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3. 已知$a + b = 6$, $ab = 8$, 求下列各式的值:
(1) $a^2 + b^2$;
(2) $(a - b)^2$.
(1) $a^2 + b^2$;
(2) $(a - b)^2$.
答案
解：
(1) 由完全平方公式变形可得：
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
将$a+b=6$，$ab=8$代入得：
原式$=6^2 - 2×8 = 36 - 16 = 20$
(2) 由完全平方公式变形可得：
$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$
将$a+b=6$，$ab=8$代入得：
原式$=6^2 - 4×8 = 36 - 32 = 4$
(1) 由完全平方公式变形可得：
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
将$a+b=6$，$ab=8$代入得：
原式$=6^2 - 2×8 = 36 - 16 = 20$
(2) 由完全平方公式变形可得：
$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$
将$a+b=6$，$ab=8$代入得：
原式$=6^2 - 4×8 = 36 - 32 = 4$
解析
【分析】
本题已知$a+b$与$ab$的值，无需计算$a$、$b$的具体数值，可利用完全平方公式的变形进行整体代入求解。首先回忆完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将公式移项变形即可得到$a^2+b^2$的表达式，代入已知条件可解第(1)问；对于第(2)问，先展开$(a-b)^2$得$a^2-2ab+b^2$，将其转化为用$(a+b)$和$ab$表示的形式，代入已知条件即可求出结果。
【解析】
(1) 由完全平方公式变形可得：
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
将$a+b=6$，$ab=8$代入得：
原式$=6^2 - 2×8 = 36 - 16 = 20$
(2) 由完全平方公式变形可得：
$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$
将$a+b=6$，$ab=8$代入得：
原式$=6^2 - 4×8 = 36 - 32 = 4$
【答案】
(1) $\boxed{20}$；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题是乘法公式应用的基础题型，核心考查完全平方公式的灵活变形，运用整体代入的思想可简化计算过程，避免求解$a$、$b$的具体值，是整式运算中较为常见的考法。
【难度系数】
0.8
本题已知$a+b$与$ab$的值，无需计算$a$、$b$的具体数值，可利用完全平方公式的变形进行整体代入求解。首先回忆完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将公式移项变形即可得到$a^2+b^2$的表达式，代入已知条件可解第(1)问；对于第(2)问，先展开$(a-b)^2$得$a^2-2ab+b^2$，将其转化为用$(a+b)$和$ab$表示的形式，代入已知条件即可求出结果。
【解析】
(1) 由完全平方公式变形可得：
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
将$a+b=6$，$ab=8$代入得：
原式$=6^2 - 2×8 = 36 - 16 = 20$
(2) 由完全平方公式变形可得：
$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$
将$a+b=6$，$ab=8$代入得：
原式$=6^2 - 4×8 = 36 - 32 = 4$
【答案】
(1) $\boxed{20}$；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题是乘法公式应用的基础题型，核心考查完全平方公式的灵活变形，运用整体代入的思想可简化计算过程，避免求解$a$、$b$的具体值，是整式运算中较为常见的考法。
【难度系数】
0.8
根据[素材],完成[探究活动]和[拓展应用].
[素材1]贾宪三角(如图1)最初于11世纪被发现,在我国北宋时期数学家贾宪的《黄帝九章算法细草》一书中,原名“开方作法本源图”,用来作开方运算.我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》一书中记载着这一图表.因此,后人把这个图表称作“贾宪三角”或“杨辉三角”.
[素材2]我们发现,在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方$(a+b)^2$的展开式$a^2+2ab+b^2$的系数.通过计算还发现,第四行的四个数恰好对应着两数和的立方$(a+b)^3$的展开式$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$的系数,第五行的五个数恰好对应着两数和的四次方$(a+b)^4$的展开式$a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$的系数……由此可见,贾宪三角告诉了我们$(a+b)^n$展开式的系数规律(如图2).
$(a+b)^0$……………………………………1
$(a+b)^1$……………………………………1 1
$(a+b)^2$……………………………………1 2 1
$(a+b)^3$……………………………………1 3 3 1
$(a+b)^4$……………………………………1 4 6 4 1
$(a+b)^5$……………………………………1 5 10 10 5 1
$(a+b)^6$……………………………………1 6 15 20 15 6 1
[探究活动]根据素材内容直接写出结果:
(1)$(a+b)^7$的展开式共有项;
(2)$(a+b)^n$的展开式共有项,$(a+b)^n$的展开式各项系数和是;
(3)利用上面的规律计算:$2^5 -5×2^4 +10×2^3 -10×2^2 +5×2 -1=$.
[拓展应用]今天是星期二,经过$2024^{2025}$天后是星期.[提示:$2024^{2025}=(2023+1)^{2025}$]
[素材1]贾宪三角(如图1)最初于11世纪被发现,在我国北宋时期数学家贾宪的《黄帝九章算法细草》一书中,原名“开方作法本源图”,用来作开方运算.我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》一书中记载着这一图表.因此,后人把这个图表称作“贾宪三角”或“杨辉三角”.
[素材2]我们发现,在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方$(a+b)^2$的展开式$a^2+2ab+b^2$的系数.通过计算还发现,第四行的四个数恰好对应着两数和的立方$(a+b)^3$的展开式$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$的系数,第五行的五个数恰好对应着两数和的四次方$(a+b)^4$的展开式$a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$的系数……由此可见,贾宪三角告诉了我们$(a+b)^n$展开式的系数规律(如图2).
$(a+b)^0$……………………………………1
$(a+b)^1$……………………………………1 1
$(a+b)^2$……………………………………1 2 1
$(a+b)^3$……………………………………1 3 3 1
$(a+b)^4$……………………………………1 4 6 4 1
$(a+b)^5$……………………………………1 5 10 10 5 1
$(a+b)^6$……………………………………1 6 15 20 15 6 1
[探究活动]根据素材内容直接写出结果:
(1)$(a+b)^7$的展开式共有项;
(2)$(a+b)^n$的展开式共有项,$(a+b)^n$的展开式各项系数和是;
(3)利用上面的规律计算:$2^5 -5×2^4 +10×2^3 -10×2^2 +5×2 -1=$.
[拓展应用]今天是星期二,经过$2024^{2025}$天后是星期.[提示:$2024^{2025}=(2023+1)^{2025}$]
答案
解：
探究活动：
(1) 由已知展开式项数规律，可得$(a+b)^7$的展开式共有$\boldsymbol{8}$项；
(2) $(a+b)^n$的展开式共有$\boldsymbol{n+1}$项，令$a=1,b=1$，可得各项系数和为$\boldsymbol{2^n}$；
(3) 原式可变形为$(2-1)^5=1^5=1$；
拓展应用：
$2024^{2025}=(2023+1)^{2025}$，根据展开式规律，展开后除最后一项为$1$外，其余各项均含因数2023，而$2023=7×289$，是7的倍数，因此$2024^{2025}$除以7的余数为1。
今天是星期二，往后数1天为星期三，因此经过$2024^{2025}$天后是星期$\boldsymbol{三}$。
探究活动：
(1) 由已知展开式项数规律，可得$(a+b)^7$的展开式共有$\boldsymbol{8}$项；
(2) $(a+b)^n$的展开式共有$\boldsymbol{n+1}$项，令$a=1,b=1$，可得各项系数和为$\boldsymbol{2^n}$；
(3) 原式可变形为$(2-1)^5=1^5=1$；
拓展应用：
$2024^{2025}=(2023+1)^{2025}$，根据展开式规律，展开后除最后一项为$1$外，其余各项均含因数2023，而$2023=7×289$，是7的倍数，因此$2024^{2025}$除以7的余数为1。
今天是星期二，往后数1天为星期三，因此经过$2024^{2025}$天后是星期$\boldsymbol{三}$。
解析
【分析】
1. 探究活动解题思路：首先观察给出的(a+b)^n展开式的项数特征，归纳项数与次数n的关系即可解决第(1)问；求系数和时使用赋值法，令a=1、b=1，代入展开式即可直接得到所有系数的和；第(3)问观察式子的系数和符号特征，匹配$(a+b)^5$的展开式结构，逆用规律即可简便计算。
2. 拓展应用解题思路：根据提示将$2024^{2025}$改写为$(2023+1)^{2025}$，结合展开规律可知除最后一项1外，其余项都含有因数2023，而2023是7的倍数，由此可得总天数除以7的余数，再结合星期的7天周期即可推算结果。
【解析】
探究活动
(1) 观察已知展开式：$(a+b)^0$有1项、$(a+b)^1$有2项、$(a+b)^2$有3项……可归纳得(a+b)^n的项数为n+1，因此$(a+b)^7$的展开式共有7+1=8项。
(2) 由上述归纳规律可得(a+b)^n的展开式共有n+1项；令a=1、b=1，代入得(1+1)^n=2^n，即展开式各项系数和为2^n。(3) 原式的系数为1、-5、10、-10、5、-1，恰好匹配$(a+b)^5$的展开式系数，将a=2、b=-1代入得：原式$=(2-1)^5=1^5=1$。 拓展应用根据提示得$2024^{2025}=(2023+1)^{2025}$，结合展开规律，该式展开后除最后一项为1外，其余各项都含有因数2023。已知2023=7×289，是7的倍数，因此除1外的所有项都能被7整除，即$2024^{2025}$除以7的余数为1。星期以7天为周期，星期二往后数1天为星期三。【答案$】(1) \boldsymbol{8}$；$(2) \boldsymbol{n+1}$，$\boldsymbol{2^n}$；$(3) \boldsymbol{1}$；拓展应用：$\boldsymbol{三}$
【知识点】
杨辉三角的应用，赋值法求系数和，周期与余数计算
【点评】
本题以我国古代数学成果贾宪三角为背景，既考查了规律归纳总结能力，也考查了规律的迁移应用能力，将整式运算、简便计算、实际周期问题结合，需要学生学会转化陌生问题，灵活运用所学规律解题。
【难度系数】
0.7
1. 探究活动解题思路：首先观察给出的(a+b)^n展开式的项数特征，归纳项数与次数n的关系即可解决第(1)问；求系数和时使用赋值法，令a=1、b=1，代入展开式即可直接得到所有系数的和；第(3)问观察式子的系数和符号特征，匹配$(a+b)^5$的展开式结构，逆用规律即可简便计算。
2. 拓展应用解题思路：根据提示将$2024^{2025}$改写为$(2023+1)^{2025}$，结合展开规律可知除最后一项1外，其余项都含有因数2023，而2023是7的倍数，由此可得总天数除以7的余数，再结合星期的7天周期即可推算结果。
【解析】
探究活动
(1) 观察已知展开式：$(a+b)^0$有1项、$(a+b)^1$有2项、$(a+b)^2$有3项……可归纳得(a+b)^n的项数为n+1，因此$(a+b)^7$的展开式共有7+1=8项。
(2) 由上述归纳规律可得(a+b)^n的展开式共有n+1项；令a=1、b=1，代入得(1+1)^n=2^n，即展开式各项系数和为2^n。(3) 原式的系数为1、-5、10、-10、5、-1，恰好匹配$(a+b)^5$的展开式系数，将a=2、b=-1代入得：原式$=(2-1)^5=1^5=1$。 拓展应用根据提示得$2024^{2025}=(2023+1)^{2025}$，结合展开规律，该式展开后除最后一项为1外，其余各项都含有因数2023。已知2023=7×289，是7的倍数，因此除1外的所有项都能被7整除，即$2024^{2025}$除以7的余数为1。星期以7天为周期，星期二往后数1天为星期三。【答案$】(1) \boldsymbol{8}$；$(2) \boldsymbol{n+1}$，$\boldsymbol{2^n}$；$(3) \boldsymbol{1}$；拓展应用：$\boldsymbol{三}$
【知识点】
杨辉三角的应用，赋值法求系数和，周期与余数计算
【点评】
本题以我国古代数学成果贾宪三角为背景，既考查了规律归纳总结能力，也考查了规律的迁移应用能力，将整式运算、简便计算、实际周期问题结合，需要学生学会转化陌生问题，灵活运用所学规律解题。
【难度系数】
0.7
