8.如图所示的一张三角形纸片ABC,边AB的长为20 cm,AB边上的高为25 cm,在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4 cm的矩形纸条,若剪得的其中一张纸条是正方形,那么这张正方形纸条是（）。


A.第4张
B.第5张
C.第6张
D.第7张

8.B

【分析】
本题可利用相似三角形的性质求解。首先明确剪出正方形时，正方形的边长为4cm，此时正方形上方的小三角形与原△ABC相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比，先求出小三角形的高，再计算出正方形到AB边的总高度，最后除以每张纸条的宽度即可得到纸条的张数。
【解析】
已知裁剪的矩形纸条宽为4cm，若纸条为正方形，则其边长为4cm，即正方形上方与△ABC相似的小三角形的底边长为4cm。
设该小三角形的高为$ h \, \mathrm{cm} $，原△ABC的底$ AB=20\,\mathrm{cm} $，AB边上的高为25cm。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{\mathrm{小三角形的底}}{AB} = \frac{\mathrm{小三角形的高}}{\mathrm{原三角形的高}}$
代入数据：
$\frac{4}{20} = \frac{h}{25}$
解得$ h=5\,\mathrm{cm} $。
则正方形所在位置距离AB边的高度为$ 25 - 5 = 20\,\mathrm{cm} $，每张纸条宽4cm，因此纸条的张数为$ 20÷4=5 $，即该正方形纸条是第5张。
【答案】
B
【知识点】
1.相似三角形的性质 2.相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形结合实际裁剪的典型题型，解题核心是抓住相似三角形对应线段成比例的特点建立等量关系，计算时需注意总高度和纸条张数的对应关系，避免多算或少算张数。
【难度系数】
0.6

9.初三数学小组准备用所学知识测量路灯AB 的高度。路灯底端有花坛无法直接抵达，在路灯一侧有一棵高为3 m 的小树EF(EF=3 m)。小亮站在距离小树2 m的D处(DF=2 m)观察，发现他的眼睛C与小树的顶端E、路灯的顶端A在同一条直线上。小亮的眼睛距离地面1.6 m(CD=1.6 m)。小亮又在小树的前方P处放置一个平面镜，紧靠小树站立(小亮与树之间的距离忽略不计)，恰好在镜面中看到路灯的顶端A。已知平面镜距离小树1 m(FP=1 m)，请你帮助小亮计算路灯AB 的高度。(结果精确到0.1 m)

9.解:过点 C 作 $CG⊥ AB$ 于点 G,交 EF 于 Q,如图，
由题意得,$AB⊥ BD,CD⊥ BD,EF⊥ BD$,
所以 $AB// CD// EF$。
因为 $CG⊥ AB$,
所以 $CG// BD$。
所以四边形 $DCQF$、四边形 $DCGB$ 均是矩形。
所以 $CQ=DF=2\ \mathrm{m},BG=FQ=CD=1.6\ \mathrm{m}$,$CG=BD$。
因为 $EF=3\ \mathrm{m}$,
所以 $EQ=EF-FQ=1.4(\mathrm{m})$。
设 $AG=x\ \mathrm{m}$,则 $AB=(x+1.6)\ \mathrm{m}$,
由光的反射可知,$∠ FPQ=∠ APB$,
又因为$∠ PFQ=∠ ABP=90°$,
所以$△ FPQ∽△ BPA$。
所以$\frac{FQ}{AB}=\frac{PF}{PB}$。
即$\frac{1.6}{x+1.6}=\frac{1}{PB}$。
所以 $PB=\frac{5}{8}x+1$。
所以 $CG=BD=2+1+\frac{5}{8}x+1=(4+\frac{5}{8}x)\ \mathrm{m}$。
因为 $EF// AB$,
所以$△ CQE∽△ CGA$。
所以$\frac{EQ}{AG}=\frac{CQ}{CG}$。
即$\frac{1.4}{x}=\frac{2}{4+\frac{5}{8}x}$
解得 $x\approx4.98$。
所以路灯 $AB$ 的高度为
$4.98+1.6=6.58\approx6.6(\mathrm{m})$。

【分析】
这是一道利用相似三角形测量高度的实际应用题，解题可按以下思路展开：首先根据已知的多个垂直于地面的线段得到平行关系，通过作水平辅助线构造矩形和相似三角形，将已知的竖直高度、水平距离转化为相似三角形的对应边；其次利用平面镜反射的反射角等于入射角得到第一组相似三角形，用含未知数的式子表示出路灯底端到平面镜的水平距离；最后利用平行线得到第二组相似三角形，联立两组相似的比例式求解，即可得到路灯的高度。
【解析】
过点 C 作 $CG⊥ AB$ 于点 G，交 EF 于 Q，
由题意得：$AB⊥ BD,CD⊥ BD,EF⊥ BD$，
因此 $AB// CD// EF$，
又因为 $CG⊥ AB$，所以 $CG// BD$，
所以四边形 $DCQF$、四边形 $DCGB$ 均为矩形，
因此 $CQ=DF=2\ \mathrm{m},BG=FQ=CD=1.6\ \mathrm{m}$，$CG=BD$。
已知 $EF=3\ \mathrm{m}$，所以 $EQ=EF-FQ=3-1.6=1.4\ \mathrm{m}$。
设 $AG=x\ \mathrm{m}$，则 $AB=(x+1.6)\ \mathrm{m}$，
根据光的反射定律可得：$∠ FPQ=∠ APB$，
又 $∠ PFQ=∠ ABP=90°$，所以 $△ FPQ∽△ BPA$，
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{FQ}{AB}=\frac{PF}{PB}$，
代入数值得：$\frac{1.6}{x+1.6}=\frac{1}{PB}$，解得 $PB=\frac{5}{8}x+1$，
因此 $CG=BD=DF+FP+PB=2+1+\frac{5}{8}x+1=(4+\frac{5}{8}x)\ \mathrm{m}$。
因为 $EF// AB$，所以 $△ CQE∽△ CGA$，
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{EQ}{AG}=\frac{CQ}{CG}$，
代入数值得：$\frac{1.4}{x}=\frac{2}{4+\frac{5}{8}x}$，
解方程得 $x\approx4.98$，
因此 $AB=x+1.6\approx4.98+1.6=6.58\approx6.6(\mathrm{m})$。
【答案】
路灯AB的高度约为6.6 m。
【知识点】
相似三角形的应用，光的反射定律，矩形的性质
【点评】
本题结合生活中的高度测量场景，将几何知识和实际生活相结合，需要学生从题干中提取有效几何信息，构建相似三角形模型，通过列方程求解未知数，对学生的模型构建能力和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

10.如图,小莹想用学过的知识测算河的宽度EF。在河对岸有一棵高4.64 m的树GF,树GF在河里的倒影为HF,且GF=HF,小莹在岸边调整自己的位置,当站在点B处时恰好看到岸边点C和倒影顶点H在一条直线上,点C到水面EF的距离CE=0.58 m,小莹的眼睛与地面的距离(AB)为1.74 m,BC=2.7 m,AB⊥BC,CE⊥EF,HF⊥EF,GF⊥EF,BC//EF,视线AH与水面EF的交点为D,请你根据以上测量方法及数据,求出河的宽度EF。

10.解:因为 $BC// EF$,$AB⊥ BC$,$CE⊥ EF$,
所以$∠ ACB=∠ CDE$,$∠ ABC=∠ CED=90°$。
所以$△ ABC∽△ CED$。
所以$\frac{AB}{CE}=\frac{BC}{ED}$,即$\frac{1.74}{0.58}=\frac{2.7}{ED}$。
所以 $ED=0.9$。
因为 $CE⊥ EF$,$FH⊥ EF$,
所以$∠ CED=∠ HFD=90°$。
因为$∠ CDE=∠ HDF$,
所以$△ CED∽△ HFD$。
所以$\frac{FH}{CE}=\frac{DF}{ED}$,即$\frac{4.64}{0.58}=\frac{DF}{0.9}$,
所以 $DF=7.2$。
所以 $EF=ED+DF=0.9+7.2=8.1$。
所以河的宽度 $EF$ 为 $8.1\ \mathrm{m}$。

【分析】
解题时首先观察图形中的垂直与平行关系，第一步先利用$BC// EF$以及$AB⊥ BC$、$CE⊥ EF$的条件，证明$△ ABC$和$△ CED$相似，借助已知的$AB$、$CE$、$BC$的长度，通过相似三角形对应边成比例求出$ED$的长度；第二步再利用$CE⊥ EF$、$HF⊥ EF$，结合对顶角相等，证明$△ CED$和$△ HFD$相似，代入已知的$HF$、$CE$和刚求出的$ED$的长度，求出$DF$的长度；最后河宽$EF$是$ED$与$DF$的和，相加即可得到结果。
【解析】
解：因为 $BC// EF$,$AB⊥ BC$,$CE⊥ EF$,
所以$∠ ACB=∠ CDE$,$∠ ABC=∠ CED=90°$。
所以$△ ABC∽△ CED$。
所以$\frac{AB}{CE}=\frac{BC}{ED}$,即$\frac{1.74}{0.58}=\frac{2.7}{ED}$。
解得 $ED=0.9\ \mathrm{m}$。
因为 $CE⊥ EF$,$FH⊥ EF$,
所以$∠ CED=∠ HFD=90°$。
又因为$∠ CDE=∠ HDF$（对顶角相等）,
所以$△ CED∽△ HFD$。
由题知$FH=GF=4.64\ \mathrm{m}$，所以$\frac{FH}{CE}=\frac{DF}{ED}$，代入得$\frac{4.64}{0.58}=\frac{DF}{0.9}$,
解得 $DF=7.2\ \mathrm{m}$。
所以 $EF=ED+DF=0.9+7.2=8.1\ \mathrm{m}$。
【答案】
河的宽度$EF$为$\boxed{8.1\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活中的倒影测量场景，考查相似三角形在实际问题中的应用，解题的核心是从实际场景中抽象出相似三角形几何模型，准确找到相似三角形的对应边，利用对应边成比例逐步求解未知线段，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7