登录
1. 下列错 误 的是()
A.$(m-2n)^2=m^2-4mn+4n^2$
B.$(-m-2n)^2=m^2-4mn+4n^2$
C.$(a-\frac{1}{2}b)^2=a^2-ab+\frac{1}{4}b^2$
D.$(a+\frac{1}{2}b)^2=a^2+ab+\frac{1}{4}b^2$
A.$(m-2n)^2=m^2-4mn+4n^2$
B.$(-m-2n)^2=m^2-4mn+4n^2$
C.$(a-\frac{1}{2}b)^2=a^2-ab+\frac{1}{4}b^2$
D.$(a+\frac{1}{2}b)^2=a^2+ab+\frac{1}{4}b^2$
答案
B
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路为：首先回忆完全平方公式的形式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，口诀为“首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号看前方”，随后将每个选项中的式子按照公式展开，和选项给出的结果对比，找出错误的选项即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，逐一验证选项：
选项A：$(m-2n)^2=m^2-2· m· 2n+(2n)^2=m^2-4mn+4n^2$，计算正确，不符合题意；
选项B：$(-m-2n)^2=[-(m+2n)]^2=(m+2n)^2=m^2+2· m· 2n+(2n)^2=m^2+4mn+4n^2$，和选项给出的$m^2-4mn+4n^2$不一致，计算错误，符合题意；
选项C：$(a-\frac{1}{2}b)^2=a^2-2· a· \frac{1}{2}b+(\frac{1}{2}b)^2=a^2-ab+\frac{1}{4}b^2$，计算正确，不符合题意；
选项D：$(a+\frac{1}{2}b)^2=a^2+2· a· \frac{1}{2}b+(\frac{1}{2}b)^2=a^2+ab+\frac{1}{4}b^2$，计算正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；整式乘法运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握完全平方公式的结构，尤其要注意符号判断和系数的平方运算，避免因符号记错或漏算系数平方出错。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，解题思路为：首先回忆完全平方公式的形式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，口诀为“首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号看前方”，随后将每个选项中的式子按照公式展开，和选项给出的结果对比，找出错误的选项即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，逐一验证选项：
选项A：$(m-2n)^2=m^2-2· m· 2n+(2n)^2=m^2-4mn+4n^2$，计算正确，不符合题意；
选项B：$(-m-2n)^2=[-(m+2n)]^2=(m+2n)^2=m^2+2· m· 2n+(2n)^2=m^2+4mn+4n^2$，和选项给出的$m^2-4mn+4n^2$不一致，计算错误，符合题意；
选项C：$(a-\frac{1}{2}b)^2=a^2-2· a· \frac{1}{2}b+(\frac{1}{2}b)^2=a^2-ab+\frac{1}{4}b^2$，计算正确，不符合题意；
选项D：$(a+\frac{1}{2}b)^2=a^2+2· a· \frac{1}{2}b+(\frac{1}{2}b)^2=a^2+ab+\frac{1}{4}b^2$，计算正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；整式乘法运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握完全平方公式的结构，尤其要注意符号判断和系数的平方运算，避免因符号记错或漏算系数平方出错。
【难度系数】
0.8
2. 化简$(a+1)^2 - (a-1)^2$的结果是（）
A.2
B.-2
C.$4a$
D.$2a^2+2$
A.2
B.-2
C.$4a$
D.$2a^2+2$
答案
C
解析
【分析】
拿到这道题我们可以有两种解题思路：思路一：分别用完全平方公式将两个平方项展开，再通过去括号、合并同类项得到化简结果；思路二：观察到原式是两个式子的平方差，可直接套用平方差公式进行因式分解，再计算得到结果，两种方法都符合整式化简的运算规则。
【解析】
方法一：利用完全平方公式展开计算
根据完全平方公式$(m\pm n)^2=m^2\pm 2mn+n^2$，可得：
$(a+1)^2=a^2+2a+1$，$(a-1)^2=a^2-2a+1$
代入原式得：
$\begin{aligned}(a+1)^2 - (a-1)^2&=(a^2+2a+1)-(a^2-2a+1)\\&=a^2+2a+1-a^2+2a-1\\&=4a\end{aligned}$
方法二：利用平方差公式计算
根据平方差公式$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$，令$m=a+1$，$n=a-1$，代入得：
$\begin{aligned}(a+1)^2 - (a-1)^2&=[(a+1)-(a-1)][(a+1)+(a-1)]\\&=(a+1-a+1)(a+1+a-1)\\&=2× 2a\\&=4a\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、整式化简
【点评】
本题是乘法公式的基础应用题目，两种解题方法都可行，熟练掌握不同乘法公式的特征，选择合适的方法可以简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
拿到这道题我们可以有两种解题思路：思路一：分别用完全平方公式将两个平方项展开，再通过去括号、合并同类项得到化简结果；思路二：观察到原式是两个式子的平方差，可直接套用平方差公式进行因式分解，再计算得到结果，两种方法都符合整式化简的运算规则。
【解析】
方法一：利用完全平方公式展开计算
根据完全平方公式$(m\pm n)^2=m^2\pm 2mn+n^2$，可得：
$(a+1)^2=a^2+2a+1$，$(a-1)^2=a^2-2a+1$
代入原式得：
$\begin{aligned}(a+1)^2 - (a-1)^2&=(a^2+2a+1)-(a^2-2a+1)\\&=a^2+2a+1-a^2+2a-1\\&=4a\end{aligned}$
方法二：利用平方差公式计算
根据平方差公式$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$，令$m=a+1$，$n=a-1$，代入得：
$\begin{aligned}(a+1)^2 - (a-1)^2&=[(a+1)-(a-1)][(a+1)+(a-1)]\\&=(a+1-a+1)(a+1+a-1)\\&=2× 2a\\&=4a\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、整式化简
【点评】
本题是乘法公式的基础应用题目，两种解题方法都可行，熟练掌握不同乘法公式的特征，选择合适的方法可以简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
3. 将一块边长为a cm的正方形图片各边缩小相同的长度，缩小后的正方形边长比原来少2 cm（a＞2），则缩小后的图片面积减少了（）
A.$(4a-4)\ \mathrm{cm}^2$
B.$4\ \mathrm{cm}^2$
C.$(a^2-4)\ \mathrm{cm}^2$
D.$(2a-4)\ \mathrm{cm}^2$
A.$(4a-4)\ \mathrm{cm}^2$
B.$4\ \mathrm{cm}^2$
C.$(a^2-4)\ \mathrm{cm}^2$
D.$(2a-4)\ \mathrm{cm}^2$
答案
A
解析
【分析】
要计算缩小后图片减少的面积，本质是求原正方形面积与缩小后正方形面积的差。第一步先确定两个正方形的边长：原正方形边长为a cm，缩小后的边长比原来少2 cm，即为(a-2) cm；第二步分别计算两个正方形的面积；第三步将两个面积作差，利用乘法公式化简即可得到结果。
【解析】
解：原正方形的面积为：$S_原 = a^2\ \mathrm{cm}^2$
缩小后正方形的边长为$(a-2)\ \mathrm{cm}$，其面积为：$S_缩 = (a-2)^2\ \mathrm{cm}^2$
则面积减少量为：
$\begin{aligned}S_减 &= S_原 - S_缩 \\&= a^2 - (a-2)^2 \\&= a^2 - (a^2 - 4a + 4) \\&= a^2 - a^2 + 4a - 4 \\&= (4a - 4)\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
也可利用平方差公式化简：$a^2 - (a-2)^2 = [a+(a-2)][a-(a-2)] = (2a-2) × 2 = 4a-4$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正方形面积计算；完全平方公式；整式化简
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题核心是抓住“减少的面积等于原面积减新面积”的数量关系，熟练掌握乘法公式能简化运算，做题时要注意去括号时的符号变化，避免因粗心选错答案。
【难度系数】
0.75
要计算缩小后图片减少的面积，本质是求原正方形面积与缩小后正方形面积的差。第一步先确定两个正方形的边长：原正方形边长为a cm，缩小后的边长比原来少2 cm，即为(a-2) cm；第二步分别计算两个正方形的面积；第三步将两个面积作差，利用乘法公式化简即可得到结果。
【解析】
解：原正方形的面积为：$S_原 = a^2\ \mathrm{cm}^2$
缩小后正方形的边长为$(a-2)\ \mathrm{cm}$，其面积为：$S_缩 = (a-2)^2\ \mathrm{cm}^2$
则面积减少量为：
$\begin{aligned}S_减 &= S_原 - S_缩 \\&= a^2 - (a-2)^2 \\&= a^2 - (a^2 - 4a + 4) \\&= a^2 - a^2 + 4a - 4 \\&= (4a - 4)\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
也可利用平方差公式化简：$a^2 - (a-2)^2 = [a+(a-2)][a-(a-2)] = (2a-2) × 2 = 4a-4$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正方形面积计算；完全平方公式；整式化简
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题核心是抓住“减少的面积等于原面积减新面积”的数量关系，熟练掌握乘法公式能简化运算，做题时要注意去括号时的符号变化，避免因粗心选错答案。
【难度系数】
0.75
1. 计算：$(3x+2)(3x-2)=$；$(-2a-1)^2=$。
答案
解：
根据平方差公式计算：
$(3x+2)(3x-2)=(3x)^2 - 2^2=9x^2 - 4$
根据完全平方公式计算：
$(-2a-1)^2=[-(2a+1)]^2=(2a+1)^2=(2a)^2 + 2×2a×1 + 1^2=4a^2 + 4a +1$
答案依次为：$\boldsymbol{9x^2 - 4}$；$\boldsymbol{4a^2 + 4a + 1}$。
根据平方差公式计算：
$(3x+2)(3x-2)=(3x)^2 - 2^2=9x^2 - 4$
根据完全平方公式计算：
$(-2a-1)^2=[-(2a+1)]^2=(2a+1)^2=(2a)^2 + 2×2a×1 + 1^2=4a^2 + 4a +1$
答案依次为：$\boldsymbol{9x^2 - 4}$；$\boldsymbol{4a^2 + 4a + 1}$。
解析
【分析】
本题考查乘法公式的应用，解题时先观察式子的结构特征：①第一个式子是两个二项式相乘，其中3x是相同项，2和-2是互为相反数的项，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，直接代入公式计算即可，注意系数也要同时平方；②第二个式子是两个代数式的平方形式，可先提取负号，利用平方的非负性消去负号，转化为完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$的结构，再代入对应数值展开计算，注意不要遗漏中间的两倍交叉项。
【解析】
1. 计算$(3x+2)(3x-2)$：
该式符合平方差公式的结构，令$a=3x$，$b=2$，代入平方差公式得：
$(3x+2)(3x-2)=(3x)^2 - 2^2=9x^2 - 4$
2. 计算$(-2a-1)^2$：
先对式子变形，提取负号得：$(-2a-1)^2=[-(2a+1)]^2=(2a+1)^2$
该式符合完全平方和公式的结构，令$a=2a$，$b=1$，代入公式得：
$(2a+1)^2=(2a)^2 + 2×2a×1 + 1^2=4a^2 + 4a + 1$
【答案】
$9x^2 - 4$；$4a^2 + 4a + 1$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式乘法运算
【点评】
本题属于乘法公式的基础应用题型，解题核心是准确判断式子对应的公式结构，熟记公式内容，计算时需注意系数的乘方以及完全平方公式的交叉项，避免漏项、错算。
【难度系数】
0.8
本题考查乘法公式的应用，解题时先观察式子的结构特征：①第一个式子是两个二项式相乘，其中3x是相同项，2和-2是互为相反数的项，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，直接代入公式计算即可，注意系数也要同时平方；②第二个式子是两个代数式的平方形式，可先提取负号，利用平方的非负性消去负号，转化为完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$的结构，再代入对应数值展开计算，注意不要遗漏中间的两倍交叉项。
【解析】
1. 计算$(3x+2)(3x-2)$：
该式符合平方差公式的结构，令$a=3x$，$b=2$，代入平方差公式得：
$(3x+2)(3x-2)=(3x)^2 - 2^2=9x^2 - 4$
2. 计算$(-2a-1)^2$：
先对式子变形，提取负号得：$(-2a-1)^2=[-(2a+1)]^2=(2a+1)^2$
该式符合完全平方和公式的结构，令$a=2a$，$b=1$，代入公式得：
$(2a+1)^2=(2a)^2 + 2×2a×1 + 1^2=4a^2 + 4a + 1$
【答案】
$9x^2 - 4$；$4a^2 + 4a + 1$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式乘法运算
【点评】
本题属于乘法公式的基础应用题型，解题核心是准确判断式子对应的公式结构，熟记公式内容，计算时需注意系数的乘方以及完全平方公式的交叉项，避免漏项、错算。
【难度系数】
0.8
2. 若代数式$x^2 - kx + 25$是一个两数和(差)的平方式，则$k=$.
答案
$\boldsymbol{\pm10}$
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方公式的结构特征：两数和（差）的平方等于两数的平方和加上（减去）两数乘积的2倍，即$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。首先找到给定代数式中的两个平方项，确定对应的a和b，再根据中间项的两种可能情况（加或者减两数乘积的2倍），对应系数列出等式求解k，注意不要漏解。
【解析】
根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
已知代数式$x^2 -kx +25$是两数和（差）的平方式，其中平方项为$x^2=(x)^2$，$25=5^2$，因此该平方式可表示为$(x\pm5)^2$。
将$(x\pm5)^2$展开得：$x^2\pm10x +25$
将展开式与原式$x^2 -kx +25$对比，对应项系数相等，可得：
$-k=\pm10$
解得：$k=\pm10$
【答案】
$\boldsymbol{\pm10}$
【知识点】
完全平方公式；平方式的概念
【点评】
本题重点考查完全平方公式的应用，解题时需注意完全平方包含两数和、两数差两种形式，不可只考虑其中一种导致漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆完全平方公式的结构特征：两数和（差）的平方等于两数的平方和加上（减去）两数乘积的2倍，即$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。首先找到给定代数式中的两个平方项，确定对应的a和b，再根据中间项的两种可能情况（加或者减两数乘积的2倍），对应系数列出等式求解k，注意不要漏解。
【解析】
根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
已知代数式$x^2 -kx +25$是两数和（差）的平方式，其中平方项为$x^2=(x)^2$，$25=5^2$，因此该平方式可表示为$(x\pm5)^2$。
将$(x\pm5)^2$展开得：$x^2\pm10x +25$
将展开式与原式$x^2 -kx +25$对比，对应项系数相等，可得：
$-k=\pm10$
解得：$k=\pm10$
【答案】
$\boldsymbol{\pm10}$
【知识点】
完全平方公式；平方式的概念
【点评】
本题重点考查完全平方公式的应用，解题时需注意完全平方包含两数和、两数差两种形式，不可只考虑其中一种导致漏解。
【难度系数】
0.7
3. 多项式$9x^2+1$加上一个单项式后等于一个二项式的平方，那么加上的单项式可以是（填一个即可）。
答案
解：
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab + b^2$，
令$a=3x$，$b=1$，可得$2ab=2× 3x × 1=6x$，
此时$9x^2 + 6x +1=(3x+1)^2$，是二项式$3x+1$的平方，满足条件。
$6x$（答案不唯一）
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab + b^2$，
令$a=3x$，$b=1$，可得$2ab=2× 3x × 1=6x$，
此时$9x^2 + 6x +1=(3x+1)^2$，是二项式$3x+1$的平方，满足条件。
$6x$（答案不唯一）
解析
【分析】
这道题考查完全平方公式的应用，解题时首先回忆完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，展开后包含三项，分别是两个数的平方项，以及两个数乘积的2倍项。题目中给出的多项式已有两项$9x^2$和$1$，可将其对应为完全平方公式中的$a^2$和$b^2$，即$a=3x$，$b=1$，只需要补充中间的$\pm2ab$项，就能凑成完全平方式，填其中一种符合要求的单项式即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab + b^2$，
将$9x^2$看作$(3x)^2$，$1$看作$1^2$，令$a=3x$，$b=1$，
可得中间项$\pm 2ab=\pm 2× 3x × 1=\pm6x$，
以$6x$为例，代入可得$9x^2 + 6x +1=(3x+1)^2$，恰好是二项式$3x+1$的平方，满足题干要求。（答案不唯一，$-6x$等也符合要求）
【答案】
$6x$（答案不唯一）
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 整式的运算
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考查对完全平方公式结构的理解与运用，解题时要牢记完全平方公式的三项组成，灵活对应已知项和未知项，同时注意中间项符号可正可负，存在多个正确答案。
【难度系数】
0.7
这道题考查完全平方公式的应用，解题时首先回忆完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，展开后包含三项，分别是两个数的平方项，以及两个数乘积的2倍项。题目中给出的多项式已有两项$9x^2$和$1$，可将其对应为完全平方公式中的$a^2$和$b^2$，即$a=3x$，$b=1$，只需要补充中间的$\pm2ab$项，就能凑成完全平方式，填其中一种符合要求的单项式即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab + b^2$，
将$9x^2$看作$(3x)^2$，$1$看作$1^2$，令$a=3x$，$b=1$，
可得中间项$\pm 2ab=\pm 2× 3x × 1=\pm6x$，
以$6x$为例，代入可得$9x^2 + 6x +1=(3x+1)^2$，恰好是二项式$3x+1$的平方，满足题干要求。（答案不唯一，$-6x$等也符合要求）
【答案】
$6x$（答案不唯一）
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 整式的运算
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考查对完全平方公式结构的理解与运用，解题时要牢记完全平方公式的三项组成，灵活对应已知项和未知项，同时注意中间项符号可正可负，存在多个正确答案。
【难度系数】
0.7
4*. 在代数式$(a-3)^2+4$中，无论$a$取何值，$(a-3)^2$都大于等于0，再加上4，则代数式$(a-3)^2+4$大于等于4，即$(a-3)^2+4$有最小值为4. 仿照上述思路，代数式$-a^2+12a-8$的最大值为.
答案
解：
$-a^2+12a-8$
$=-(a^2-12a)-8$
$=-(a^2-12a+36-36)-8$
$=-(a-6)^2 + 36 -8$
$=-(a-6)^2 +28$
∵无论$a$取何值，$(a-6)^2≥0$，
∴$-(a-6)^2≤0$，
∴$-(a-6)^2 +28≤28$，
即代数式$-a^2+12a-8$的最大值为$\boldsymbol{28}$。
$-a^2+12a-8$
$=-(a^2-12a)-8$
$=-(a^2-12a+36-36)-8$
$=-(a-6)^2 + 36 -8$
$=-(a-6)^2 +28$
∵无论$a$取何值，$(a-6)^2≥0$，
∴$-(a-6)^2≤0$，
∴$-(a-6)^2 +28≤28$，
即代数式$-a^2+12a-8$的最大值为$\boldsymbol{28}$。
解析
【分析】
要解决这个求代数式最大值的问题，我们可以仿照题中给出的思路，利用完全平方的非负性求解：首先观察代数式的二次项系数为负，先通过提取负号将二次项、一次项整理到括号内，再对括号内的式子进行配方，将原式转化为“-完全平方式+常数”的形式，最后根据完全平方式≥0的性质，推导整个代数式的最大值。
【解析】
对代数式进行配方变形：
$-a^2+12a-8$
$=-(a^2-12a)-8$
$=-(a^2-12a+36-36)-8$
$=-(a-6)^2 + 36 -8$
$=-(a-6)^2 +28$
∵无论$a$取何值，$(a-6)^2≥0$，
∴$-(a-6)^2≤0$，
∴$-(a-6)^2 +28≤28$，
即可得到代数式的最大值。
【答案】$\boldsymbol{28}$
【知识点】
1.配方法
2.完全平方的非负性
3.代数式最值求解
【点评】
本题是对完全平方公式灵活应用的考查，解题核心是掌握配方法的步骤，尤其注意二次项系数为负数时，要先提取负号再配方，避免符号出错，结合平方的非负性即可快速求出最值。
【难度系数】
0.6
要解决这个求代数式最大值的问题，我们可以仿照题中给出的思路，利用完全平方的非负性求解：首先观察代数式的二次项系数为负，先通过提取负号将二次项、一次项整理到括号内，再对括号内的式子进行配方，将原式转化为“-完全平方式+常数”的形式，最后根据完全平方式≥0的性质，推导整个代数式的最大值。
【解析】
对代数式进行配方变形：
$-a^2+12a-8$
$=-(a^2-12a)-8$
$=-(a^2-12a+36-36)-8$
$=-(a-6)^2 + 36 -8$
$=-(a-6)^2 +28$
∵无论$a$取何值，$(a-6)^2≥0$，
∴$-(a-6)^2≤0$，
∴$-(a-6)^2 +28≤28$，
即可得到代数式的最大值。
【答案】$\boldsymbol{28}$
【知识点】
1.配方法
2.完全平方的非负性
3.代数式最值求解
【点评】
本题是对完全平方公式灵活应用的考查，解题核心是掌握配方法的步骤，尤其注意二次项系数为负数时，要先提取负号再配方，避免符号出错，结合平方的非负性即可快速求出最值。
【难度系数】
0.6
三、解答题
1. 计算：
(1) $(x+y)(x-y)(x^2-y^2)$；
(2) $(2x+y)^2-(2x-y)^2$。
1. 计算：
(1) $(x+y)(x-y)(x^2-y^2)$；
(2) $(2x+y)^2-(2x-y)^2$。
答案
解：
(1)
$\begin{aligned}原式&=(x^2 - y^2)(x^2 - y^2)\\&=(x^2 - y^2)^2\\&=x^4 - 2x^2y^2 + y^4\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=(4x^2 + 4xy + y^2) - (4x^2 - 4xy + y^2)\\&=4x^2 + 4xy + y^2 - 4x^2 + 4xy - y^2\\&=8xy\end{aligned}$
(1)
$\begin{aligned}原式&=(x^2 - y^2)(x^2 - y^2)\\&=(x^2 - y^2)^2\\&=x^4 - 2x^2y^2 + y^4\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=(4x^2 + 4xy + y^2) - (4x^2 - 4xy + y^2)\\&=4x^2 + 4xy + y^2 - 4x^2 + 4xy - y^2\\&=8xy\end{aligned}$
解析
【分析】
(1) 观察式子结构，前两个因式$(x+y)(x-y)$符合平方差公式的形式，先利用平方差公式计算前两个因式的乘积，得到$x^2-y^2$，此时原式变为两个$x^2-y^2$相乘，即$(x^2-y^2)^2$，再利用完全平方公式展开即可得到结果。
(2) 式子是两个完全平方式的差，先分别利用完全平方公式将$(2x+y)^2$和$(2x-y)^2$展开，再去括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}原式&=(x^2 - y^2)(x^2 - y^2)\\&=(x^2 - y^2)^2\\&=x^4 - 2x^2y^2 + y^4\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=(4x^2 + 4xy + y^2) - (4x^2 - 4xy + y^2)\\&=4x^2 + 4xy + y^2 - 4x^2 + 4xy - y^2\\&=8xy\end{aligned}$
【答案】
(1) $x^4 - 2x^2y^2 + y^4$；(2) $8xy$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；整式加减运算
【点评】
本题是整式乘法的基础计算题，解题的关键是先观察式子结构，合理选择乘法公式简化运算过程，计算时要注意完全平方公式展开的项数、去括号的符号变化以及同类项合并的准确性，熟练掌握乘法公式是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.8
(1) 观察式子结构，前两个因式$(x+y)(x-y)$符合平方差公式的形式，先利用平方差公式计算前两个因式的乘积，得到$x^2-y^2$，此时原式变为两个$x^2-y^2$相乘，即$(x^2-y^2)^2$，再利用完全平方公式展开即可得到结果。
(2) 式子是两个完全平方式的差，先分别利用完全平方公式将$(2x+y)^2$和$(2x-y)^2$展开，再去括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}原式&=(x^2 - y^2)(x^2 - y^2)\\&=(x^2 - y^2)^2\\&=x^4 - 2x^2y^2 + y^4\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=(4x^2 + 4xy + y^2) - (4x^2 - 4xy + y^2)\\&=4x^2 + 4xy + y^2 - 4x^2 + 4xy - y^2\\&=8xy\end{aligned}$
【答案】
(1) $x^4 - 2x^2y^2 + y^4$；(2) $8xy$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；整式加减运算
【点评】
本题是整式乘法的基础计算题，解题的关键是先观察式子结构，合理选择乘法公式简化运算过程，计算时要注意完全平方公式展开的项数、去括号的符号变化以及同类项合并的准确性，熟练掌握乘法公式是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.8
2. 已知$(a+b)^2=9,(a-b)^2=1$,求下列各式的值:
(1) $ab$;
(2) $a^2-ab+b^2$.
(1) $ab$;
(2) $a^2-ab+b^2$.
答案
解：
(1) 由完全平方公式展开得：
$a^2 + 2ab + b^2 = 9$ ①
$a^2 - 2ab + b^2 = 1$ ②
用①$-$②，得：
$(a^2 + 2ab + b^2)-(a^2 - 2ab + b^2)=9-1$
化简得：$4ab=8$
因此 $ab=2$。
(2) 用①$+$②，得：
$(a^2 + 2ab + b^2)+(a^2 - 2ab + b^2)=9+1$
化简得：$2a^2 + 2b^2=10$，即 $a^2 + b^2=5$
代入得：
$a^2 - ab + b^2=(a^2 + b^2)-ab=5-2=3$
综上，(1) $ab=2$；(2) $a^2-ab+b^2=3$。
(1) 由完全平方公式展开得：
$a^2 + 2ab + b^2 = 9$ ①
$a^2 - 2ab + b^2 = 1$ ②
用①$-$②，得：
$(a^2 + 2ab + b^2)-(a^2 - 2ab + b^2)=9-1$
化简得：$4ab=8$
因此 $ab=2$。
(2) 用①$+$②，得：
$(a^2 + 2ab + b^2)+(a^2 - 2ab + b^2)=9+1$
化简得：$2a^2 + 2b^2=10$，即 $a^2 + b^2=5$
代入得：
$a^2 - ab + b^2=(a^2 + b^2)-ab=5-2=3$
综上，(1) $ab=2$；(2) $a^2-ab+b^2=3$。
解析
【分析】
本题已知两个完全平方的运算结果，可先利用完全平方公式将两个已知等式展开，观察展开式的结构特点：两个式子中$a^2$、$b^2$的系数相同，$ab$的系数互为相反数。求解$ab$时，将两个展开式作差即可消去$a^2$和$b^2$，直接得到关于$ab$的方程求解；求解$a^2-ab+b^2$时，先将两个展开式作和消去$ab$项，求出$a^2+b^2$的值，再将所求代数式变形为含$a^2+b^2$和$ab$的形式，代入计算即可。
【解析】
(1) 根据完全平方公式将已知等式展开：
$a^2 + 2ab + b^2 = 9$ ①
$a^2 - 2ab + b^2 = 1$ ②
用①$-$②，得：
$(a^2 + 2ab + b^2)-(a^2 - 2ab + b^2)=9-1$
去括号合并同类项化简得：$4ab=8$
解得：$ab=2$。
(2) 用①$+$②，得：
$(a^2 + 2ab + b^2)+(a^2 - 2ab + b^2)=9+1$
化简得：$2a^2 + 2b^2=10$，两边同时除以2得 $a^2 + b^2=5$
将所求代数式变形后代入计算：
$a^2 - ab + b^2=(a^2 + b^2)-ab=5-2=3$
【答案】
(1) $ab=2$；(2) $a^2-ab+b^2=3$
【知识点】
完全平方公式；整式的加减运算；代数式求值
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活应用，通过对两个完全平方展开式作和、作差实现消元，是整式运算中常用的技巧，掌握公式的变形规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题已知两个完全平方的运算结果，可先利用完全平方公式将两个已知等式展开，观察展开式的结构特点：两个式子中$a^2$、$b^2$的系数相同，$ab$的系数互为相反数。求解$ab$时，将两个展开式作差即可消去$a^2$和$b^2$，直接得到关于$ab$的方程求解；求解$a^2-ab+b^2$时，先将两个展开式作和消去$ab$项，求出$a^2+b^2$的值，再将所求代数式变形为含$a^2+b^2$和$ab$的形式，代入计算即可。
【解析】
(1) 根据完全平方公式将已知等式展开：
$a^2 + 2ab + b^2 = 9$ ①
$a^2 - 2ab + b^2 = 1$ ②
用①$-$②，得：
$(a^2 + 2ab + b^2)-(a^2 - 2ab + b^2)=9-1$
去括号合并同类项化简得：$4ab=8$
解得：$ab=2$。
(2) 用①$+$②，得：
$(a^2 + 2ab + b^2)+(a^2 - 2ab + b^2)=9+1$
化简得：$2a^2 + 2b^2=10$，两边同时除以2得 $a^2 + b^2=5$
将所求代数式变形后代入计算：
$a^2 - ab + b^2=(a^2 + b^2)-ab=5-2=3$
【答案】
(1) $ab=2$；(2) $a^2-ab+b^2=3$
【知识点】
完全平方公式；整式的加减运算；代数式求值
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活应用，通过对两个完全平方展开式作和、作差实现消元，是整式运算中常用的技巧，掌握公式的变形规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8
