1. 下列计算不正确的是()

A.$(1-x)^2=1-x^2$
B.$(x+\frac{1}{2})^2=x^2+x+\frac{1}{4}$
C.$(x+1)^2=x^2+2x+1$
D.$(\frac{1}{2}x-3y)(\frac{1}{2}x+3y)=\frac{1}{4}x^2-9y^2$

A

【分析】
本题考查乘法公式的应用，解题思路是逐一将各选项利用完全平方公式、平方差公式展开，将展开结果与选项给出的结果对比，找出计算错误的选项即可。需要牢记两个核心公式：1.完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，展开后共三项；2.平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，展开后是两项平方的差。
【解析】
我们逐个验证各选项：
选项A：根据完全平方公式，$(1-x)^2=1^2-2×1× x+x^2=1-2x+x^2$，与选项给出的$1-x^2$不符，计算错误。
选项B：根据完全平方公式，$(x+\frac{1}{2})^2=x^2+2× x×\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2=x^2+x+\frac{1}{4}$，计算正确。
选项C：根据完全平方公式，$(x+1)^2=x^2+2× x×1+1^2=x^2+2x+1$，计算正确。
选项D：根据平方差公式，$(\frac{1}{2}x-3y)(\frac{1}{2}x+3y)=(\frac{1}{2}x)^2-(3y)^2=\frac{1}{4}x^2-9y^2$，计算正确。
综上，计算不正确的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是乘法公式的基础考查题，易错点是容易混淆完全平方公式和平方差公式，漏掉完全平方公式中的中间交叉项，学习时要准确记忆两个公式的形式，展开后核对项数和每一项的系数，避免计算错误。
【难度系数】
0.8

2. 已知$a+b=5$，$ab=3$，那么$a^2 + b^2$的值为()

A.16
B.19
C.20
D.22

B

【分析】
首先观察已知条件和所求代数式的关系，已知a+b与ab的值，要求a²+b²，可联想到完全平方和公式$(a+b)^2=a²+2ab+b²$，该公式中恰好包含a+b、ab、a²+b²三个量，因此先将公式变形，把a²+b²用含a+b和ab的式子表示，再代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
解：由完全平方和公式可得：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
将公式变形，移项可得：
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
把$a+b=5$，$ab=3$代入上式计算：
$a^2 + b^2 = 5^2 - 2×3 = 25 - 6 = 19$
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是基础题型，主要考查完全平方公式的变形应用，熟记公式结构、能根据已知条件灵活对公式进行变形是解题的核心。
【难度系数】
0.8

3. 下列各式,运算结果为$1-2xy+x^2y^2$的是()

A.$(-1+xy)^2$
B.$(-1-xy)^2$
C.$(1-x^2y^2)^2$
D.$(1+xy)^2$

A

【分析】
解题思路：本题需要判断哪个选项的运算结果等于给定多项式，可采用两种思路：① 先将目标多项式$1-2xy+x^2y^2$利用完全平方公式因式分解，再对比选项；② 逐个展开各选项的完全平方式，和目标多项式比对即可得到答案。首先回忆完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，注意平方项均为非负，中间项的符号由两个底数的符号决定。
【解析】
方法1：因式分解法
观察目标式$1-2xy+x^2y^2$，可变形为：
$1^2 - 2×1× xy + (xy)^2$
符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（其中$a=1$，$b=xy$），因此：
$1-2xy+x^2y^2=(1-xy)^2$
又因为互为相反数的两个数的平方相等，即$(1-xy)^2=(-1+xy)^2$，对应选项A。
方法2：逐项验证法
根据完全平方公式展开各选项：
A选项：$(-1+xy)^2=(-1)^2 + 2×(-1)× xy + (xy)^2=1-2xy+x^2y^2$，与目标式一致；
B选项：$(-1-xy)^2=(-1)^2 + 2×(-1)×(-xy) + (xy)^2=1+2xy+x^2y^2$，不符合；
C选项：$(1-x^2y^2)^2=1^2 - 2×1× x^2y^2 + (x^2y^2)^2=1-2x^2y^2+x^4y^4$，不符合；
D选项：$(1+xy)^2=1^2 + 2×1× xy + (xy)^2=1+2xy+x^2y^2$，不符合。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整式乘法运算
【点评】
本题考查完全平方公式的应用，无论是因式分解法还是逐项展开法都可快速求解，解题时需注意完全平方公式中中间项的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8

4*. 若$x^2 -8x +k^2$恰是另一个整式的平方，则常数k的值为()

A.16
B.4
C.-4
D.$\pm4$

D

【分析】
解题时先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，共三项，首末两项是两个数的平方，中间项是这两个数乘积的2倍（符号可正可负）。本题中给出的多项式$x^2-8x+k^2$已经有首项$x^2$和末项$k^2$，我们只需将中间项与公式中的$\pm2ab$对应，求出末项中$k$的值即可，注意平方相等时底数有正负两种可能，不要漏解。
【解析】
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将多项式$x^2-8x+k^2$与公式对比：
1. 首项$x^2 = a^2$，可得$a=x$；
2. 中间项$-8x = -2ab$，把$a=x$代入得：$-8x=-2· x· b$，解得$b=4$；
3. 因此完全平方式的末项应为$b^2=4^2=16$，即$k^2=16$；
4. 根据平方根的定义，平方等于16的数为$\pm4$，故$k=\pm4$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，平方根的运算
【点评】
本题核心是掌握完全平方公式的结构，解题时要注意完全平方式的末项是平方项，对应的底数可取正负两个值，避免漏掉负解。
【难度系数】
0.7

二、填空题
1. 计算：$(m-2n)^2=$；$(-2x+y)^2=$。

解：
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$：
$(m-2n)^2 = m^2 - 2· m· 2n + (2n)^2 = m^2 -4mn +4n^2$
$(-2x+y)^2 = (-2x)^2 + 2·(-2x)· y + y^2 = 4x^2 -4xy + y^2$
答案依次为：$\boldsymbol{m^2-4mn+4n^2}$；$\boldsymbol{4x^2-4xy+y^2}$

【分析】
这道题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的两种形式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，再分别确定每个待求式中对应公式里的$a$和$b$，代入公式展开后化简即可。代入时要注意找准两项的符号，系数也要参与平方和乘2的运算，避免出错。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$计算：
1. 计算$(m-2n)^2$：将$a=m$，$b=2n$代入差的完全平方公式，得
$(m-2n)^2 = m^2 - 2· m· 2n + (2n)^2 = m^2 -4mn +4n^2$
2. 计算$(-2x+y)^2$：将$a=-2x$，$b=y$代入和的完全平方公式，得
$(-2x+y)^2 = (-2x)^2 + 2·(-2x)· y + y^2 = 4x^2 -4xy + y^2$
【答案】
$m^2-4mn+4n^2$；$4x^2-4xy+y^2$
【知识点】
完全平方公式；整式乘法运算
【点评】
本题是乘法公式的基础练习题，核心是准确识别完全平方公式中的“$a$”“$b$”两项，计算时注意不要遗漏系数的乘方、中间项的2倍运算，同时要注意符号的正确性。
【难度系数】
0.85

2. 计算：$(\dfrac{2}{3}a + b)^2 =$ ；$(a - \dfrac{1}{2}b)^2 =$ 。

解：
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得
$(\dfrac{2}{3}a + b)^2 = (\dfrac{2}{3}a)^2 + 2· \dfrac{2}{3}a· b + b^2 = \dfrac{4}{9}a^2 + \dfrac{4}{3}ab + b^2$；
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得
$(a - \dfrac{1}{2}b)^2 = a^2 - 2· a· \dfrac{1}{2}b + (\dfrac{1}{2}b)^2 = a^2 - ab + \dfrac{1}{4}b^2$。
最终答案依次为：$\boldsymbol{\dfrac{4}{9}a^2 + \dfrac{4}{3}ab + b^2}$；$\boldsymbol{a^2 - ab + \dfrac{1}{4}b^2}$。

【分析】
这道题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的两种形式：和的平方$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、差的平方$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$；然后分别确定两个待求式子中对应公式里的“a”和“b”，将对应项代入公式；最后分别计算每一项的系数、化简合并即可得到结果，计算时注意不要漏乘系数的平方、不要搞错中间项的符号。
【解析】
1. 计算$(\dfrac{2}{3}a + b)^2$：
根据和的完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，把$\dfrac{2}{3}a$看作公式中的$a$，$b$看作公式中的$b$，代入得：
$(\dfrac{2}{3}a + b)^2 = (\dfrac{2}{3}a)^2 + 2· \dfrac{2}{3}a· b + b^2 = \dfrac{4}{9}a^2 + \dfrac{4}{3}ab + b^2$
2. 计算$(a - \dfrac{1}{2}b)^2$：
根据差的完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，把$a$看作公式中的$a$，$\dfrac{1}{2}b$看作公式中的$b$，代入得：
$(a - \dfrac{1}{2}b)^2 = a^2 - 2· a· \dfrac{1}{2}b + (\dfrac{1}{2}b)^2 = a^2 - ab + \dfrac{1}{4}b^2$
【答案】
$\dfrac{4}{9}a^2 + \dfrac{4}{3}ab + b^2$；$a^2 - ab + \dfrac{1}{4}b^2$
【知识点】
完全平方公式；整式化简
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，解题的核心是准确匹配公式中的对应项，需要注意的易错点有：项的系数漏平方、中间项的2倍系数计算错误、差的平方中间项符号搞错，计算时仔细核对即可避免出错。
【难度系数】
0.9

3. 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式.例如,根据图甲,我们可以得到两数和的平方公式:$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.你根据图乙能得到的数学公式是.

解：图乙中，边长为$a$的大正方形的面积为$a^2$，减去两个长为$a$、宽为$b$的长方形的面积$2ab$，再补回重复减去的边长为$b$的小正方形的面积$b^2$，即可得到边长为$(a-b)$的正方形的面积，因此对应的数学公式为：
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

【分析】
我们可以通过“两种方法表示同一图形面积，面积相等”的思路推导公式：第一步先确定图乙中核心正方形的边长为(a-b)，直接写出其面积的第一种表达式；第二步用割补法，用大正方形面积减去周边多余部分的面积，注意两个长方形重叠的小正方形被多减了1次，需要补回对应面积，得到面积的第二种表达式；第三步令两个表达式相等，即可得到对应的数学公式。
【解析】
观察图乙可知，边长为$\boldsymbol{(a-b)}$的正方形的面积可直接表示为$\boldsymbol{(a-b)^2}$；
再通过割补法计算该面积：边长为$a$的大正方形面积为$a^2$，减去两个长为$a$、宽为$b$的长方形的总面积$2ab$，此时两个长方形重叠的边长为$b$的小正方形被重复减去了1次，因此需要补回该小正方形的面积$b^2$，即该面积还可表示为$\boldsymbol{a^2-2ab+b^2}$。
由于两种方式表示的是同一个图形的面积，二者相等，因此可推导出对应公式。
【答案】
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
【知识点】
完全平方差公式，数形结合思想，面积法
【点评】
本题借助几何图形的面积关系推导代数公式，将抽象的乘法公式具象化，能够帮助我们更直观地理解完全平方差公式的内涵，是数形结合思想的典型应用。
【难度系数】
0.8

4*. 计算:$(m+n+p)(m-n+p)=$. 甲 乙

解：
原式$=[(m+p)+n][(m+p)-n]$
$=(m+p)^2 - n^2$
$=m^2 + 2mp + p^2 - n^2$
最终结果：$\boldsymbol{m^2 + 2mp + p^2 - n^2}$

【分析】
拿到这道多项式乘多项式的题目，首先观察两个因式的项的特点：两个因式中都有m和p且符号均为正，仅n的符号相反，因此可以把m+p看作一个整体，将原式变形为平方差公式的标准形式$(a+b)(a-b)$，先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式展开完全平方式即可得到结果，该方法比直接逐项展开更简便。
【解析】
解：先对原式分组，将$m+p$看作整体，可得
原式$=[(m+p)+n][(m+p)-n]$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$（其中$a=m+p$，$b=n$），代入得：
$=(m+p)^2 - n^2$
再根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，展开$(m+p)^2$：
$=m^2 + 2mp + p^2 - n^2$
【答案】
$m^2 + 2mp + p^2 - n^2$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式化简
【点评】
本题考查乘法公式的灵活运用，解题核心是通过观察式子结构，合理分组构造平方差公式的形式，能大幅简化运算，避免直接逐项展开的繁琐，是整式运算中常用的技巧。
【难度系数】
0.7

三、解答题
1. 利用乘法公式计算：
(1) $(3m+1)^2$；
(2) $(2x-\dfrac{1}{2})^2$；
(3) $(-3x-2y)^2$；
(4) $(2x+3y)(-2x-3y)$；
(5) $98^2$；
(6) $(14\dfrac{1}{2})^2$。

解：
(1) 由完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得
$\begin{aligned}(3m+1)^2&=(3m)^2+2·3m·1+1^2\\&=9m^2+6m+1\end{aligned}$
(2) 由完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得
$\begin{aligned}(2x-\frac{1}{2})^2&=(2x)^2-2·2x·\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2\\&=4x^2-2x+\frac{1}{4}\end{aligned}$
(3) 先变形再用完全平方公式，得
$\begin{aligned}(-3x-2y)^2&=[-(3x+2y)]^2\\&=(3x+2y)^2\\&=(3x)^2+2·3x·2y+(2y)^2\\&=9x^2+12xy+4y^2\end{aligned}$
(4) 先变形再用完全平方公式，得
$\begin{aligned}(2x+3y)(-2x-3y)&=(2x+3y)·[-(2x+3y)]\\&=-(2x+3y)^2\\&=-[(2x)^2+2·2x·3y+(3y)^2]\\&=-(4x^2+12xy+9y^2)\\&=-4x^2-12xy-9y^2\end{aligned}$
(5) 把98改写为$100-2$，用完全平方公式计算：
$\begin{aligned}98^2&=(100-2)^2\\&=100^2-2·100·2+2^2\\&=10000-400+4\\&=9604\end{aligned}$
(6) 把$14\frac{1}{2}$改写为$14+\frac{1}{2}$，用完全平方公式计算：
$\begin{aligned}(14\frac{1}{2})^2&=(14+\frac{1}{2})^2\\&=14^2+2·14·\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2\\&=196+14+\frac{1}{4}\\&=210\frac{1}{4}\end{aligned}$

【分析】
这组题目均考查完全平方公式的应用，解题思路如下：①先观察式子结构，若符合$(a±b)^2$的标准形式，可直接代入完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开计算；②若式子含负号不符合标准形式，可先提取负号转化为标准形式，注意偶次幂的负号会消去，若整体带负号则需保留负号；③若为数字平方的简便计算，可将底数拆为整十/整百数与较小数的和或差，再套用公式计算，避免硬算出错。
【解析】
(1) 由完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得
$\begin{aligned}(3m+1)^2&=(3m)^2+2·3m·1+1^2\\&=9m^2+6m+1\end{aligned}$
(2) 由完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得
$\begin{aligned}(2x-\frac{1}{2})^2&=(2x)^2-2·2x·\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2\\&=4x^2-2x+\frac{1}{4}\end{aligned}$
(3) 先变形再用完全平方公式，得
$\begin{aligned}(-3x-2y)^2&=[-(3x+2y)]^2\\&=(3x+2y)^2\\&=(3x)^2+2·3x·2y+(2y)^2\\&=9x^2+12xy+4y^2\end{aligned}$
(4) 先变形再用完全平方公式，得
$\begin{aligned}(2x+3y)(-2x-3y)&=(2x+3y)·[-(2x+3y)]\\&=-(2x+3y)^2\\&=-[(2x)^2+2·2x·3y+(3y)^2]\\&=-(4x^2+12xy+9y^2)\\&=-4x^2-12xy-9y^2\end{aligned}$
(5) 把98改写为$100-2$，用完全平方公式计算：
$\begin{aligned}98^2&=(100-2)^2\\&=100^2-2·100·2+2^2\\&=10000-400+4\\&=9604\end{aligned}$
(6) 把$14\frac{1}{2}$改写为$14+\frac{1}{2}$，用完全平方公式计算：
$\begin{aligned}(14\frac{1}{2})^2&=(14+\frac{1}{2})^2\\&=14^2+2·14·\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2\\&=196+14+\frac{1}{4}\\&=210\frac{1}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1)$9m^2+6m+1$；(2)$4x^2-2x+\frac{1}{4}$；(3)$9x^2+12xy+4y^2$；(4)$-4x^2-12xy-9y^2$；(5)$9604$；(6)$210\frac{1}{4}$
【知识点】
完全平方公式，乘法公式应用，简便运算
【点评】
本题是乘法公式的基础应用题型，核心是熟练掌握完全平方公式的形式，运算时要格外注意符号问题，非标准形式的式子先变形再套公式，数字简便计算合理拆分底数可有效降低运算量、减少错误。
【难度系数】
0.8