例 如图，B,C两点把线段AD分成2:3:4的三部分，点E是线段AD的中点，EC=2 cm，求：
(1)AD的长；
(2)AB:BE.

解:(1)设AB=2x cm，则BC=3x cm，CD=4x cm.由线段的和差，得AD=AB+BC+CD=9x cm.由E为AD的中点，得ED=$\frac{1}{2}AD=\frac{9}{2}x$ cm.由线段的和差，得EC=ED-CD=$\frac{9}{2}x -4x=\frac{x}{2}=2$，解得x=4.则AD=9x=9×4=36(cm);
(2)由(1)可得AB=2x=2×4=8(cm)，BC=3x=3×4=12(cm).由线段的和差，得BE=BC-EC=12-2=10(cm).故AB:BE=8:10=4:5.

解：(1) 设$AB=2x\ \mathrm{cm}$，则$BC=3x\ \mathrm{cm}$，$CD=4x\ \mathrm{cm}$。
由线段的和差，得$AD=AB+BC+CD=9x\ \mathrm{cm}$。
因为点$E$是线段$AD$的中点，
所以$ED=\frac{1}{2}AD=\frac{9}{2}x\ \mathrm{cm}$。
由线段的和差，得$EC=ED-CD=\frac{9}{2}x - 4x=\frac{x}{2}$，
又$EC=2\ \mathrm{cm}$，因此$\frac{x}{2}=2$，解得$x=4$。
则$AD=9x=9×4=36\ \mathrm{cm}$。
(2) 由(1)可得：
$AB=2x=2×4=8\ \mathrm{cm}$，
$BC=3x=3×4=12\ \mathrm{cm}$，
由线段的和差，得$BE=BC-EC=12-2=10\ \mathrm{cm}$，
因此$AB:BE=8:10=4:5$。

【分析】
这是一道线段长度与比值计算的题目，解题思路如下：1. 题目给出AB、BC、CD的长度比为2:3:4，遇到比例关系可采用设参数的方法，设每一份为x，将三段线段分别用含x的式子表示，再通过线段和差表示出AD的总长度；2. 结合E是AD中点的条件，利用中点性质得到ED的长度表达式；3. 观察EC的构成，EC等于ED减去CD，已知EC=2cm，可据此列出关于x的方程，求解得到x的值后就能算出AD的长度；4. 第二问先算出AB、BE的长度，再化简比值即可。
【解析】
(1) 设$AB=2x\ \mathrm{cm}$，则$BC=3x\ \mathrm{cm}$，$CD=4x\ \mathrm{cm}$。
由线段的和差，得$AD=AB+BC+CD=9x\ \mathrm{cm}$。
因为点$E$是线段$AD$的中点，
所以$ED=\frac{1}{2}AD=\frac{9}{2}x\ \mathrm{cm}$。
由线段的和差，得$EC=ED-CD=\frac{9}{2}x - 4x=\frac{x}{2}$，
又$EC=2\ \mathrm{cm}$，因此$\frac{x}{2}=2$，解得$x=4$。
则$AD=9x=9×4=36\ \mathrm{cm}$。
(2) 由(1)可得：
$AB=2x=2×4=8\ \mathrm{cm}$，
$BC=3x=3×4=12\ \mathrm{cm}$，
由线段的和差，得$BE=BC-EC=12-2=10\ \mathrm{cm}$，
因此$AB:BE=8:10=4:5$。
【答案】
(1) $AD$的长为$\boldsymbol{36\ \mathrm{cm}}$；(2) $AB:BE=\boldsymbol{4:5}$
【知识点】
线段的和差计算、线段中点的性质、比例线段应用
【点评】
本题是线段计算的常规题型，核心方法是参数法，通过将比例关系转化为含参数的表达式，结合线段中点性质和已知线段长度建立方程求解，掌握该方法能高效解决同类型的线段长度、比值计算问题。
【难度系数】
0.7

1.如图，一支中性笔正好与一把直尺平靠放在一起，李明发现中性笔的笔尖端(A点)正好对着的刻度约为5.6 cm，另一端(B点)正好对着的刻度约为20.6 cm处，则中性笔的中点位置的刻度约为()


A.15 cm
B.7.5 cm
C.13.1 cm
D.12.1 cm

C

【分析】
要得到中性笔中点的刻度，首先可以先求出中性笔的总长度，再算出长度的一半，最后用A端的刻度加上一半的长度即可得到中点刻度；也可以直接利用数轴上两点中点对应的数值等于两点对应数值的平均数来计算。
【解析】
已知中性笔A端对应刻度为5.6 cm，B端对应刻度为20.6 cm。
方法1：先计算中性笔的总长度：$20.6 - 5.6 = 15\ \mathrm{cm}$
则中性笔长度的一半为：$15 ÷ 2 = 7.5\ \mathrm{cm}$
因此中点位置的刻度为A端刻度加上一半长度：$5.6 + 7.5 = 13.1\ \mathrm{cm}$
方法2：根据数轴上两点中点的计算方法，中点对应刻度为两端刻度的平均数：
$\frac{5.6 + 20.6}{2} = \frac{26.2}{2} = 13.1\ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
线段中点计算，有理数运算，刻度尺读数
【点评】
本题结合生活场景考查基础的线段计算，解题的关键是明确刻度尺上两点距离的计算方法以及中点的含义，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8

2.如图，AB=10，C，D分别是线段AB上的两点(CD＞AC，CD＞BD)，用圆规在线段CD上分别截取CE=AC，DF=BD.若点E与点F恰好重合，则CD的长为()


A.3
B.4
C.5
D.6

C

【分析】
解题时首先梳理线段的和差关系，结合题目给出的等线段条件和E、F重合的特点，找到CD与AB总长度的等量关系即可求解。第一步，先根据CE=AC、DF=BD，以及E、F重合，可推出CD的长度等于AC与BD的长度之和；第二步，将AB的总长度用CD表示，代入数值计算即可得到CD的长。
【解析】
解：由题意得：$CE=AC$，$DF=BD$，且点$E$与点$F$重合。
因此$CD = CE + DF = AC + BD$。
又因为线段$AB$的总长度为：$AB = AC + CD + BD$，
将$AC+BD=CD$代入上式可得：$AB = CD + CD = 2CD$。
已知$AB=10$，则$2CD=10$，解得$CD=5$。
【答案】
C
【知识点】
线段和差计算，等量代换
【点评】
本题属于基础的线段计算题型，核心是利用已知的等线段条件和点重合的特征，实现线段长度的转化，只要熟练掌握线段和差的表示方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.7

3.如图，B，C两点把线段AD分成$2:3:4$三部分，且$CD=20$.
(1)求线段AD的长；
(2)若点P是AD的中点，点Q是CD的中点，求线段PQ的长.

解：
(1) 设$AB=2x$，$BC=3x$，$CD=4x$，
由$CD=20$得：$4x=20$，
解得$x=5$，
$\therefore AD=AB+BC+CD=2x+3x+4x=9x=9×5=45$。
(2) $\because$ 点$P$是$AD$的中点，
$\therefore PD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×45=22.5$，
$\because$ 点$Q$是$CD$的中点，
$\therefore QD=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×20=10$，
$\therefore PQ=PD-QD=22.5-10=12.5$。
答：(1) 线段$AD$的长为45；(2) 线段$PQ$的长为12.5。

【分析】
(1) 题目给出线段AD被B、C分成2:3:4的三部分，遇到比例类的线段计算问题，我们通常设每一份的长度为x，将AB、BC、CD分别用含x的代数式表示，再结合已知CD=20的条件列方程求出x的值，最后将三段长度相加即可得到AD的总长。
(2) 遇到中点条件，可利用线段中点的性质，即中点分线段为两条相等的线段，分别求出PD、QD的长度，再观察线段的位置关系，可知PQ的长度等于PD减去QD，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 设$AB=2x$，$BC=3x$，$CD=4x$，
由$CD=20$得：$4x=20$，
解得$x=5$，
$\therefore AD=AB+BC+CD=2x+3x+4x=9x=9×5=45$。
(2) $\because$ 点$P$是$AD$的中点，
$\therefore PD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×45=22.5$，
$\because$ 点$Q$是$CD$的中点，
$\therefore QD=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×20=10$，
$\therefore PQ=PD-QD=22.5-10=12.5$。
【答案】
(1) 线段AD的长为45；(2) 线段PQ的长为12.5。
【知识点】
线段和差计算，线段中点性质，比例的应用
【点评】
本题是线段计算的常规题型，解题的核心是掌握比例线段的设元方法，以及线段中点的性质，能准确梳理各线段之间的数量和位置关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8