的对应关系，结合方程思想求解，计算后要注意检验解是否符合实际情况。
【难度系数】
0.7
7.中国高铁近年来以震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥。如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M，N为山的两侧），工程人员为了计算M，N两点之间的直线距离，选择了在测量点A，B，C进行测量，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM=1200 m，AN=2000 m，AB=30 m，BC=45 m，AC=18 m，求直线隧道MN的长。
答案
7.$MN=3\ 000\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
要计算山两侧M、N的距离，观察图形可知∠A是△ACB和△AMN的公共角，我们可先验证夹公共角的两组边是否对应成比例，若满足则可判定两个三角形相似，再结合相似三角形对应边成比例的性质，即可代入已知边长求出MN的长度。
【解析】
解：在$△ ACB$和$△ AMN$中，
$\frac{AC}{AM}=\frac{18}{1200}=\frac{3}{200}$，
$\frac{AB}{AN}=\frac{30}{2000}=\frac{3}{200}$，
∴ $\frac{AC}{AM}=\frac{AB}{AN}$，
又
∵ $∠ A=∠ A$，
∴ $△ ACB ∽ △ AMN$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{BC}{MN}=\frac{AC}{AM}$，
将$BC=45\ \mathrm{m}$，$AC=18\ \mathrm{m}$，$AM=1200\ \mathrm{m}$代入得：
$\frac{45}{MN}=\frac{18}{1200}$，
解得：$MN=\frac{45×1200}{18}=3000\ \mathrm{m}$。
【答案】
$MN=3000\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的典型应用，解题的核心是找到公共角，通过验证边的比例关系判定三角形相似，再利用相似性质求解未知边长，能很好地考查学生将实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.75
要计算山两侧M、N的距离，观察图形可知∠A是△ACB和△AMN的公共角，我们可先验证夹公共角的两组边是否对应成比例，若满足则可判定两个三角形相似，再结合相似三角形对应边成比例的性质，即可代入已知边长求出MN的长度。
【解析】
解：在$△ ACB$和$△ AMN$中，
$\frac{AC}{AM}=\frac{18}{1200}=\frac{3}{200}$，
$\frac{AB}{AN}=\frac{30}{2000}=\frac{3}{200}$，
∴ $\frac{AC}{AM}=\frac{AB}{AN}$，
又
∵ $∠ A=∠ A$，
∴ $△ ACB ∽ △ AMN$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{BC}{MN}=\frac{AC}{AM}$，
将$BC=45\ \mathrm{m}$，$AC=18\ \mathrm{m}$，$AM=1200\ \mathrm{m}$代入得：
$\frac{45}{MN}=\frac{18}{1200}$，
解得：$MN=\frac{45×1200}{18}=3000\ \mathrm{m}$。
【答案】
$MN=3000\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的典型应用，解题的核心是找到公共角，通过验证边的比例关系判定三角形相似，再利用相似性质求解未知边长，能很好地考查学生将实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.75
