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2. 先化简,再求值:
(1) $(2x-1)^2 + (x+2)(x-2) - 4x(x-1)$, 其中 $x=3$;
(2) $2a(a+b) - (a+b)^2$, 其中 $a=5, b=2$.
(1) $(2x-1)^2 + (x+2)(x-2) - 4x(x-1)$, 其中 $x=3$;
(2) $2a(a+b) - (a+b)^2$, 其中 $a=5, b=2$.
答案
解：
(1) 先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(4x^2 -4x +1) + (x^2 -4) - 4x(x-1)\\&=4x^2 -4x +1 +x^2 -4 -4x^2 +4x\\&=x^2 -3\end{aligned}$
当$x=3$时，代入得：
原式$=3^2 -3=9-3=6$。
(2) 先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2a^2 + 2ab - (a^2 + 2ab + b^2)\\&=2a^2 +2ab -a^2 -2ab -b^2\\&=a^2 - b^2\end{aligned}$
当$a=5,b=2$时，代入得：
原式$=5^2 -2^2=25-4=21$。
(1) 先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(4x^2 -4x +1) + (x^2 -4) - 4x(x-1)\\&=4x^2 -4x +1 +x^2 -4 -4x^2 +4x\\&=x^2 -3\end{aligned}$
当$x=3$时，代入得：
原式$=3^2 -3=9-3=6$。
(2) 先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2a^2 + 2ab - (a^2 + 2ab + b^2)\\&=2a^2 +2ab -a^2 -2ab -b^2\\&=a^2 - b^2\end{aligned}$
当$a=5,b=2$时，代入得：
原式$=5^2 -2^2=25-4=21$。
解析
【分析】
这两道题属于整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简整式，分别利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再合并同类项得到最简形式；第二步将给定的字母取值代入最简式计算结果，相比直接代入原式计算，先化简能大幅减少计算量，降低出错概率。
【解析】
(1) 先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(4x^2 -4x +1) + (x^2 -4) - 4x(x-1)\\&=4x^2 -4x +1 +x^2 -4 -4x^2 +4x\\&=x^2 -3\end{aligned}$
当$x=3$时，代入得：
原式$=3^2 -3=9-3=6$。
(2) 先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2a^2 + 2ab - (a^2 + 2ab + b^2)\\&=2a^2 +2ab -a^2 -2ab -b^2\\&=a^2 - b^2\end{aligned}$
当$a=5,b=2$时，代入得：
原式$=5^2 -2^2=25-4=21$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；(2) $\boldsymbol{21}$
【知识点】
乘法公式，整式混合运算，代数式求值
【点评】
本题属于整式运算的基础常规题，重点考查对完全平方公式、平方差公式的掌握程度，以及整式加减乘混合运算的运算能力，掌握“先化简再求值”的原则是解决此类问题的核心，能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
这两道题属于整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简整式，分别利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再合并同类项得到最简形式；第二步将给定的字母取值代入最简式计算结果，相比直接代入原式计算，先化简能大幅减少计算量，降低出错概率。
【解析】
(1) 先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(4x^2 -4x +1) + (x^2 -4) - 4x(x-1)\\&=4x^2 -4x +1 +x^2 -4 -4x^2 +4x\\&=x^2 -3\end{aligned}$
当$x=3$时，代入得：
原式$=3^2 -3=9-3=6$。
(2) 先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2a^2 + 2ab - (a^2 + 2ab + b^2)\\&=2a^2 +2ab -a^2 -2ab -b^2\\&=a^2 - b^2\end{aligned}$
当$a=5,b=2$时，代入得：
原式$=5^2 -2^2=25-4=21$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；(2) $\boldsymbol{21}$
【知识点】
乘法公式，整式混合运算，代数式求值
【点评】
本题属于整式运算的基础常规题，重点考查对完全平方公式、平方差公式的掌握程度，以及整式加减乘混合运算的运算能力，掌握“先化简再求值”的原则是解决此类问题的核心，能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
3*. 小明说：“对于任意自然数$n$，$(n+7)^2 - (n-5)^2$能被24整除.”你同意他的说法吗？理由呢？
答案
解：同意小明的说法，理由如下：
利用平方差公式将原式因式分解：
$\begin{aligned}(n+7)^2-(n-5)^2&=[(n+7)+(n-5)][(n+7)-(n-5)]\\&=(2n+2)×12\\&=24(n+1)\end{aligned}$
因为n是任意自然数，所以n+1是正整数，因此$24(n+1)$一定是24的倍数，即$(n+7)^2-(n-5)^2$能被24整除。
利用平方差公式将原式因式分解：
$\begin{aligned}(n+7)^2-(n-5)^2&=[(n+7)+(n-5)][(n+7)-(n-5)]\\&=(2n+2)×12\\&=24(n+1)\end{aligned}$
因为n是任意自然数，所以n+1是正整数，因此$24(n+1)$一定是24的倍数，即$(n+7)^2-(n-5)^2$能被24整除。
解析
【分析】
要判断代数式$(n+7)^2 - (n-5)^2$能否被24整除，核心是对该代数式进行化简。观察式子发现是两个平方的差，符合平方差公式的结构特征，因此首先考虑用平方差公式对式子因式分解，化简后判断结果是否含有因数24，再结合n是自然数的条件即可验证结论是否成立。也可通过完全平方公式展开合并同类项完成化简，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
同意小明的说法，理由如下：
利用平方差公式将原式因式分解：
$\begin{aligned}(n+7)^2-(n-5)^2&=[(n+7)+(n-5)][(n+7)-(n-5)]\\&=(2n+2)×12\\&=24(n+1)\end{aligned}$
因为n是任意自然数，所以n+1是正整数，因此$24(n+1)$一定是24的倍数，即$(n+7)^2-(n-5)^2$能被24整除。
【答案】
同意小明的说法，对于任意自然数$n$，$(n+7)^2 - (n-5)^2$能被24整除。
【知识点】
平方差公式、因式分解、整式化简
【点评】
本题是乘法公式应用的典型基础题，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，对代数式正确化简，再结合整数的性质判断整除性，掌握乘法公式相关知识即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
要判断代数式$(n+7)^2 - (n-5)^2$能否被24整除，核心是对该代数式进行化简。观察式子发现是两个平方的差，符合平方差公式的结构特征，因此首先考虑用平方差公式对式子因式分解，化简后判断结果是否含有因数24，再结合n是自然数的条件即可验证结论是否成立。也可通过完全平方公式展开合并同类项完成化简，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
同意小明的说法，理由如下：
利用平方差公式将原式因式分解：
$\begin{aligned}(n+7)^2-(n-5)^2&=[(n+7)+(n-5)][(n+7)-(n-5)]\\&=(2n+2)×12\\&=24(n+1)\end{aligned}$
因为n是任意自然数，所以n+1是正整数，因此$24(n+1)$一定是24的倍数，即$(n+7)^2-(n-5)^2$能被24整除。
【答案】
同意小明的说法，对于任意自然数$n$，$(n+7)^2 - (n-5)^2$能被24整除。
【知识点】
平方差公式、因式分解、整式化简
【点评】
本题是乘法公式应用的典型基础题，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，对代数式正确化简，再结合整数的性质判断整除性，掌握乘法公式相关知识即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
