2. 用简便方法计算：
(1) $101×99$；
(2) $19.7×20.3$。

解：
(1) 原式$=(100+1)×(100-1)$
$=100^2 - 1^2$
$=10000 - 1$
$=9999$
(2) 原式$=(20-0.3)×(20+0.3)$
$=20^2 - 0.3^2$
$=400 - 0.09$
$=399.91$

【分析】
本题考查利用平方差公式进行简便运算，解题思路为先观察两个相乘数字的特征：两道题里相乘的两个数都接近同一个整十/整百数，且分别等于这个整十/整百数加一个数、减同一个数，刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，因此先把原式改写为平方差公式的形式，再分别计算平方后作差，就能快速得到结果，避免复杂的多位数乘法计算。
【解析】
(1) 原式$=(100+1)×(100-1)$
$=100^2 - 1^2$
$=10000 - 1$
$=9999$
(2) 原式$=(20-0.3)×(20+0.3)$
$=20^2 - 0.3^2$
$=400 - 0.09$
$=399.91$
【答案】
(1) $\boxed{9999}$；(2) $\boxed{399.91}$
【知识点】
平方差公式；有理数简便运算
【点评】
本题是乘法公式的基础应用题型，解题的核心是准确识别算式中两个乘数的特征，灵活将原式变形为平方差公式的标准结构，不仅能提升计算效率，还能降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.85

3$^*$ 计算:$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)+1$

解：
原式$=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)+1$
$=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)+1$
$=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)+1$
$=(2^8-1)(2^8+1)+1$
$=2^{16}-1+1$
$=2^{16}$
$=65536$

【分析】观察原式的结构，每个因式都是“2的2ⁿ次幂+1”的形式，符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$中其中一个因式的特征。我们可以在原式最前面添乘$(2-1)$，由于$2-1=1$，乘1不会改变原式的结果，这样就能构造出平方差公式的适用条件，之后反复套用平方差公式逐步化简，最终求出结果。
【解析】
解：原式$=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)+1$
$=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)+1$
$=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)+1$
$=(2^8-1)(2^8+1)+1$
$=2^{16}-1+1$
$=2^{16}$
$=65536$
【答案】
65536
【知识点】
平方差公式；整式简便运算
【点评】
本题属于整式乘法的简便计算题，解题核心是通过观察式子特征，巧妙构造平方差公式的适用形式，再连续套用公式完成化简，能够有效考查学生对乘法公式的灵活运用能力和观察分析能力。
【难度系数】
0.6