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11. 若最简二次根式$\sqrt{2x-1}$与$\sqrt{3x-25}$能够合并，则$x$的值为（
A.0.5
B.1.5
C.2
D.2.5
B
）。A.0.5
B.1.5
C.2
D.2.5
答案
11.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确核心概念：能够合并的最简二次根式属于同类二次根式，同类二次根式的定义是化简后被开方数完全相同的二次根式。因为题干明确两个根式都是最简二次根式，无需额外化简，所以直接令两个被开方数相等列出一元一次方程，求解后验证二次根式被开方数非负即可得到x的值。（注：题干中$\sqrt{3x-25}$应为输入笔误，正确应为$\sqrt{3x-2.5}$，否则所有选项代入后被开方数均为负数，二次根式无意义）
【解析】
∵ 最简二次根式$\sqrt{2x-1}$与$\sqrt{3x-2.5}$能够合并
∴ 二者为同类二次根式，被开方数相等，可列方程：
$2x - 1 = 3x - 2.5$
移项计算：$3x - 2x = 2.5 - 1$
解得$x = 1.5$
验证：当$x=1.5$时，$2x-1=2×1.5-1=2＞0$，$3x-2.5=3×1.5-2.5=2＞0$，两个二次根式均有意义，且均为最简二次根式，符合题意。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
同类二次根式、最简二次根式、一元一次方程求解
【点评】
本题主要考查同类二次根式的应用，解题关键是掌握最简二次根式可合并的条件是被开方数相同，易错点是忽略验证二次根式有意义的条件。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确核心概念：能够合并的最简二次根式属于同类二次根式，同类二次根式的定义是化简后被开方数完全相同的二次根式。因为题干明确两个根式都是最简二次根式，无需额外化简，所以直接令两个被开方数相等列出一元一次方程，求解后验证二次根式被开方数非负即可得到x的值。（注：题干中$\sqrt{3x-25}$应为输入笔误，正确应为$\sqrt{3x-2.5}$，否则所有选项代入后被开方数均为负数，二次根式无意义）
【解析】
∵ 最简二次根式$\sqrt{2x-1}$与$\sqrt{3x-2.5}$能够合并
∴ 二者为同类二次根式，被开方数相等，可列方程：
$2x - 1 = 3x - 2.5$
移项计算：$3x - 2x = 2.5 - 1$
解得$x = 1.5$
验证：当$x=1.5$时，$2x-1=2×1.5-1=2＞0$，$3x-2.5=3×1.5-2.5=2＞0$，两个二次根式均有意义，且均为最简二次根式，符合题意。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
同类二次根式、最简二次根式、一元一次方程求解
【点评】
本题主要考查同类二次根式的应用，解题关键是掌握最简二次根式可合并的条件是被开方数相同，易错点是忽略验证二次根式有意义的条件。
【难度系数】
0.7
12. 若$y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}+1$，则$\sqrt{x+y}=$
2
。答案
12.2
解析
【分析】要解决这道题，首先需要明确二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数必须是非负数。因此先根据这个条件列出关于x的不等式组，求出x的取值，再代入原式求出y的值，最后计算$\sqrt{x+y}$的结果即可。
【解析】要使二次根式$\sqrt{x-3}$和$\sqrt{3-x}$有意义，需满足被开方数非负，即：
$\begin{cases}x-3≥0 \\3-x≥0\end{cases}$
解不等式$x-3≥0$得$x≥3$，解不等式$3-x≥0$得$x≤3$，因此$x=3$。
将$x=3$代入原式$y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}+1$，得：
$y=\sqrt{0}+\sqrt{0}+1=1$
则$x+y=3+1=4$，因此$\sqrt{x+y}=\sqrt{4}=2$。
【答案】2
【知识点】二次根式有意义的条件；算术平方根的计算；代数式求值
【点评】本题是二次根式性质的基础应用题型，解题核心是抓住二次根式被开方数非负的性质求出x的取值，再逐步推导计算，整体解题逻辑清晰，容易掌握。
【难度系数】0.8
【解析】要使二次根式$\sqrt{x-3}$和$\sqrt{3-x}$有意义，需满足被开方数非负，即：
$\begin{cases}x-3≥0 \\3-x≥0\end{cases}$
解不等式$x-3≥0$得$x≥3$，解不等式$3-x≥0$得$x≤3$，因此$x=3$。
将$x=3$代入原式$y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}+1$，得：
$y=\sqrt{0}+\sqrt{0}+1=1$
则$x+y=3+1=4$，因此$\sqrt{x+y}=\sqrt{4}=2$。
【答案】2
【知识点】二次根式有意义的条件；算术平方根的计算；代数式求值
【点评】本题是二次根式性质的基础应用题型，解题核心是抓住二次根式被开方数非负的性质求出x的取值，再逐步推导计算，整体解题逻辑清晰，容易掌握。
【难度系数】0.8
13. 实数$m$在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简$|m-1|+\sqrt{m^2}$的结果为
1
。答案
13.1
解析
【分析】首先观察数轴确定实数m的取值范围为$0＜m＜1$，由此可判断$m-1$是负数，$m$是正数。接下来结合两个核心性质解题：①绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；②二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$。先分别化简$|m-1|$和$\sqrt{m^2}$，再合并同类项即可得到结果。
【解析】解：由数轴可得$0 ＜ m ＜ 1$，
$\therefore m-1 ＜ 0$，$m ＞ 0$，
根据绝对值和二次根式的性质：
$|m-1|=-(m-1)=1-m$，
$\sqrt{m^2}=|m|=m$，
则$|m-1|+\sqrt{m^2}=1-m+m=1$。
【答案】$1$
【知识点】数轴的应用；绝对值化简；二次根式的性质
【点评】本题是代数式化简的基础题型，解题核心是先通过数轴判断对应代数式的正负，再结合绝对值、二次根式的性质正确化简即可。
【难度系数】$0.8$
【解析】解：由数轴可得$0 ＜ m ＜ 1$，
$\therefore m-1 ＜ 0$，$m ＞ 0$，
根据绝对值和二次根式的性质：
$|m-1|=-(m-1)=1-m$，
$\sqrt{m^2}=|m|=m$，
则$|m-1|+\sqrt{m^2}=1-m+m=1$。
【答案】$1$
【知识点】数轴的应用；绝对值化简；二次根式的性质
【点评】本题是代数式化简的基础题型，解题核心是先通过数轴判断对应代数式的正负，再结合绝对值、二次根式的性质正确化简即可。
【难度系数】$0.8$
14. 计算:
(1) $\sqrt{50} + \sqrt{8}$；
(2) $\sqrt{\dfrac{1}{3}} - \sqrt{27}$；
(3) $( \sqrt{\dfrac{1}{3}} + \sqrt{3} ) × \sqrt{6}$；
(4) $( \sqrt{\dfrac{3}{2}} - \sqrt{\dfrac{2}{3}} ) × \sqrt{6}$。
(1) $\sqrt{50} + \sqrt{8}$；
(2) $\sqrt{\dfrac{1}{3}} - \sqrt{27}$；
(3) $( \sqrt{\dfrac{1}{3}} + \sqrt{3} ) × \sqrt{6}$；
(4) $( \sqrt{\dfrac{3}{2}} - \sqrt{\dfrac{2}{3}} ) × \sqrt{6}$。
答案
14.(1)$7\sqrt{2}$ (2)$-\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$ (3)$4\sqrt{2}$ (4)$1$
解析
【分析】
这几道题考查二次根式的运算，解题思路如下：1. 二次根式加减运算：先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式；2. 二次根式混合运算：可利用乘法分配律简化计算，也可先计算括号内的运算再算乘法，所有计算结果都要化为最简形式。
【解析】
(1) 先化简二次根式再合并：
$\sqrt{50}+\sqrt{8}=\sqrt{25×2}+\sqrt{4×2}=5\sqrt{2}+2\sqrt{2}=(5+2)\sqrt{2}=7\sqrt{2}$
(2) 先化简二次根式再合并：
$\sqrt{\dfrac{1}{3}}-\sqrt{27}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}-\sqrt{9×3}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}-3\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}-\dfrac{9\sqrt{3}}{3}=-\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$
(3) 利用乘法分配律计算：
$(\sqrt{\dfrac{1}{3}}+\sqrt{3})×\sqrt{6}=\sqrt{\dfrac{1}{3}}×\sqrt{6}+\sqrt{3}×\sqrt{6}=\sqrt{\dfrac{1}{3}×6}+\sqrt{3×6}=\sqrt{2}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
(4) 利用乘法分配律计算：
$(\sqrt{\dfrac{3}{2}}-\sqrt{\dfrac{2}{3}})×\sqrt{6}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}×\sqrt{6}-\sqrt{\dfrac{2}{3}}×\sqrt{6}=\sqrt{\dfrac{3}{2}×6}-\sqrt{\dfrac{2}{3}×6}=\sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1$
【答案】
(1)$7\sqrt{2}$；(2)$-\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$；(3)$4\sqrt{2}$；(4)$1$
【知识点】
最简二次根式化简；二次根式加减运算；二次根式混合运算
【点评】
这是二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式的化简和同类二次根式的合并，熟练掌握最简二次根式的化简方法是解题的关键，混合运算中合理使用乘法分配律可简化计算过程。
【难度系数】
0.8
这几道题考查二次根式的运算，解题思路如下：1. 二次根式加减运算：先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式；2. 二次根式混合运算：可利用乘法分配律简化计算，也可先计算括号内的运算再算乘法，所有计算结果都要化为最简形式。
【解析】
(1) 先化简二次根式再合并：
$\sqrt{50}+\sqrt{8}=\sqrt{25×2}+\sqrt{4×2}=5\sqrt{2}+2\sqrt{2}=(5+2)\sqrt{2}=7\sqrt{2}$
(2) 先化简二次根式再合并：
$\sqrt{\dfrac{1}{3}}-\sqrt{27}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}-\sqrt{9×3}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}-3\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}-\dfrac{9\sqrt{3}}{3}=-\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$
(3) 利用乘法分配律计算：
$(\sqrt{\dfrac{1}{3}}+\sqrt{3})×\sqrt{6}=\sqrt{\dfrac{1}{3}}×\sqrt{6}+\sqrt{3}×\sqrt{6}=\sqrt{\dfrac{1}{3}×6}+\sqrt{3×6}=\sqrt{2}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
(4) 利用乘法分配律计算：
$(\sqrt{\dfrac{3}{2}}-\sqrt{\dfrac{2}{3}})×\sqrt{6}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}×\sqrt{6}-\sqrt{\dfrac{2}{3}}×\sqrt{6}=\sqrt{\dfrac{3}{2}×6}-\sqrt{\dfrac{2}{3}×6}=\sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1$
【答案】
(1)$7\sqrt{2}$；(2)$-\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$；(3)$4\sqrt{2}$；(4)$1$
【知识点】
最简二次根式化简；二次根式加减运算；二次根式混合运算
【点评】
这是二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式的化简和同类二次根式的合并，熟练掌握最简二次根式的化简方法是解题的关键，混合运算中合理使用乘法分配律可简化计算过程。
【难度系数】
0.8
15.【数学应用】爱动脑筋的小明在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数是二次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases} a(a≥0), \\ -a(a＜0) \end{cases}$来进一步化简。
比如：$\sqrt{x^2+2x+1}=\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|$，所以当$x+1≥0$，即$x≥-1$时，原式$=x+1$；当$x+1＜0$，即$x＜-1$时，原式$=-x-1$。
（1）仿照上面的例子，请你尝试化简$\sqrt{m^2 - m + \frac{1}{4}}$。
（2）判断甲、乙两人在解决问题“若$a=9$，求$a+\sqrt{1-2a+a^2}$的值。”时谁的答案正确，并说明理由。
甲的答案：原式$=a+\sqrt{(1-a)^2}=a+(1-a)=1$；
乙的答案：原式$=a+\sqrt{(1-a)^2}=a+(a-1)=2a-1=2×9-1=17$。
（3）化简并求值：$|x-1|+\sqrt{4-4x+x^2}$，其中$x=\sqrt{5}$。
比如：$\sqrt{x^2+2x+1}=\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|$，所以当$x+1≥0$，即$x≥-1$时，原式$=x+1$；当$x+1＜0$，即$x＜-1$时，原式$=-x-1$。
（1）仿照上面的例子，请你尝试化简$\sqrt{m^2 - m + \frac{1}{4}}$。
（2）判断甲、乙两人在解决问题“若$a=9$，求$a+\sqrt{1-2a+a^2}$的值。”时谁的答案正确，并说明理由。
甲的答案：原式$=a+\sqrt{(1-a)^2}=a+(1-a)=1$；
乙的答案：原式$=a+\sqrt{(1-a)^2}=a+(a-1)=2a-1=2×9-1=17$。
（3）化简并求值：$|x-1|+\sqrt{4-4x+x^2}$，其中$x=\sqrt{5}$。
答案
15.解:(1)因为$\sqrt{m^2 - m + \frac{1}{4}}=\sqrt{(m-\frac{1}{2})^2}=\left|m-\frac{1}{2}\right|$，
所以当$m≥\frac{1}{2}$时，
原式$=\left|m-\frac{1}{2}\right|=m-\frac{1}{2}$；
当$m＜\frac{1}{2}$时，原式$=\left|m-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}-m$。
(2)乙的答案正确。理由如下：
因为$\sqrt{1-2a+a^2}=\sqrt{(1-a)^2}=|1-a|,a=9$，
所以$1-a＜0$。
所以$|1-a|=a-1$。故乙的答案正确。
(3)原式$=|x-1|+\sqrt{(2-x)^2}=|x-1|+|2-x|$。
因为$1＜2＜x$，
所以原式$=|x-1|+|2-x|=x-1+x-2=2x-3=2\sqrt{5}-3$。
所以当$m≥\frac{1}{2}$时，
原式$=\left|m-\frac{1}{2}\right|=m-\frac{1}{2}$；
当$m＜\frac{1}{2}$时，原式$=\left|m-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}-m$。
(2)乙的答案正确。理由如下：
因为$\sqrt{1-2a+a^2}=\sqrt{(1-a)^2}=|1-a|,a=9$，
所以$1-a＜0$。
所以$|1-a|=a-1$。故乙的答案正确。
(3)原式$=|x-1|+\sqrt{(2-x)^2}=|x-1|+|2-x|$。
因为$1＜2＜x$，
所以原式$=|x-1|+|2-x|=x-1+x-2=2x-3=2\sqrt{5}-3$。
解析
【分析】
本题核心是利用完全平方公式将二次根式的被开方数转化为平方形式，结合二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，再根据绝对值内式子的正负性去绝对值化简求解。
(1)先将被开方数$m^2 - m + \frac{1}{4}$因式分解为完全平方式，开方得到绝对值形式，再分两种情况讨论$m-\frac{1}{2}$的正负去绝对值即可。
(2)先将根号内的式子配方得到$|1-a|$，代入$a=9$判断$1-a$的正负，去绝对值后计算即可判断两人答案对错，甲的错误是未判断符号直接去掉绝对值。
(3)先将根号内的式子配方得到$|2-x|$，结合$x=\sqrt{5}$的取值判断$x-1$和$2-x$的正负，去绝对值合并后代入求值即可。
【解析】
(1)对被开方数配方得：
$\sqrt{m^2 - m + \frac{1}{4}}=\sqrt{(m-\frac{1}{2})^2}=\left|m-\frac{1}{2}\right|$
分情况化简：
当$m≥\frac{1}{2}$时，$m-\frac{1}{2}≥0$，原式$=m-\frac{1}{2}$；
当$m＜\frac{1}{2}$时，$m-\frac{1}{2}＜0$，原式$=\frac{1}{2}-m$。
(2)乙的答案正确，理由如下：
先化简二次根式：$\sqrt{1-2a+a^2}=\sqrt{(1-a)^2}=|1-a|$
当$a=9$时，$1-a=1-9=-8＜0$，根据绝对值性质可得$|1-a|=a-1$
因此原式$=a+(a-1)=2a-1$，代入$a=9$得$2×9-1=17$，故乙的答案正确。
(3)先对原式变形：
$|x-1|+\sqrt{4-4x+x^2}=|x-1|+\sqrt{(2-x)^2}=|x-1|+|2-x|$
已知$x=\sqrt{5}\approx2.236$，则$x＞2＞1$，因此$x-1＞0$，$2-x＜0$，去绝对值得：
原式$=(x-1)+(x-2)=2x-3$
代入$x=\sqrt{5}$得：$2×\sqrt{5}-3=2\sqrt{5}-3$。
【答案】
(1)当$m≥\frac{1}{2}$时，原式为$m-\frac{1}{2}$；当$m＜\frac{1}{2}$时，原式为$\frac{1}{2}-m$；
(2)乙的答案正确，值为17；
(3)化简求值结果为$2\sqrt{5}-3$。
【知识点】
二次根式的性质、完全平方公式、绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础应用题型，解题关键是牢记$\sqrt{a^2}$的开方结果为非负数，需先转化为绝对值形式，再根据绝对值内式子的正负性去绝对值，切忌不判断符号直接去掉根号，避免出现类似甲的错误。
【难度系数】
0.7
本题核心是利用完全平方公式将二次根式的被开方数转化为平方形式，结合二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，再根据绝对值内式子的正负性去绝对值化简求解。
(1)先将被开方数$m^2 - m + \frac{1}{4}$因式分解为完全平方式，开方得到绝对值形式，再分两种情况讨论$m-\frac{1}{2}$的正负去绝对值即可。
(2)先将根号内的式子配方得到$|1-a|$，代入$a=9$判断$1-a$的正负，去绝对值后计算即可判断两人答案对错，甲的错误是未判断符号直接去掉绝对值。
(3)先将根号内的式子配方得到$|2-x|$，结合$x=\sqrt{5}$的取值判断$x-1$和$2-x$的正负，去绝对值合并后代入求值即可。
【解析】
(1)对被开方数配方得：
$\sqrt{m^2 - m + \frac{1}{4}}=\sqrt{(m-\frac{1}{2})^2}=\left|m-\frac{1}{2}\right|$
分情况化简：
当$m≥\frac{1}{2}$时，$m-\frac{1}{2}≥0$，原式$=m-\frac{1}{2}$；
当$m＜\frac{1}{2}$时，$m-\frac{1}{2}＜0$，原式$=\frac{1}{2}-m$。
(2)乙的答案正确，理由如下：
先化简二次根式：$\sqrt{1-2a+a^2}=\sqrt{(1-a)^2}=|1-a|$
当$a=9$时，$1-a=1-9=-8＜0$，根据绝对值性质可得$|1-a|=a-1$
因此原式$=a+(a-1)=2a-1$，代入$a=9$得$2×9-1=17$，故乙的答案正确。
(3)先对原式变形：
$|x-1|+\sqrt{4-4x+x^2}=|x-1|+\sqrt{(2-x)^2}=|x-1|+|2-x|$
已知$x=\sqrt{5}\approx2.236$，则$x＞2＞1$，因此$x-1＞0$，$2-x＜0$，去绝对值得：
原式$=(x-1)+(x-2)=2x-3$
代入$x=\sqrt{5}$得：$2×\sqrt{5}-3=2\sqrt{5}-3$。
【答案】
(1)当$m≥\frac{1}{2}$时，原式为$m-\frac{1}{2}$；当$m＜\frac{1}{2}$时，原式为$\frac{1}{2}-m$；
(2)乙的答案正确，值为17；
(3)化简求值结果为$2\sqrt{5}-3$。
【知识点】
二次根式的性质、完全平方公式、绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础应用题型，解题关键是牢记$\sqrt{a^2}$的开方结果为非负数，需先转化为绝对值形式，再根据绝对值内式子的正负性去绝对值，切忌不判断符号直接去掉根号，避免出现类似甲的错误。
【难度系数】
0.7
