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11.如图,已知线段AB,a,b.
(1)请按下列要求尺规作图(不要求写作法,但要保留作图痕迹):
①延长线段AB到点C,使BC=a.
②反向延长线段AB到点D,使AD= b-a.
(2)在(1)的条件下,如果AB=8 cm,a=6 cm,b=10 cm,且点E为CD的中点,求线段AE的长度.
(1)请按下列要求尺规作图(不要求写作法,但要保留作图痕迹):
①延长线段AB到点C,使BC=a.
②反向延长线段AB到点D,使AD= b-a.
(2)在(1)的条件下,如果AB=8 cm,a=6 cm,b=10 cm,且点E为CD的中点,求线段AE的长度.
答案
解：
(1) 按要求作出图形，保留尺规作图痕迹即可。
(2) 由已知条件可得：
$AD = b - a = 10 - 6 = 4\ \mathrm{cm}$，
$BC = a = 6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CD = AD + AB + BC = 4 + 8 + 6 = 18\ \mathrm{cm}$。
∵ 点E为CD的中点，
$\therefore DE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} × 18 = 9\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AE = DE - AD = 9 - 4 = 5\ \mathrm{cm}$。
答：线段AE的长度为5 cm。
(1) 按要求作出图形，保留尺规作图痕迹即可。
(2) 由已知条件可得：
$AD = b - a = 10 - 6 = 4\ \mathrm{cm}$，
$BC = a = 6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CD = AD + AB + BC = 4 + 8 + 6 = 18\ \mathrm{cm}$。
∵ 点E为CD的中点，
$\therefore DE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} × 18 = 9\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AE = DE - AD = 9 - 4 = 5\ \mathrm{cm}$。
答：线段AE的长度为5 cm。
解析
【分析】
(1) 尺规作图思路：①作$BC=a$时，先用圆规量取线段$a$的长度，以点$B$为圆心、$a$的长度为半径，在$AB$的延长线上画弧，交点即为点$C$；②作$AD=b-a$时，先通过尺规得到长度为$b-a$的线段（先截出长度为$b$的线段，再从该线段上截去长度为$a$的部分，剩余长度即为$b-a$），再以$A$为圆心、该长度为半径，在$AB$的反向延长线上画弧，交点即为点$D$，全程保留作图痕迹即可。
(2) 计算$AE$长度的思路：首先根据已知$a、b$的数值算出$AD$的长度，结合点的顺序$D、A、B、C$共线，可知$CD$的总长为$AD、AB、BC$三段之和；再根据$E$是$CD$中点求出$DE$的长度，最后通过$AE=DE-AD$的关系代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 按要求作图，保留尺规作图痕迹即可。
(2) 由已知条件可得：
$AD = b - a = 10 - 6 = 4\ \mathrm{cm}$，
$BC = a = 6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CD = AD + AB + BC = 4 + 8 + 6 = 18\ \mathrm{cm}$。
∵ 点$E$为$CD$的中点，
$\therefore DE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} × 18 = 9\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AE = DE - AD = 9 - 4 = 5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 作图略（保留尺规作图痕迹即可）；
(2) $\boxed{5\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
尺规作图；线段的和差运算；线段中点的定义
【点评】
本题综合考查尺规作图和线段的基础计算，解题的关键是明确各点的位置顺序，理清各线段之间的数量关系，是线段知识的常规应用题型。
【难度系数】
0.7
(1) 尺规作图思路：①作$BC=a$时，先用圆规量取线段$a$的长度，以点$B$为圆心、$a$的长度为半径，在$AB$的延长线上画弧，交点即为点$C$；②作$AD=b-a$时，先通过尺规得到长度为$b-a$的线段（先截出长度为$b$的线段，再从该线段上截去长度为$a$的部分，剩余长度即为$b-a$），再以$A$为圆心、该长度为半径，在$AB$的反向延长线上画弧，交点即为点$D$，全程保留作图痕迹即可。
(2) 计算$AE$长度的思路：首先根据已知$a、b$的数值算出$AD$的长度，结合点的顺序$D、A、B、C$共线，可知$CD$的总长为$AD、AB、BC$三段之和；再根据$E$是$CD$中点求出$DE$的长度，最后通过$AE=DE-AD$的关系代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 按要求作图，保留尺规作图痕迹即可。
(2) 由已知条件可得：
$AD = b - a = 10 - 6 = 4\ \mathrm{cm}$，
$BC = a = 6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CD = AD + AB + BC = 4 + 8 + 6 = 18\ \mathrm{cm}$。
∵ 点$E$为$CD$的中点，
$\therefore DE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} × 18 = 9\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AE = DE - AD = 9 - 4 = 5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 作图略（保留尺规作图痕迹即可）；
(2) $\boxed{5\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
尺规作图；线段的和差运算；线段中点的定义
【点评】
本题综合考查尺规作图和线段的基础计算，解题的关键是明确各点的位置顺序，理清各线段之间的数量关系，是线段知识的常规应用题型。
【难度系数】
0.7
12.画线段$AB=1$厘米，延长$AB$至点$C$，使$AC=2AB$，反向延长$AB$至点$E$，使$AE=\frac{1}{3}CE$。
(1)求线段$CE$的长；
(2)线段$AC$是线段$CE$的几分之几？
(3)线段$CE$是线段$BC$的几倍？
(1)求线段$CE$的长；
(2)线段$AC$是线段$CE$的几分之几？
(3)线段$CE$是线段$BC$的几倍？
答案
解：
已知AB=1厘米，
∵ AC=2AB，
∴ AC=2×1=2厘米。
(1) 由题意可知，点E、A、C共线，因此CE=AE+AC。
又∵ AE=$\frac{1}{3}$CE，
∴ CE = $\frac{1}{3}$CE + 2，
整理得 $\frac{2}{3}$CE = 2，
解得 CE=3厘米。
(2) ∵ AC=2厘米，CE=3厘米，
∴ $\frac{AC}{CE}=\frac{2}{3}$，
即线段AC是线段CE的$\frac{2}{3}$。
(3) ∵ BC=AC-AB=2-1=1厘米，CE=3厘米，
∴ $\frac{CE}{BC}=\frac{3}{1}=3$，
即线段CE是线段BC的3倍。
答：(1) 线段CE的长为3厘米；(2) 线段AC是线段CE的三分之二；(3) 线段CE是线段BC的3倍。
已知AB=1厘米，
∵ AC=2AB，
∴ AC=2×1=2厘米。
(1) 由题意可知，点E、A、C共线，因此CE=AE+AC。
又∵ AE=$\frac{1}{3}$CE，
∴ CE = $\frac{1}{3}$CE + 2，
整理得 $\frac{2}{3}$CE = 2，
解得 CE=3厘米。
(2) ∵ AC=2厘米，CE=3厘米，
∴ $\frac{AC}{CE}=\frac{2}{3}$，
即线段AC是线段CE的$\frac{2}{3}$。
(3) ∵ BC=AC-AB=2-1=1厘米，CE=3厘米，
∴ $\frac{CE}{BC}=\frac{3}{1}=3$，
即线段CE是线段BC的3倍。
答：(1) 线段CE的长为3厘米；(2) 线段AC是线段CE的三分之二；(3) 线段CE是线段BC的3倍。
解析
【分析】
解题时先从已知条件AB=1cm入手，先根据AC=2AB求出AC的长度。针对第(1)问，先明确E、A、B、C四点共线，反向延长AB到E后，CE的长度等于AE与AC的和，再结合AE=$\frac{1}{3}$CE的条件，把AE用CE表示后代入CE=AE+AC，列方程即可求出CE的长。第(2)问直接用AC的长度除以CE的长度，就能得到两者的比例关系。第(3)问先通过AC与AB的差算出BC的长度，再用CE的长度除以BC的长度，就能得到倍数关系。若线段关系混乱，可先画示意图标注各点位置，更易理清数量关系。
【解析】
已知AB=1厘米，
∵ AC=2AB，
∴ AC=2×1=2厘米。
(1) 由题意可知，点E、A、C共线，因此CE=AE+AC。
又
∵ AE=$\frac{1}{3}$CE，
∴ CE = $\frac{1}{3}$CE + 2，
整理得 $\frac{2}{3}$CE = 2，
解得 CE=3厘米。
(2)
∵ AC=2厘米，CE=3厘米，
∴ $\frac{AC}{CE}=\frac{2}{3}$，
即线段AC是线段CE的$\frac{2}{3}$。
(3)
∵ BC=AC-AB=2-1=1厘米，CE=3厘米，
∴ $\frac{CE}{BC}=\frac{3}{1}=3$，
即线段CE是线段BC的3倍。
【答案】
(1) 3厘米；
(2) $\frac{2}{3}$；
(3) 3倍
【知识点】
线段的和差计算、线段的倍分关系
【点评】
本题属于线段运算的常规题型，核心是根据线段的延长、反向延长明确各点的位置关系，结合已知的倍分条件建立线段长度的等量关系求解，解题时可通过绘制示意图直观呈现各线段的位置，降低理解难度。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件AB=1cm入手，先根据AC=2AB求出AC的长度。针对第(1)问，先明确E、A、B、C四点共线，反向延长AB到E后，CE的长度等于AE与AC的和，再结合AE=$\frac{1}{3}$CE的条件，把AE用CE表示后代入CE=AE+AC，列方程即可求出CE的长。第(2)问直接用AC的长度除以CE的长度，就能得到两者的比例关系。第(3)问先通过AC与AB的差算出BC的长度，再用CE的长度除以BC的长度，就能得到倍数关系。若线段关系混乱，可先画示意图标注各点位置，更易理清数量关系。
【解析】
已知AB=1厘米，
∵ AC=2AB，
∴ AC=2×1=2厘米。
(1) 由题意可知，点E、A、C共线，因此CE=AE+AC。
又
∵ AE=$\frac{1}{3}$CE，
∴ CE = $\frac{1}{3}$CE + 2，
整理得 $\frac{2}{3}$CE = 2，
解得 CE=3厘米。
(2)
∵ AC=2厘米，CE=3厘米，
∴ $\frac{AC}{CE}=\frac{2}{3}$，
即线段AC是线段CE的$\frac{2}{3}$。
(3)
∵ BC=AC-AB=2-1=1厘米，CE=3厘米，
∴ $\frac{CE}{BC}=\frac{3}{1}=3$，
即线段CE是线段BC的3倍。
【答案】
(1) 3厘米；
(2) $\frac{2}{3}$；
(3) 3倍
【知识点】
线段的和差计算、线段的倍分关系
【点评】
本题属于线段运算的常规题型，核心是根据线段的延长、反向延长明确各点的位置关系，结合已知的倍分条件建立线段长度的等量关系求解，解题时可通过绘制示意图直观呈现各线段的位置，降低理解难度。
【难度系数】
0.8
13.如图,一只蚂蚁要沿着正方体表面从点A爬到点B,画出它爬行的最短路径(下底面不可通行).
答案
解：
根据“两点之间，线段最短”，将点A所在的正面与可通行的相邻面（顶面或右侧竖直面）展开到同一平面内，连接A、B两点，所得线段与这两个相邻面的公共棱交于点P。
在原正方体表面上，依次画出线段AP、PB，则沿A→P→B的折线路径爬行，就是所求的最短路径。
根据“两点之间，线段最短”，将点A所在的正面与可通行的相邻面（顶面或右侧竖直面）展开到同一平面内，连接A、B两点，所得线段与这两个相邻面的公共棱交于点P。
在原正方体表面上，依次画出线段AP、PB，则沿A→P→B的折线路径爬行，就是所求的最短路径。
解析
【分析】
要找到正方体表面从A到B的最短路径，首先明确蚂蚁只能沿正方体表面爬行，不能穿过内部，因此不能直接连接空间内的A、B两点。我们已知“两点之间，线段最短”的结论只在同一平面内成立，所以需要把A、B所在的两个相邻可通行面展开到同一平面，将立体表面的路径问题转化为平面内的最短距离问题。由于题目规定下底面不可通行，我们可以选择将A所在的正面与顶面或右侧竖直面展开，展开后连接A、B得到的线段就是平面内的最短路径，对应回正方体表面的折线即为所求。
【解析】
1. 依据“两点之间，线段最短”的性质，要得到表面最短路径，需先将点A、B所在的相邻可通行面展开到同一平面；
2. 受下底面不可通行的限制，将点A所在的正面与相邻的顶面或右侧竖直面展开至同一平面，在该平面内连接A、B两点，所得线段与两个面的公共棱交于点P；
3. 在原正方体表面上，依次画出线段AP、PB，该折线路径就是最短爬行路径。
【答案】
根据“两点之间，线段最短”，将点A所在的正面与可通行的相邻面（顶面或右侧竖直面）展开到同一平面内，连接A、B两点，所得线段与这两个相邻面的公共棱交于点P。在原正方体表面上，依次画出线段AP、PB，则沿A→P→B的折线路径爬行，就是所求的最短路径。
【知识点】
两点之间线段最短；立体图形表面展开
【点评】
本题考查立体图形表面最短路径的求解，解题核心是将立体的表面路径问题转化为平面内的线段问题，解题时要注意题干给出的限制条件，避免展开不符合要求的面导致错误。
【难度系数】
0.7
要找到正方体表面从A到B的最短路径，首先明确蚂蚁只能沿正方体表面爬行，不能穿过内部，因此不能直接连接空间内的A、B两点。我们已知“两点之间，线段最短”的结论只在同一平面内成立，所以需要把A、B所在的两个相邻可通行面展开到同一平面，将立体表面的路径问题转化为平面内的最短距离问题。由于题目规定下底面不可通行，我们可以选择将A所在的正面与顶面或右侧竖直面展开，展开后连接A、B得到的线段就是平面内的最短路径，对应回正方体表面的折线即为所求。
【解析】
1. 依据“两点之间，线段最短”的性质，要得到表面最短路径，需先将点A、B所在的相邻可通行面展开到同一平面；
2. 受下底面不可通行的限制，将点A所在的正面与相邻的顶面或右侧竖直面展开至同一平面，在该平面内连接A、B两点，所得线段与两个面的公共棱交于点P；
3. 在原正方体表面上，依次画出线段AP、PB，该折线路径就是最短爬行路径。
【答案】
根据“两点之间，线段最短”，将点A所在的正面与可通行的相邻面（顶面或右侧竖直面）展开到同一平面内，连接A、B两点，所得线段与这两个相邻面的公共棱交于点P。在原正方体表面上，依次画出线段AP、PB，则沿A→P→B的折线路径爬行，就是所求的最短路径。
【知识点】
两点之间线段最短；立体图形表面展开
【点评】
本题考查立体图形表面最短路径的求解，解题核心是将立体的表面路径问题转化为平面内的线段问题，解题时要注意题干给出的限制条件，避免展开不符合要求的面导致错误。
【难度系数】
0.7
14.已知数轴上三点M,O,N对应的数分别为-1,0,3,点P为数轴上任意一点,其对应的数为x.
(1)MN的长为;
(2)当点P至点M、点N的距离相等时,求x的值;
(3)数轴上是否存在点P,使点P到点M、点N的距离之和是8?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.
(1)MN的长为;
(2)当点P至点M、点N的距离相等时,求x的值;
(3)数轴上是否存在点P,使点P到点M、点N的距离之和是8?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.
答案
解：
(1) 4
(2) 根据题意，点P到点M、点N的距离相等，可得
$x - (-1) = 3 - x$
解得 $x=1$
(3) 存在。
分两种情况讨论：
① 当点P在点M左侧，即$x ＜ -1$时，
点P到M的距离为$-1 - x$，到N的距离为$3 - x$，
由距离之和为8得：$(-1 - x) + (3 - x) = 8$
解得 $x=-3$
② 当点P在点N右侧，即$x ＞ 3$时，
点P到M的距离为$x - (-1) = x + 1$，到N的距离为$x - 3$，
由距离之和为8得：$(x + 1) + (x - 3) = 8$
解得 $x=5$
当点P在M、N两点之间时，点P到M、N的距离之和为$MN=4$，不可能等于8。
综上，存在符合条件的点P，$x$的值为$-3$或$5$。
(1) 4
(2) 根据题意，点P到点M、点N的距离相等，可得
$x - (-1) = 3 - x$
解得 $x=1$
(3) 存在。
分两种情况讨论：
① 当点P在点M左侧，即$x ＜ -1$时，
点P到M的距离为$-1 - x$，到N的距离为$3 - x$，
由距离之和为8得：$(-1 - x) + (3 - x) = 8$
解得 $x=-3$
② 当点P在点N右侧，即$x ＞ 3$时，
点P到M的距离为$x - (-1) = x + 1$，到N的距离为$x - 3$，
由距离之和为8得：$(x + 1) + (x - 3) = 8$
解得 $x=5$
当点P在M、N两点之间时，点P到M、N的距离之和为$MN=4$，不可能等于8。
综上，存在符合条件的点P，$x$的值为$-3$或$5$。
解析
【分析】
(1) 求数轴上两点的长度，可直接用右侧点对应的数减去左侧点对应的数，用N对应的数3减去M对应的数-1即可算出MN的长。
(2) 点P到M、N距离相等，说明P是线段MN的中点，此时P到M的距离等于P到N的距离，结合数轴上两点距离的表示方法列出关于x的一元一次方程，求解即可得到x的值。
(3) 先判断点P的可能位置：已知M和N之间的距离为4，小于8，因此P不可能在M、N之间，仅可能在M的左侧或N的右侧，分这两种情况分别表示出P到M、P到N的距离，再根据距离和为8列方程求解，最后验证结果是否符合所在区间即可。
【解析】
(1) 数轴上两点的距离为右侧数减左侧数，因此MN的长为 $3 - (-1) = 4$。
(2) 根据题意，点P到点M、点N的距离相等，列方程得：
$x - (-1) = 3 - x$
移项合并得 $2x = 2$，
解得 $x=1$。
(3) 存在，理由如下：
当点P在M、N两点之间时，点P到M、N的距离之和等于MN的长4，不可能等于8，因此分两种情况讨论：
① 当点P在点M左侧，即$x ＜ -1$时，
点P到M的距离为$-1 - x$，到N的距离为$3 - x$，
由距离之和为8得：$(-1 - x) + (3 - x) = 8$
化简得$2-2x=8$，解得 $x=-3$，符合$x＜-1$的条件。
② 当点P在点N右侧，即$x ＞ 3$时，
点P到M的距离为$x - (-1) = x + 1$，到N的距离为$x - 3$，
由距离之和为8得：$(x + 1) + (x - 3) = 8$
化简得$2x-2=8$，解得 $x=5$，符合$x＞3$的条件。
综上，存在符合条件的点P。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{x=1}$；(3) 存在，$x$的值为$\boldsymbol{-3}$或$\boldsymbol{5}$
【知识点】
数轴两点距离，一元一次方程应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合数轴距离计算和一元一次方程考察应用能力，解题核心是根据点的位置正确表示两点间的距离，分类讨论时要覆盖所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
(1) 求数轴上两点的长度，可直接用右侧点对应的数减去左侧点对应的数，用N对应的数3减去M对应的数-1即可算出MN的长。
(2) 点P到M、N距离相等，说明P是线段MN的中点，此时P到M的距离等于P到N的距离，结合数轴上两点距离的表示方法列出关于x的一元一次方程，求解即可得到x的值。
(3) 先判断点P的可能位置：已知M和N之间的距离为4，小于8，因此P不可能在M、N之间，仅可能在M的左侧或N的右侧，分这两种情况分别表示出P到M、P到N的距离，再根据距离和为8列方程求解，最后验证结果是否符合所在区间即可。
【解析】
(1) 数轴上两点的距离为右侧数减左侧数，因此MN的长为 $3 - (-1) = 4$。
(2) 根据题意，点P到点M、点N的距离相等，列方程得：
$x - (-1) = 3 - x$
移项合并得 $2x = 2$，
解得 $x=1$。
(3) 存在，理由如下：
当点P在M、N两点之间时，点P到M、N的距离之和等于MN的长4，不可能等于8，因此分两种情况讨论：
① 当点P在点M左侧，即$x ＜ -1$时，
点P到M的距离为$-1 - x$，到N的距离为$3 - x$，
由距离之和为8得：$(-1 - x) + (3 - x) = 8$
化简得$2-2x=8$，解得 $x=-3$，符合$x＜-1$的条件。
② 当点P在点N右侧，即$x ＞ 3$时，
点P到M的距离为$x - (-1) = x + 1$，到N的距离为$x - 3$，
由距离之和为8得：$(x + 1) + (x - 3) = 8$
化简得$2x-2=8$，解得 $x=5$，符合$x＞3$的条件。
综上，存在符合条件的点P。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{x=1}$；(3) 存在，$x$的值为$\boldsymbol{-3}$或$\boldsymbol{5}$
【知识点】
数轴两点距离，一元一次方程应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合数轴距离计算和一元一次方程考察应用能力，解题核心是根据点的位置正确表示两点间的距离，分类讨论时要覆盖所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
