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11. 计算：
(1) $\sqrt{45} ÷ \sqrt{3} × \sqrt{\frac{1}{3}}$；
(2) $\frac{3\sqrt{5} × 2\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$；
(3) $(2\sqrt{3} - 1)^2$；
(4) $(2\sqrt{3} - \sqrt{\frac{3}{2}}) × \sqrt{\frac{2}{3}}$；
(5)
(1) $\sqrt{45} ÷ \sqrt{3} × \sqrt{\frac{1}{3}}$；
(2) $\frac{3\sqrt{5} × 2\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$；
(3) $(2\sqrt{3} - 1)^2$；
(4) $(2\sqrt{3} - \sqrt{\frac{3}{2}}) × \sqrt{\frac{2}{3}}$；
(5)
答案
(1)$\sqrt{5}$ (2)$6\sqrt{3}$ (3)$13-4\sqrt{3}$ (4)$2\sqrt{2}-1$ (5)$-\sqrt{3}-2$
解析
【分析】
这是一组二次根式混合运算题，解题思路如下：1. 二次根式的乘除运算遵循从左到右的顺序，利用$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$、$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$计算，最终化简为最简二次根式；2. 含括号的运算优先用乘法分配律、完全平方公式展开，再逐步计算；3. 计算结束后合并同类项，保证结果为最简形式。
【解析】
(1) 按从左到右顺序计算乘除：
$\begin{aligned}\sqrt{45} ÷ \sqrt{3} × \sqrt{\frac{1}{3}}&=\sqrt{45÷3}×\sqrt{\frac{1}{3}}\\&=\sqrt{15}×\sqrt{\frac{1}{3}}\\&=\sqrt{15×\frac{1}{3}}\\&=\sqrt{5}\end{aligned}$
(2) 先约分再计算乘法：
$\begin{aligned}\frac{3\sqrt{5} × 2\sqrt{3}}{\sqrt{5}}&=3×2\sqrt{3}\\&=6\sqrt{3}\end{aligned}$
(3) 利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$计算：
$\begin{aligned}(2\sqrt{3} - 1)^2&=(2\sqrt{3})^2-2×2\sqrt{3}×1+1^2\\&=12-4\sqrt{3}+1\\&=13-4\sqrt{3}\end{aligned}$
(4) 利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}(2\sqrt{3} - \sqrt{\frac{3}{2}}) × \sqrt{\frac{2}{3}}&=2\sqrt{3}×\sqrt{\frac{2}{3}}-\sqrt{\frac{3}{2}}×\sqrt{\frac{2}{3}}\\&=2\sqrt{3×\frac{2}{3}}-\sqrt{\frac{3}{2}×\frac{2}{3}}\\&=2\sqrt{2}-1\end{aligned}$
(5) 拆分分子化简后再计算减法：
$\begin{aligned}\frac{\sqrt{18}-\sqrt{6}}{\sqrt{2}} - \sqrt{25}&=\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}-5\\&=\sqrt{9}-\sqrt{3}-5\\&=3-\sqrt{3}-5\\&=-\sqrt{3}-2\end{aligned}$
【答案】
(1)$\sqrt{5}$ (2)$6\sqrt{3}$ (3)$13-4\sqrt{3}$ (4)$2\sqrt{2}-1$ (5)$-\sqrt{3}-2$
【知识点】
二次根式乘除运算，完全平方公式，二次根式混合运算
【点评】
本题侧重考查二次根式的基础运算能力，熟练掌握二次根式的化简规则、运算法则和运算律是解题核心，计算时注意运算顺序，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.7
这是一组二次根式混合运算题，解题思路如下：1. 二次根式的乘除运算遵循从左到右的顺序，利用$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$、$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$计算，最终化简为最简二次根式；2. 含括号的运算优先用乘法分配律、完全平方公式展开，再逐步计算；3. 计算结束后合并同类项，保证结果为最简形式。
【解析】
(1) 按从左到右顺序计算乘除：
$\begin{aligned}\sqrt{45} ÷ \sqrt{3} × \sqrt{\frac{1}{3}}&=\sqrt{45÷3}×\sqrt{\frac{1}{3}}\\&=\sqrt{15}×\sqrt{\frac{1}{3}}\\&=\sqrt{15×\frac{1}{3}}\\&=\sqrt{5}\end{aligned}$
(2) 先约分再计算乘法：
$\begin{aligned}\frac{3\sqrt{5} × 2\sqrt{3}}{\sqrt{5}}&=3×2\sqrt{3}\\&=6\sqrt{3}\end{aligned}$
(3) 利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$计算：
$\begin{aligned}(2\sqrt{3} - 1)^2&=(2\sqrt{3})^2-2×2\sqrt{3}×1+1^2\\&=12-4\sqrt{3}+1\\&=13-4\sqrt{3}\end{aligned}$
(4) 利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}(2\sqrt{3} - \sqrt{\frac{3}{2}}) × \sqrt{\frac{2}{3}}&=2\sqrt{3}×\sqrt{\frac{2}{3}}-\sqrt{\frac{3}{2}}×\sqrt{\frac{2}{3}}\\&=2\sqrt{3×\frac{2}{3}}-\sqrt{\frac{3}{2}×\frac{2}{3}}\\&=2\sqrt{2}-1\end{aligned}$
(5) 拆分分子化简后再计算减法：
$\begin{aligned}\frac{\sqrt{18}-\sqrt{6}}{\sqrt{2}} - \sqrt{25}&=\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}-5\\&=\sqrt{9}-\sqrt{3}-5\\&=3-\sqrt{3}-5\\&=-\sqrt{3}-2\end{aligned}$
【答案】
(1)$\sqrt{5}$ (2)$6\sqrt{3}$ (3)$13-4\sqrt{3}$ (4)$2\sqrt{2}-1$ (5)$-\sqrt{3}-2$
【知识点】
二次根式乘除运算，完全平方公式，二次根式混合运算
【点评】
本题侧重考查二次根式的基础运算能力，熟练掌握二次根式的化简规则、运算法则和运算律是解题核心，计算时注意运算顺序，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.7
12. 一个直角三角形的两直角边的长分别是$(3-\sqrt{2})\mathrm{cm}$和$(3+\sqrt{2})\mathrm{cm}$。求这个三角形的面积和周长。
答案
面积为$\frac{7}{2}\ \mathrm{cm}^2$，周长为$(6+\sqrt{22})\mathrm{cm}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们分两部分计算：首先计算面积，直角三角形的面积等于两直角边乘积的$\frac{1}{2}$，代入边长时可利用平方差公式简化二次根式的乘法运算；其次计算周长，需要先通过勾股定理求出斜边长度，再将三边长度相加，计算斜边时利用完全平方公式展开后可抵消含根号的项，简化计算。
【解析】
1. 计算三角形面积：
直角三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}ab$（$a、b$为两直角边长），代入$a=3-\sqrt{2}$，$b=3+\sqrt{2}$得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}×(3-\sqrt{2})×(3+\sqrt{2})\\&=\frac{1}{2}×[3^2-(\sqrt{2})^2]\\&=\frac{1}{2}×(9-2)\\&=\frac{7}{2}\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
2. 计算三角形周长：
先由勾股定理求斜边长$c$：$c=\sqrt{a^2+b^2}$
分别计算两直角边的平方：
$(3-\sqrt{2})^2=3^2-2×3×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=11-6\sqrt{2}$
$(3+\sqrt{2})^2=3^2+2×3×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=11+6\sqrt{2}$
则$a^2+b^2=(11-6\sqrt{2})+(11+6\sqrt{2})=22$，故$c=\sqrt{22}\ \mathrm{cm}$
周长$C=a+b+c=(3-\sqrt{2})+(3+\sqrt{2})+\sqrt{22}=6+\sqrt{22}\ (\mathrm{cm})$
【答案】
面积为$\frac{7}{2}\ \mathrm{cm}^2$，周长为$(6+\sqrt{22})\mathrm{cm}$
【知识点】
1. 直角三角形周长与面积计算
2. 勾股定理
3. 二次根式运算
【点评】
本题将二次根式运算与直角三角形的性质结合考察，计算过程中巧用平方差、完全平方公式可以大幅简化运算，降低出错概率，需要熟练掌握乘法公式在二次根式运算中的应用。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们分两部分计算：首先计算面积，直角三角形的面积等于两直角边乘积的$\frac{1}{2}$，代入边长时可利用平方差公式简化二次根式的乘法运算；其次计算周长，需要先通过勾股定理求出斜边长度，再将三边长度相加，计算斜边时利用完全平方公式展开后可抵消含根号的项，简化计算。
【解析】
1. 计算三角形面积：
直角三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}ab$（$a、b$为两直角边长），代入$a=3-\sqrt{2}$，$b=3+\sqrt{2}$得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}×(3-\sqrt{2})×(3+\sqrt{2})\\&=\frac{1}{2}×[3^2-(\sqrt{2})^2]\\&=\frac{1}{2}×(9-2)\\&=\frac{7}{2}\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
2. 计算三角形周长：
先由勾股定理求斜边长$c$：$c=\sqrt{a^2+b^2}$
分别计算两直角边的平方：
$(3-\sqrt{2})^2=3^2-2×3×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=11-6\sqrt{2}$
$(3+\sqrt{2})^2=3^2+2×3×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=11+6\sqrt{2}$
则$a^2+b^2=(11-6\sqrt{2})+(11+6\sqrt{2})=22$，故$c=\sqrt{22}\ \mathrm{cm}$
周长$C=a+b+c=(3-\sqrt{2})+(3+\sqrt{2})+\sqrt{22}=6+\sqrt{22}\ (\mathrm{cm})$
【答案】
面积为$\frac{7}{2}\ \mathrm{cm}^2$，周长为$(6+\sqrt{22})\mathrm{cm}$
【知识点】
1. 直角三角形周长与面积计算
2. 勾股定理
3. 二次根式运算
【点评】
本题将二次根式运算与直角三角形的性质结合考察，计算过程中巧用平方差、完全平方公式可以大幅简化运算，降低出错概率，需要熟练掌握乘法公式在二次根式运算中的应用。
【难度系数】
0.7
13.【数学应用】在初、高中阶段，要求二次根式化简的最终结果中分母不含有根号，也就是说当分母中有无理数时，要将其化为有理数，实现分母有理化。比如：
(1) $\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
(2) $\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{2}=\sqrt{3}-1$。
试试看，你能将下列各式进行化简吗？
(1) $\frac{1}{\sqrt{2}}$；
(2) $\frac{1}{\sqrt{2}+1}$；
(3) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{9}}$。
(1) $\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
(2) $\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{2}=\sqrt{3}-1$。
试试看，你能将下列各式进行化简吗？
(1) $\frac{1}{\sqrt{2}}$；
(2) $\frac{1}{\sqrt{2}+1}$；
(3) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{9}}$。
答案
解:(1)$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2)$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1$。
(3)因为$\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1$,$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$,$\dots$,$\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{9}-\sqrt{8}}{(\sqrt{8}+\sqrt{9})(\sqrt{9}-\sqrt{8})}=\frac{\sqrt{9}-\sqrt{8}}{9-8}=\sqrt{9}-\sqrt{8}$,
所以原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{9}-\sqrt{8})$
$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\dots+\sqrt{9}-\sqrt{8}$
$=\sqrt{9}-1$
$=3-1$
$=2$。
(2)$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1$。
(3)因为$\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1$,$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$,$\dots$,$\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{9}-\sqrt{8}}{(\sqrt{8}+\sqrt{9})(\sqrt{9}-\sqrt{8})}=\frac{\sqrt{9}-\sqrt{8}}{9-8}=\sqrt{9}-\sqrt{8}$,
所以原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{9}-\sqrt{8})$
$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\dots+\sqrt{9}-\sqrt{8}$
$=\sqrt{9}-1$
$=3-1$
$=2$。
解析
【分析】
这道题考查二次根式的分母有理化及规律运算，解题思路如下：①对于分母仅含单个二次根式的式子，只需将分子、分母同乘分母中的二次根式，即可将分母化为有理数；②对于分母是两个二次根式相加的式子，利用平方差公式，给分子分母同乘这两个根式的差（共轭根式），就能消去分母中的根号；③第三问是多个同类分式相加，先将每一项按第二问的方法拆分，会发现拆分后相邻项可以相互抵消，仅剩下首尾两项，简化计算即可得到结果。
【解析】
(1) 给$\frac{1}{\sqrt{2}}$的分子、分母同乘$\sqrt{2}$进行化简：
$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2) 给$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$的分子、分母同乘$\sqrt{2}-1$，利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$化简分母：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{1×(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^2-1^2}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1$
(3) 先对每一项分别进行分母有理化：
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1$
$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
……
$\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{9}-\sqrt{8}}{(\sqrt{8}+\sqrt{9})(\sqrt{9}-\sqrt{8})}=\sqrt{9}-\sqrt{8}$
将拆分后的式子代入原式：
原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{9}-\sqrt{8})$
去括号后中间项相互抵消，得：
原式$=\sqrt{9}-1=3-1=2$
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$；(2) $\sqrt{2}-1$；(3) $2$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题从基础的分母有理化入手，逐步延伸到裂项相消的规律运算，既巩固了二次根式化简的基本方法，又引导学生主动观察式子特征寻找简便运算技巧，对提升运算能力和规律探究能力有很好的帮助。
【难度系数】
0.7
这道题考查二次根式的分母有理化及规律运算，解题思路如下：①对于分母仅含单个二次根式的式子，只需将分子、分母同乘分母中的二次根式，即可将分母化为有理数；②对于分母是两个二次根式相加的式子，利用平方差公式，给分子分母同乘这两个根式的差（共轭根式），就能消去分母中的根号；③第三问是多个同类分式相加，先将每一项按第二问的方法拆分，会发现拆分后相邻项可以相互抵消，仅剩下首尾两项，简化计算即可得到结果。
【解析】
(1) 给$\frac{1}{\sqrt{2}}$的分子、分母同乘$\sqrt{2}$进行化简：
$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2) 给$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$的分子、分母同乘$\sqrt{2}-1$，利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$化简分母：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{1×(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^2-1^2}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1$
(3) 先对每一项分别进行分母有理化：
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1$
$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
……
$\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{9}-\sqrt{8}}{(\sqrt{8}+\sqrt{9})(\sqrt{9}-\sqrt{8})}=\sqrt{9}-\sqrt{8}$
将拆分后的式子代入原式：
原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{9}-\sqrt{8})$
去括号后中间项相互抵消，得：
原式$=\sqrt{9}-1=3-1=2$
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$；(2) $\sqrt{2}-1$；(3) $2$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题从基础的分母有理化入手，逐步延伸到裂项相消的规律运算，既巩固了二次根式化简的基本方法，又引导学生主动观察式子特征寻找简便运算技巧，对提升运算能力和规律探究能力有很好的帮助。
【难度系数】
0.7
