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一、选择题
1. 若长方形玻璃的长为$2a+1$，宽为$2a-1$，则此玻璃的面积为()
A.$4a^2 - 1$
B.$4a^2 - 4a + 1$
C.$4a^2 + 4a + 1$
D.$2a^2 - \dfrac{1}{2}$
1. 若长方形玻璃的长为$2a+1$，宽为$2a-1$，则此玻璃的面积为()
A.$4a^2 - 1$
B.$4a^2 - 4a + 1$
C.$4a^2 + 4a + 1$
D.$2a^2 - \dfrac{1}{2}$
答案
A
解析
【分析】
要计算长方形玻璃的面积，首先回忆长方形面积公式：面积=长×宽。将题目给出的长和宽代入公式后，得到算式$(2a+1)(2a-1)$，观察这个算式的结构，是两个数的和与这两个数的差相乘，正好符合平方差公式的特征，用平方差公式计算可以简化运算，不需要展开多项式乘多项式。平方差公式为$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，这里把$2a$看作公式里的$x$，1看作公式里的$y$，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：根据长方形面积公式，可得玻璃的面积为：
$S=(2a+1)(2a-1)$
根据平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，代入$x=2a$，$y=1$得：
$S=(2a)^2 - 1^2 = 4a^2 - 1$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
长方形面积计算；平方差公式
【点评】
本题是乘法公式在几何计算中的基础应用，解题核心是快速识别算式的结构特征，选择合适的乘法公式简化计算，只要熟练掌握平方差公式的形式就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
要计算长方形玻璃的面积，首先回忆长方形面积公式：面积=长×宽。将题目给出的长和宽代入公式后，得到算式$(2a+1)(2a-1)$，观察这个算式的结构，是两个数的和与这两个数的差相乘，正好符合平方差公式的特征，用平方差公式计算可以简化运算，不需要展开多项式乘多项式。平方差公式为$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，这里把$2a$看作公式里的$x$，1看作公式里的$y$，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：根据长方形面积公式，可得玻璃的面积为：
$S=(2a+1)(2a-1)$
根据平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，代入$x=2a$，$y=1$得：
$S=(2a)^2 - 1^2 = 4a^2 - 1$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
长方形面积计算；平方差公式
【点评】
本题是乘法公式在几何计算中的基础应用，解题核心是快速识别算式的结构特征，选择合适的乘法公式简化计算，只要熟练掌握平方差公式的形式就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
2. 计算$(m+3)(m-3)(m^2+9)$的结果是()
A.$m^4+81$
B.$-m^4-81$
C.$m^4-81$
D.$81-m^4$
A.$m^4+81$
B.$-m^4-81$
C.$m^4-81$
D.$81-m^4$
答案
C
解析
【分析】
观察待计算的式子，前两个因式$(m+3)$和$(m-3)$符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，因此可以先利用平方差公式计算前两个因式的乘积，得到的结果再和第三个因式$(m^2+9)$组合，依然符合平方差公式的结构，再次套用公式即可算出结果，分步计算能简化运算、降低出错概率。
【解析】
解：第一步，先计算前两个因式的乘积，根据平方差公式：
$(m+3)(m-3)=m^2-3^2=m^2-9$
第二步，将上述结果与第三个因式相乘，再次使用平方差公式：
$(m^2-9)(m^2+9)=(m^2)^2-9^2=m^4-81$
因此原式的计算结果为$m^4-81$。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；整式乘法；幂的乘方
【点评】
本题考查乘法公式的灵活应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，通过分步套用公式简化运算，若直接逐项展开计算不仅运算量大，还容易出现符号或计算错误。
【难度系数】
0.8
观察待计算的式子，前两个因式$(m+3)$和$(m-3)$符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，因此可以先利用平方差公式计算前两个因式的乘积，得到的结果再和第三个因式$(m^2+9)$组合，依然符合平方差公式的结构，再次套用公式即可算出结果，分步计算能简化运算、降低出错概率。
【解析】
解：第一步，先计算前两个因式的乘积，根据平方差公式：
$(m+3)(m-3)=m^2-3^2=m^2-9$
第二步，将上述结果与第三个因式相乘，再次使用平方差公式：
$(m^2-9)(m^2+9)=(m^2)^2-9^2=m^4-81$
因此原式的计算结果为$m^4-81$。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；整式乘法；幂的乘方
【点评】
本题考查乘法公式的灵活应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，通过分步套用公式简化运算，若直接逐项展开计算不仅运算量大，还容易出现符号或计算错误。
【难度系数】
0.8
3. 下列计算不 正 确 的是()
A.$(-a+10)(a+10)=a^2 - 100$
B.$(-a+10)(a+10)=-a^2 + 100$
C.$(10+a)(-10+a)=a^2 - 100$
D.$(y - \dfrac{2}{3})(y + \dfrac{2}{3})=y^2 - \dfrac{4}{9}$
A.$(-a+10)(a+10)=a^2 - 100$
B.$(-a+10)(a+10)=-a^2 + 100$
C.$(10+a)(-10+a)=a^2 - 100$
D.$(y - \dfrac{2}{3})(y + \dfrac{2}{3})=y^2 - \dfrac{4}{9}$
答案
A
解析
【分析】
本题考查平方差公式的应用，解题思路为：首先明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，若存在一项完全相同，另一项互为相反数，即可套用公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$计算，结果为相同项的平方减去相反项的平方。我们只需逐个分析选项，识别每个式子的相同项和相反项，套用公式验证计算结果是否正确，即可找到不正确的选项。
【解析】
我们逐个验证各选项：
1. 分析A、B选项：式子$(-a+10)(a+10)$可变形为$(10-a)(10+a)$，其中相同项是10，相反项是$a$和$-a$，根据平方差公式计算得：
$10^2 - a^2=100 - a^2=-a^2+100$，因此A计算错误，B计算正确。
2. 分析C选项：式子$(10+a)(-10+a)$可变形为$(a+10)(a-10)$，其中相同项是$a$，相反项是10和$-10$，根据平方差公式计算得：
$a^2 - 10^2=a^2-100$，因此C计算正确。
3. 分析D选项：式子$(y-\dfrac{2}{3})(y+\dfrac{2}{3})$中相同项是$y$，相反项是$\dfrac{2}{3}$和$-\dfrac{2}{3}$，根据平方差公式计算得：
$y^2 - (\dfrac{2}{3})^2=y^2-\dfrac{4}{9}$，因此D计算正确。
综上，计算不正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题核心是对平方差公式结构的识别，解题关键是准确区分两个因式中的相同项和相反项，避免因混淆两项的位置导致计算出错。
【难度系数】
0.75
本题考查平方差公式的应用，解题思路为：首先明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，若存在一项完全相同，另一项互为相反数，即可套用公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$计算，结果为相同项的平方减去相反项的平方。我们只需逐个分析选项，识别每个式子的相同项和相反项，套用公式验证计算结果是否正确，即可找到不正确的选项。
【解析】
我们逐个验证各选项：
1. 分析A、B选项：式子$(-a+10)(a+10)$可变形为$(10-a)(10+a)$，其中相同项是10，相反项是$a$和$-a$，根据平方差公式计算得：
$10^2 - a^2=100 - a^2=-a^2+100$，因此A计算错误，B计算正确。
2. 分析C选项：式子$(10+a)(-10+a)$可变形为$(a+10)(a-10)$，其中相同项是$a$，相反项是10和$-10$，根据平方差公式计算得：
$a^2 - 10^2=a^2-100$，因此C计算正确。
3. 分析D选项：式子$(y-\dfrac{2}{3})(y+\dfrac{2}{3})$中相同项是$y$，相反项是$\dfrac{2}{3}$和$-\dfrac{2}{3}$，根据平方差公式计算得：
$y^2 - (\dfrac{2}{3})^2=y^2-\dfrac{4}{9}$，因此D计算正确。
综上，计算不正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题核心是对平方差公式结构的识别，解题关键是准确区分两个因式中的相同项和相反项，避免因混淆两项的位置导致计算出错。
【难度系数】
0.75
4. 等式$(-a-1)(\_\_\_\_\_\_)=a^2 -1$中，括号内应填入的一个整式是()
A.$a+1$
B.$-1 -a$
C.$1 -a$
D.$a -1$
A.$a+1$
B.$-1 -a$
C.$1 -a$
D.$a -1$
答案
C
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一，利用乘法与除法的互逆关系，括号内的整式等于等式右边的积除以左边已知的因式，再结合平方差公式对分子因式分解后约分化简即可；思路二，直接将各选项代入左边式子计算，判断结果是否与右边相等。解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特征：两个数的和与这两个数的差的积，等于两数的平方差，即$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$。
【解析】
方法一：根据乘除互逆关系，括号内整式为：
$\begin{aligned}&(a^2-1)÷(-a-1)\\=&(a+1)(a-1)÷[-(a+1)] \quad \mathrm{（利用平方差公式分解因式）}\\=&(a-1)÷(-1) \quad \mathrm{（约去公因式$a+1$，$a≠-1$）}\\=&1-a\end{aligned}$
方法二：代入验证：将选项C的$1-a$代入左边得：
$(-a-1)(1-a)=(-a-1)(-a+1)=(-a)^2-1^2=a^2-1$，与右边相等，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，整式乘除运算
【点评】
本题是乘法公式的基础应用题型，既可以通过公式变形运算求解，也可以通过代入验证的方法得出答案，熟练掌握平方差公式的结构特征能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：思路一，利用乘法与除法的互逆关系，括号内的整式等于等式右边的积除以左边已知的因式，再结合平方差公式对分子因式分解后约分化简即可；思路二，直接将各选项代入左边式子计算，判断结果是否与右边相等。解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特征：两个数的和与这两个数的差的积，等于两数的平方差，即$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$。
【解析】
方法一：根据乘除互逆关系，括号内整式为：
$\begin{aligned}&(a^2-1)÷(-a-1)\\=&(a+1)(a-1)÷[-(a+1)] \quad \mathrm{（利用平方差公式分解因式）}\\=&(a-1)÷(-1) \quad \mathrm{（约去公因式$a+1$，$a≠-1$）}\\=&1-a\end{aligned}$
方法二：代入验证：将选项C的$1-a$代入左边得：
$(-a-1)(1-a)=(-a-1)(-a+1)=(-a)^2-1^2=a^2-1$，与右边相等，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，整式乘除运算
【点评】
本题是乘法公式的基础应用题型，既可以通过公式变形运算求解，也可以通过代入验证的方法得出答案，熟练掌握平方差公式的结构特征能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 两个正方形的边长之和为5，边长之差为1，则这两个正方形的面积之差是。
1. 两个正方形的边长之和为5，边长之差为1，则这两个正方形的面积之差是。
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
要计算两个正方形的面积差，首先写出面积差的表达式：若设两个正方形边长分别为$a$、$b$（$a＞b$），则面积差为$a^2 - b^2$，该式符合平方差公式的形式，可分解为$(a+b)(a-b)$。题目已经直接给出边长之和$a+b=5$、边长之差$a-b=1$，不需要分别求出$a$、$b$的具体值，直接整体代入计算即可快速得到结果。
【解析】
设较大正方形的边长为$a$，较小正方形的边长为$b$，根据题意可得：
$a + b = 5$，$a - b = 1$
两个正方形的面积之差为$a^2 - b^2$，根据平方差公式分解得：
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
将$a + b = 5$，$a - b = 1$代入上式计算：
$(a + b)(a - b) = 5×1 = 5$
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
平方差公式，正方形面积计算
【点评】
本题属于平方差公式的基础应用题型，解题时无需单独求解两个边长的具体数值，利用平方差公式整体代入已知条件计算，可有效简化计算过程、降低出错概率。
【难度系数】
0.8
要计算两个正方形的面积差，首先写出面积差的表达式：若设两个正方形边长分别为$a$、$b$（$a＞b$），则面积差为$a^2 - b^2$，该式符合平方差公式的形式，可分解为$(a+b)(a-b)$。题目已经直接给出边长之和$a+b=5$、边长之差$a-b=1$，不需要分别求出$a$、$b$的具体值，直接整体代入计算即可快速得到结果。
【解析】
设较大正方形的边长为$a$，较小正方形的边长为$b$，根据题意可得：
$a + b = 5$，$a - b = 1$
两个正方形的面积之差为$a^2 - b^2$，根据平方差公式分解得：
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
将$a + b = 5$，$a - b = 1$代入上式计算：
$(a + b)(a - b) = 5×1 = 5$
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
平方差公式，正方形面积计算
【点评】
本题属于平方差公式的基础应用题型，解题时无需单独求解两个边长的具体数值，利用平方差公式整体代入已知条件计算，可有效简化计算过程、降低出错概率。
【难度系数】
0.8
2. 计算: $1516^2 - 1517 × 1515 = $；$10\frac{1}{3} × 9\frac{2}{3} = $。
答案
$\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{99\frac{8}{9}}$
解析
【分析】
这两道题均可利用平方差公式简化运算，无需进行复杂的大数计算。第一题中1517和1515分别与1516相差1，可将$1517×1515$转化为$(1516+1)(1516-1)$，套用平方差公式展开后再和$1516^2$合并计算即可；第二题中两个带分数均接近10，可拆为10与$\frac{1}{3}$的和、10与$\frac{1}{3}$的差，直接用平方差公式求解。
【解析】
1. 计算$1516^2 - 1517 × 1515$：
$\begin{aligned}原式&=1516^2 - (1516+1)(1516-1)\\&=1516^2 - (1516^2 - 1^2)\\&=1516^2 - 1516^2 +1\\&=1\end{aligned}$
2. 计算$10\frac{1}{3} × 9\frac{2}{3}$：
$\begin{aligned}原式&=(10+\frac{1}{3})(10-\frac{1}{3})\\&=10^2 - (\frac{1}{3})^2\\&=100 - \frac{1}{9}\\&=99\frac{8}{9}\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{99\frac{8}{9}}$
【知识点】
平方差公式；简便运算
【点评】
本题侧重考查平方差公式的灵活运用，解题核心是把算式中数值相近的项拆为两个相同数的和与差的形式，套用公式后可大幅降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
这两道题均可利用平方差公式简化运算，无需进行复杂的大数计算。第一题中1517和1515分别与1516相差1，可将$1517×1515$转化为$(1516+1)(1516-1)$，套用平方差公式展开后再和$1516^2$合并计算即可；第二题中两个带分数均接近10，可拆为10与$\frac{1}{3}$的和、10与$\frac{1}{3}$的差，直接用平方差公式求解。
【解析】
1. 计算$1516^2 - 1517 × 1515$：
$\begin{aligned}原式&=1516^2 - (1516+1)(1516-1)\\&=1516^2 - (1516^2 - 1^2)\\&=1516^2 - 1516^2 +1\\&=1\end{aligned}$
2. 计算$10\frac{1}{3} × 9\frac{2}{3}$：
$\begin{aligned}原式&=(10+\frac{1}{3})(10-\frac{1}{3})\\&=10^2 - (\frac{1}{3})^2\\&=100 - \frac{1}{9}\\&=99\frac{8}{9}\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{99\frac{8}{9}}$
【知识点】
平方差公式；简便运算
【点评】
本题侧重考查平方差公式的灵活运用，解题核心是把算式中数值相近的项拆为两个相同数的和与差的形式，套用公式后可大幅降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
3. 若$M· (3x-y)=9x^2-y^2$，则代数式$M=$.
答案
$\boldsymbol{3x+y}$
解析
【分析】
要求代数式M，我们可以从两个思路入手：一是根据等式右侧多项式的结构特征，利用乘法公式因式分解，对比左侧已知因式直接得到M；二是根据乘除互逆关系，用积除以已知因式计算M。观察等式右侧的$9x^2-y^2$，符合平方差公式$a^2-b^2$的结构，其中$a=3x$、$b=y$，优先用平方差公式求解更简便。
【解析】
解：根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，对等式右侧的多项式因式分解：
$9x^2 - y^2=(3x)^2 - y^2=(3x+y)(3x-y)$
将分解结果代入原式可得：
$M·(3x-y)=(3x+y)(3x-y)$
由于$3x-y≠0$（否则原式无意义），等式两边同时除以$3x-y$，得：
$M=3x+y$
也可通过整式除法直接计算：$M=(9x^2-y^2)÷(3x-y)=3x+y$
【答案】
$3x+y$
【知识点】
平方差公式、整式乘除运算
【点评】
本题是乘法公式的基础应用类题目，重点考查对平方差公式结构特征的识别与运用能力，也可通过整式除法求解，解题关键是熟练掌握平方差公式的形式。
【难度系数】
0.9
要求代数式M，我们可以从两个思路入手：一是根据等式右侧多项式的结构特征，利用乘法公式因式分解，对比左侧已知因式直接得到M；二是根据乘除互逆关系，用积除以已知因式计算M。观察等式右侧的$9x^2-y^2$，符合平方差公式$a^2-b^2$的结构，其中$a=3x$、$b=y$，优先用平方差公式求解更简便。
【解析】
解：根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，对等式右侧的多项式因式分解：
$9x^2 - y^2=(3x)^2 - y^2=(3x+y)(3x-y)$
将分解结果代入原式可得：
$M·(3x-y)=(3x+y)(3x-y)$
由于$3x-y≠0$（否则原式无意义），等式两边同时除以$3x-y$，得：
$M=3x+y$
也可通过整式除法直接计算：$M=(9x^2-y^2)÷(3x-y)=3x+y$
【答案】
$3x+y$
【知识点】
平方差公式、整式乘除运算
【点评】
本题是乘法公式的基础应用类题目，重点考查对平方差公式结构特征的识别与运用能力，也可通过整式除法求解，解题关键是熟练掌握平方差公式的形式。
【难度系数】
0.9
三、解答题
1. 利用乘法公式计算:
(1) $(-1-5y)(-1+5y)$;
(2) $(a-2b)(-a-2b)$;
(3) $4x^2-(2x-3y)(2x+3y)$;
(4) $(2a-3)(2a+3)-3a(a-2)+2(3a+4)$;
(5) $2x(2x-3y)-(2x-y)(2x+y)$;
(6) $(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)$.
1. 利用乘法公式计算:
(1) $(-1-5y)(-1+5y)$;
(2) $(a-2b)(-a-2b)$;
(3) $4x^2-(2x-3y)(2x+3y)$;
(4) $(2a-3)(2a+3)-3a(a-2)+2(3a+4)$;
(5) $2x(2x-3y)-(2x-y)(2x+y)$;
(6) $(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)$.
答案
解：
(1) 原式$=(-1)^2-(5y)^2$
$=1-25y^2$
(2) 原式$=(-2b+a)(-2b-a)$
$=(-2b)^2-a^2$
$=4b^2-a^2$
(3) 原式$=4x^2-[(2x)^2-(3y)^2]$
$=4x^2-(4x^2-9y^2)$
$=4x^2-4x^2+9y^2$
$=9y^2$
(4) 原式$=(2a)^2-3^2 -3a(a-2)+2(3a+4)$
$=4a^2-9-3a^2+6a+6a+8$
$=a^2+12a-1$
(5) 原式$=4x^2-6xy-[(2x)^2-y^2]$
$=4x^2-6xy-4x^2+y^2$
$=-6xy+y^2$
(6) 原式$=(1-x^2)(1+x^2)(1+x^4)$
$=(1-x^4)(1+x^4)$
$=1-x^8$
(1) 原式$=(-1)^2-(5y)^2$
$=1-25y^2$
(2) 原式$=(-2b+a)(-2b-a)$
$=(-2b)^2-a^2$
$=4b^2-a^2$
(3) 原式$=4x^2-[(2x)^2-(3y)^2]$
$=4x^2-(4x^2-9y^2)$
$=4x^2-4x^2+9y^2$
$=9y^2$
(4) 原式$=(2a)^2-3^2 -3a(a-2)+2(3a+4)$
$=4a^2-9-3a^2+6a+6a+8$
$=a^2+12a-1$
(5) 原式$=4x^2-6xy-[(2x)^2-y^2]$
$=4x^2-6xy-4x^2+y^2$
$=-6xy+y^2$
(6) 原式$=(1-x^2)(1+x^2)(1+x^4)$
$=(1-x^4)(1+x^4)$
$=1-x^8$
解析
【分析】
本题考查乘法公式中平方差公式的应用，解题思路如下：1. 识别公式结构：平方差公式为$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，特征是两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数；2. 定位$a$、$b$：找到乘式中的相同项作为$a$，互为相反数的项作为$b$；3. 套用公式计算：注意带系数、带符号的项要整体加括号计算平方，避免符号错误；4. 混合运算遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的顺序，有括号先算括号内，去括号时注意符号变化；多个二项式连乘的可依次相邻套用平方差公式逐步化简。
【解析】
(1) 原式符合平方差公式结构，相同项为$-1$，相反项为$\pm5y$：
原式$=(-1)^2-(5y)^2$
$=1-25y^2$
(2) 调整两项顺序后，相同项为$-2b$，相反项为$\pm a$：
原式$=(-2b+a)(-2b-a)$
$=(-2b)^2-a^2$
$=4b^2-a^2$
(3) 先计算后面的平方差乘法，再去括号合并同类项：
原式$=4x^2-[(2x)^2-(3y)^2]$
$=4x^2-(4x^2-9y^2)$
$=4x^2-4x^2+9y^2$
$=9y^2$
(4) 先分别计算平方差、单项式乘多项式，再合并同类项：
原式$=(2a)^2-3^2 -3a(a-2)+2(3a+4)$
$=4a^2-9-3a^2+6a+6a+8$
$=a^2+12a-1$
(5) 先计算单项式乘多项式和平方差乘法，再去括号合并同类项：
原式$=4x^2-6xy-[(2x)^2-y^2]$
$=4x^2-6xy-4x^2+y^2$
$=-6xy+y^2$
(6) 连续套用平方差公式逐步化简：
原式$=(1-x^2)(1+x^2)(1+x^4)$
$=(1-x^4)(1+x^4)$
$=1-x^8$
【答案】
(1) $\boldsymbol{1-25y^2}$
(2) $\boldsymbol{4b^2-a^2}$
(3) $\boldsymbol{9y^2}$
(4) $\boldsymbol{a^2+12a-1}$
(5) $\boldsymbol{y^2-6xy}$（或$-6xy+y^2$）
(6) $\boldsymbol{1-x^8}$
【知识点】
平方差公式、整式混合运算、去括号法则
【点评】
本组题目侧重考查平方差公式的识别与应用，解题关键是准确判断公式中的相同项和相反项，混合运算时需注意运算顺序和去括号的符号规则，熟练掌握乘法公式能够简化运算，提升计算的准确率和效率。
【难度系数】
0.8
本题考查乘法公式中平方差公式的应用，解题思路如下：1. 识别公式结构：平方差公式为$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，特征是两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数；2. 定位$a$、$b$：找到乘式中的相同项作为$a$，互为相反数的项作为$b$；3. 套用公式计算：注意带系数、带符号的项要整体加括号计算平方，避免符号错误；4. 混合运算遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的顺序，有括号先算括号内，去括号时注意符号变化；多个二项式连乘的可依次相邻套用平方差公式逐步化简。
【解析】
(1) 原式符合平方差公式结构，相同项为$-1$，相反项为$\pm5y$：
原式$=(-1)^2-(5y)^2$
$=1-25y^2$
(2) 调整两项顺序后，相同项为$-2b$，相反项为$\pm a$：
原式$=(-2b+a)(-2b-a)$
$=(-2b)^2-a^2$
$=4b^2-a^2$
(3) 先计算后面的平方差乘法，再去括号合并同类项：
原式$=4x^2-[(2x)^2-(3y)^2]$
$=4x^2-(4x^2-9y^2)$
$=4x^2-4x^2+9y^2$
$=9y^2$
(4) 先分别计算平方差、单项式乘多项式，再合并同类项：
原式$=(2a)^2-3^2 -3a(a-2)+2(3a+4)$
$=4a^2-9-3a^2+6a+6a+8$
$=a^2+12a-1$
(5) 先计算单项式乘多项式和平方差乘法，再去括号合并同类项：
原式$=4x^2-6xy-[(2x)^2-y^2]$
$=4x^2-6xy-4x^2+y^2$
$=-6xy+y^2$
(6) 连续套用平方差公式逐步化简：
原式$=(1-x^2)(1+x^2)(1+x^4)$
$=(1-x^4)(1+x^4)$
$=1-x^8$
【答案】
(1) $\boldsymbol{1-25y^2}$
(2) $\boldsymbol{4b^2-a^2}$
(3) $\boldsymbol{9y^2}$
(4) $\boldsymbol{a^2+12a-1}$
(5) $\boldsymbol{y^2-6xy}$（或$-6xy+y^2$）
(6) $\boldsymbol{1-x^8}$
【知识点】
平方差公式、整式混合运算、去括号法则
【点评】
本组题目侧重考查平方差公式的识别与应用，解题关键是准确判断公式中的相同项和相反项，混合运算时需注意运算顺序和去括号的符号规则，熟练掌握乘法公式能够简化运算，提升计算的准确率和效率。
【难度系数】
0.8
