1. 逆用二次根式的乘除法法则，可得：
$\sqrt{ab} = \_\_\_\_\_\_ \ (a≥0,b≥0);$
$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \_\_\_\_\_\_ \ (a≥0,b＞0)。$

1.$\sqrt{a} · \sqrt{b} \ \ \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

【分析】
解题时首先明确“逆用法则”的含义是将正法则的等号左右两边互换位置。首先回忆二次根式乘法的正法则：两个非负二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），逆用即可得到积的算术平方根的表达式；再回忆二次根式除法的正法则：两个非负二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），逆用即可得到商的算术平方根的表达式，同时要注意法则中字母的取值范围要求。
【解析】
1. 推导$\sqrt{ab}$的逆用公式：
已知二次根式乘法法则为$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），逆用该法则，将等号左右两边互换，可得$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$）。
2. 推导$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$的逆用公式：
已知二次根式除法法则为$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），逆用该法则，将等号左右两边互换，可得$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0,b＞0$）。
【答案】
$\sqrt{a} · \sqrt{b}$；$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
【知识点】
积的算术平方根的性质、商的算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查二次根式乘除法法则的逆应用，解题核心是熟练掌握相关性质的正反转化，同时要注意性质成立的字母取值限制，避免忽略分母不为0的要求。
【难度系数】
0.9

2. 最简二次根式，一般地，被开方数中不含，也不含的二次根式，叫作最简二次根式。

2. 分母 能开得尽方的因数或因式

【分析】
本题考查最简二次根式的定义，属于概念识记类题目，解题时直接回忆最简二次根式的两个核心判定条件即可：第一，被开方数不能包含分母；第二，被开方数的每一个因数或因式的指数都要小于根指数2，也就是不存在能开得尽方的因数或因式，对应填入两个空即可。
【解析】
根据最简二次根式的定义：一般地，被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫作最简二次根式，因此两个空依次填入对应概念内容即可。
【答案】
分母；能开得尽方的因数或因式
【知识点】
最简二次根式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对教材基础定义的记忆，熟练掌握相关概念即可轻松得分。
【难度系数】
0.9

3. 化简时，通常要求最终结果中分母不含有，而且各个二次根式是。

3. 根号 最简二次根式

【分析】
这道题考查二次根式化简的基本规范要求，解题时回忆二次根式化简的相关规则即可：首先我们要求化简后的结果形式统一，分母不能带有根号，需要通过分母有理化去除分母中的根号；其次最终结果里的二次根式需要化为最简状态，也就是不能再继续化简的二次根式，对应就是最简二次根式的要求。
【解析】
根据二次根式化简的基本规定：
1. 最终结果的分母中不允许含有根号，若分母有根号需要做分母有理化处理；
2. 结果中所有的二次根式都必须是最简二次根式，即满足被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
因此两个空依次填入对应内容即可。
【答案】
根号；最简二次根式
【知识点】
二次根式化简规则；最简二次根式；分母有理化
【点评】
本题属于基础概念类题目，直接考查二次根式化简的基本要求，是二次根式运算的基础，牢记相关规则即可正确作答。
【难度系数】
0.9

1. 下列运算错误的是()。

A.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6}$
B.$\sqrt{15} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{5}$
C.$\sqrt{5} + \sqrt{3} = \sqrt{8}$
D.$4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$

1.C

【分析】
本题考查二次根式的运算，解题思路是先回忆二次根式的乘、除、加减运算法则，再逐一验证每个选项的运算是否正确，最终选出运算错误的选项。二次根式乘除运算遵循“根号不变，被开方数相乘除”的规则；二次根式加减运算时，只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时仅把系数相加减，根号部分保持不变。
【解析】
我们逐个判断选项：
A. 根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{2×3} = \sqrt{6}$，运算正确，不符合题意；
B. 根据二次根式除法法则$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），可得$\sqrt{15} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{\frac{15}{3}} = \sqrt{5}$，运算正确，不符合题意；
C. $\sqrt{5}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不是同类二次根式，不能直接合并相加，$\sqrt{5}+\sqrt{3}$已经是最简形式，无法得到$\sqrt{8}$，运算错误，符合题意；
D. $4\sqrt{3}$和$3\sqrt{3}$是同类二次根式，合并时系数相减、根号部分不变，即$4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = (4-3)\sqrt{3} = \sqrt{3}$，运算正确，不符合题意。
综上，运算错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘法运算；二次根式的除法运算；二次根式的加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查对二次根式运算法则的掌握程度，尤其要注意只有同类二次根式才能合并，切勿将被开方数不同的二次根式强行合并运算。
【难度系数】
0.8

2. 下列二次根式是最简二次根式的是（）。

A.$\sqrt{11}$
B.$\sqrt{27}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
D.$\sqrt{a^2}$

2.A

【分析】
首先明确最简二次根式需要同时满足两个判定条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时将每个选项对照这两个条件逐一判断，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $\sqrt{11}$：被开方数11是整数，且11不含有能开得尽方的因数，满足最简二次根式的全部条件，是最简二次根式。
B. $\sqrt{27}$：被开方数27可拆分为$9×3$，其中9是能开得尽方的因数，化简后为$3\sqrt{3}$，不是最简二次根式。
C. $\sqrt{\dfrac{1}{2}}$：被开方数是分数，不符合“被开方数的因数是整数”的要求，化简后为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，不是最简二次根式。
D. $\sqrt{a^2}$：被开方数$a^2$是能开得尽方的因式，化简后为$|a|$，不是最简二次根式。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题属于基础题，核心考查对最简二次根式概念的理解，牢记判定条件就能快速完成判断。
【难度系数】
0.9

3. 下列二次根式，不能与$\sqrt{2}$合并的是（）。

3.B

【分析】
要判断哪个二次根式不能与$\sqrt{2}$合并，首先明确判定规则：只有同类二次根式才能合并，同类二次根式是指化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。因此解题步骤为：先将四个选项的二次根式全部化为最简二次根式，再对比化简后的被开方数是否为2，被开方数不等于2的就无法和$\sqrt{2}$合并。
【解析】
对每个选项逐一化简判断：
A. $\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1×2}{2×2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，化简后被开方数为2，是同类二次根式，可以和$\sqrt{2}$合并；
B. $\sqrt{0.2}=\sqrt{\frac{1}{5}}=\sqrt{\frac{1×5}{5×5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，化简后被开方数为5，不是同类二次根式，不能和$\sqrt{2}$合并；
C. $\sqrt{2^3}=\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，化简后被开方数为2，是同类二次根式，可以和$\sqrt{2}$合并；
D. $\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$，化简后被开方数为2，是同类二次根式，可以和$\sqrt{2}$合并。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式；同类二次根式；二次根式化简
【点评】
本题主要考查同类二次根式的识别，解题的关键是先将所有二次根式化为最简形式，再对比被开方数是否相同，处理含小数、分数的二次根式时，建议先统一转化为分数形式再化简，可减少计算错误。
【难度系数】
0.8

4. 下列计算正确的是()。

A.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
B.$3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=1$
C.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
D.$3\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{3}$

4.D

【分析】
这是一道二次根式运算的正误判断题，解题时需结合二次根式的性质、二次根式加减运算法则，逐一对四个选项进行计算验证即可选出正确选项。核心判断依据有两个：①算术平方根具有非负性，$\sqrt{a}(a≥0)$的结果一定是非负数；②二次根式加减时，只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时仅系数相加减，被开方数保持不变，非同类二次根式不能直接合并。
【解析】
逐个分析各选项：
A选项：先计算根号内的部分，$(-2)^2=4$，再求算术平方根得$\sqrt{4}=2≠-2$，故A错误；
B选项：$3\sqrt{3}$和$2\sqrt{3}$是同类二次根式，合并时系数相减、根式部分不变，即$3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=(3-2)\sqrt{3}=\sqrt{3}≠1$，故B错误；
C选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相加，$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，故C错误；
D选项：先化简$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此$3\sqrt{\frac{1}{3}}=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质；二次根式的加减；二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式基础运算题，重点考查对二次根式基本性质和运算法则的掌握情况，易错点是忽略算术平方根的非负性、误将非同类二次根式直接合并，熟练掌握基础规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8

5. 已知$a=\sqrt{2}-1$，则代数式$a^2 + 2a +1$的值是（）。

A.$2\sqrt{2}$
B.$1+\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}-2$
D.$2$

5.D

【分析】
拿到本题后，不要直接将a的值代入代数式硬算，先观察代数式的结构特征：$a^2+2a+1$刚好符合完全平方和公式的形式，因此可以先利用完全平方公式对代数式因式分解，化简后再代入a的值计算，能大幅减少计算量，降低出错概率。
【解析】
第一步：利用完全平方公式化简代数式
根据完全平方和公式$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，可得：
$a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$
第二步：代入$a=\sqrt{2}-1$计算
将$a=\sqrt{2}-1$代入$(a+1)^2$中：
原式$=(\sqrt{2}-1 + 1)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，二次根式运算，代数式求值
【点评】
本题属于基础的代数式求值类题目，优先观察代数式结构，利用公式化简后代入计算是最优解法，比直接代入计算更简便，能有效避免运算错误。
【难度系数】
0.8

6. 若最简二次根式$\sqrt{1-2a}$与$2\sqrt{7}$可以进行合并，则$a$的值是。

6.$-3$

【分析】
要解决本题，首先回忆二次根式合并的相关规则：若几个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数完全相同。本题中两个二次根式均为最简形式，因此只需令二者的被开方数相等，列出关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值。
【解析】
解：
∵最简二次根式$\sqrt{1-2a}$与$2\sqrt{7}$可以合并
∴二者是同类二次根式，被开方数相等，即：
$1-2a=7$
移项得：$-2a=7-1$
合并同类项得：$-2a=6$
系数化为1得：$a=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
同类二次根式，最简二次根式，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查同类二次根式的判定规则，解题的关键点是抓住“最简二次根式可合并则被开方数相同”这一性质，计算量小，掌握相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8

7. 化简下列各式：
(1) $\sqrt{48} =$ ；(2) $\sqrt{\dfrac{2}{3}} =$ ；
(3) $\sqrt{0.1} =$ ；(4) $\sqrt{\dfrac{1}{8}} =$ 。

7.(1)$4\sqrt{3}$ (2)$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ (3)$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$ (4)$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

【分析】
本题考查二次根式的化简，化简目标是得到最简二次根式，需满足两个要求：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母（即分母中不含根号）。解题思路如下：
1. 若被开方数是整数，先将其分解为“完全平方数×剩余正整数”的形式，再利用二次根式性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，把完全平方数开方到根号外；
2. 若被开方数是小数或分数，先将其转化为分数形式，再利用$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$，给分子分母同乘合适的数，将分母凑成完全平方数，再开方去掉分母的根号即可。
【解析】
(1) 把48分解为完全平方数16和3的乘积：
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=\sqrt{16}×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$
(2) 给被开方数的分子分母同乘3，将分母凑为完全平方数9：
$\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2×3}{3×3}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
(3) 先将0.1转化为分数$\frac{1}{10}$，再给分子分母同乘10，将分母凑为完全平方数100：
$\sqrt{0.1}=\sqrt{\frac{1}{10}}=\sqrt{\frac{1×10}{10×10}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$
(4) 给被开方数的分子分母同乘2，将分母凑为完全平方数16：
$\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{1×2}{8×2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{16}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$
【答案】
(1)$4\sqrt{3}$；(2)$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$；(3)$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$；(4)$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 最简二次根式
3. 分母有理化
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，核心是掌握最简二次根式的判定标准，熟练运用二次根式的性质对被开方数进行变形，化简时注意最终结果要符合最简二次根式的要求，这类题型是后续二次根式运算的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8

8. 化简：
(1) $\sqrt{16 × \dfrac{9}{25}}$；
(2) $\sqrt{16 × 2}$；
(3) $\sqrt{45}$；
(4) $\sqrt{1\dfrac{1}{2}}$。

8.(1)$\dfrac{12}{5}$ (2)$4\sqrt{2}$ (3)$3\sqrt{5}$ (4)$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

【分析】
化简二次根式的核心是利用二次根式的性质，将被开方数中能开得尽方的因数开出来，最终结果化为最简二次根式（被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数）。解题思路：①若被开方数是多个因数的乘积，先拆分出完全平方数的因数，利用积的算术平方根的性质分别开方后相乘；②若被开方数是带分数，先化为假分数，再利用商的算术平方根的性质变形，最后通过分母有理化得到最简结果。
【解析】
根据二次根式的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (a≥0,b＞0)$，计算如下：
(1) $\sqrt{16 × \dfrac{9}{25}}=\sqrt{16}×\sqrt{\dfrac{9}{25}}=4×\dfrac{3}{5}=\dfrac{12}{5}$
(2) $\sqrt{16 × 2}=\sqrt{16}×\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
(3) $\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=\sqrt{9}×\sqrt{5}=3\sqrt{5}$
(4) 先将带分数化为假分数：$\sqrt{1\dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$，再化简得：$\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
【答案】
(1)$\dfrac{12}{5}$；(2)$4\sqrt{2}$；(3)$3\sqrt{5}$；(4)$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
二次根式的性质，二次根式化简，分母有理化
【点评】
本题是二次根式化简的基础练习题，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算性质，注意被开方数为带分数时要先转化为假分数，最终结果必须为最简二次根式。
【难度系数】
0.85

9. 下列说法错误的是()。

A.$\sqrt{a}$是二次根式
B.$\sqrt{17}$是最简二次根式
C.$\sqrt{a^2 + b^2}$是非负数
D.$\sqrt{a^2 + 16}$的最小值是4

9.A

【分析】
本题考查二次根式相关概念的正误判断，解题时需要结合二次根式的定义、最简二次根式的判定规则、二次根式的非负性等知识点，逐一分析每个选项，最终找出错误的说法。首先要明确二次根式成立的核心前提是被开方数为非负数，再结合各选项的表述依次验证即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：
根据二次根式的定义，形如$\sqrt{a}$（$a≥ 0$）的式子才是二次根式，该选项没有给出$a≥ 0$的前提，若$a＜0$，$\sqrt{a}$无意义，不属于二次根式，因此该说法错误。
2. 分析选项B：
最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。$\sqrt{17}$的被开方数17是质数，不含能开得尽方的因数，也不含分母，属于最简二次根式，该说法正确。
3. 分析选项C：
根据二次根式的性质，二次根式的计算结果是非负数，且$a^2+b^2≥ 0$恒成立，因此$\sqrt{a^2 + b^2}$是非负数，该说法正确。
4. 分析选项D：
由于平方数的非负性，$a^2≥ 0$，因此$a^2+16≥ 16$，对两边同时取算术平方根可得$\sqrt{a^2 + 16}≥ \sqrt{16}=4$，当$a=0$时取到最小值4，该说法正确。
综上，说法错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的定义；最简二次根式；二次根式的非负性
【点评】
本题是二次根式的基础概念题，解题关键是牢记二次根式成立的前提是被开方数为非负数，易错点是判断A选项时忽略a的取值范围，误认$\sqrt{a}$一定是二次根式。
【难度系数】
0.8

10. 若$\sqrt{12} + \sqrt{y} = \sqrt{27}$，则$y$的值为（）。

A.8
B.15
C.3
D.2

10.C

【分析】
本题考查二次根式的加减相关运算，解题思路如下：首先回忆二次根式加减的运算规则，只有同类二次根式（即化简后被开方数相同的二次根式）才能合并，因此第一步需要先把题中不是最简形式的√12和√27化为最简二次根式，再通过移项合并同类二次根式求出√y的值，最后两边平方即可得到y的数值。
【解析】
第一步：化简二次根式
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=\sqrt{9}×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
第二步：将化简结果代入原式
$2\sqrt{3}+\sqrt{y}=3\sqrt{3}$
第三步：移项合并同类二次根式
$\sqrt{y}=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$
第四步：两边同时平方求y
$y=(\sqrt{3})^2=3$
【答案】
C
【知识点】
二次根式化简；二次根式加减运算；二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查最简二次根式的化简方法和同类二次根式的合并规则，熟练掌握二次根式的基本化简技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.8