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四、计算题
21. 质量为0.05 g的一滴雨滴匀速下落，速度为7 m/s，匀速下落距离为700 m，g取9.8 N/kg，假设雨滴在下落过程中质量保持不变。
（1）求这段匀速下落过程中重力对雨滴所做的功。
（2）求这段匀速下落过程中重力的功率。
（3）已知$c_{水}=4.2×10^{3}\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}·°\mathrm{C})$，匀速下落过程中雨滴克服阻力所做功的42%转化为雨滴的内能，求这部分内能使雨滴的温度升高多少？
21. 质量为0.05 g的一滴雨滴匀速下落，速度为7 m/s，匀速下落距离为700 m，g取9.8 N/kg，假设雨滴在下落过程中质量保持不变。
（1）求这段匀速下落过程中重力对雨滴所做的功。
（2）求这段匀速下落过程中重力的功率。
（3）已知$c_{水}=4.2×10^{3}\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}·°\mathrm{C})$，匀速下落过程中雨滴克服阻力所做功的42%转化为雨滴的内能，求这部分内能使雨滴的温度升高多少？
答案
21. （1）重力做功：$G=mg=0.05×10^{-3}\ \mathrm{kg}×9.8\ \mathrm{N/kg}=4.9×10^{-4}\ \mathrm{N}$，$W=Gh=4.9×10^{-4}\ \mathrm{N}×700\ \mathrm{m}=0.343\ \mathrm{J}$
（2）下落过程中重力的功率：$P=\frac{W}{t}=\frac{Gh}{t}=Gv=4.9×10^{-4}\ \mathrm{N}×7\ \mathrm{m/s}=3.43×10^{-3}\ \mathrm{W}$
（3）$Q_{吸}=W×42\%=0.343\ \mathrm{J}×42\%=0.14406\ \mathrm{J}$，$\Delta t=\frac{Q_{吸}}{cm}=\frac{0.14406\ \mathrm{J}}{4.2×10^3\ \mathrm{J/(kg·℃)}×0.05×10^{-3}\ \mathrm{kg}}=0.686℃$
（2）下落过程中重力的功率：$P=\frac{W}{t}=\frac{Gh}{t}=Gv=4.9×10^{-4}\ \mathrm{N}×7\ \mathrm{m/s}=3.43×10^{-3}\ \mathrm{W}$
（3）$Q_{吸}=W×42\%=0.343\ \mathrm{J}×42\%=0.14406\ \mathrm{J}$，$\Delta t=\frac{Q_{吸}}{cm}=\frac{0.14406\ \mathrm{J}}{4.2×10^3\ \mathrm{J/(kg·℃)}×0.05×10^{-3}\ \mathrm{kg}}=0.686℃$
解析
【分析】
要解决这道题，需分三步处理三个小问题：
1. 求重力做功：先计算雨滴的重力（利用公式$G=mg$），再用功的公式$W=Gh$计算重力做功，注意质量单位需从$g$转换为$kg$；
2. 求重力的功率：匀速下落时，重力的功率可利用公式$P=Gv$（匀速运动时，功率$P=Fv$，此处$F$等于重力$G$），比用$P=\frac{W}{t}$更简便；
3. 求温度升高值：匀速下落时，克服阻力做功等于重力做的功，转化的内能$Q_{吸}=W×42\%$，再根据热量公式$Q_{吸}=c_{水}mΔt$变形得$Δt=\frac{Q_{吸}}{c_{水}m}$，计算时需保证各物理量单位统一。
【解析】
（1）计算重力做功：
雨滴质量$m=0.05\ \mathrm{g}=0.05×10^{-3}\ \mathrm{kg}=5×10^{-5}\ \mathrm{kg}$，
重力$G=mg=5×10^{-5}\ \mathrm{kg}×9.8\ \mathrm{N/kg}=4.9×10^{-4}\ \mathrm{N}$，
重力做功$W=Gh=4.9×10^{-4}\ \mathrm{N}×700\ \mathrm{m}=0.343\ \mathrm{J}$；
（2）计算重力的功率：
匀速下落时，功率$P=Gv=4.9×10^{-4}\ \mathrm{N}×7\ \mathrm{m/s}=3.43×10^{-3}\ \mathrm{W}$；
（3）计算温度升高值：
转化的内能$Q_{吸}=W×42\%=0.343\ \mathrm{J}×0.42=0.14406\ \mathrm{J}$，
温度升高值$Δt=\frac{Q_{吸}}{c_{水}m}=\frac{0.14406\ \mathrm{J}}{4.2×10^3\ \mathrm{J/(kg·℃)}×5×10^{-5}\ \mathrm{kg}}=0.686\ \mathrm{℃}$；
【答案】
（1）$0.343\ \mathrm{J}$；（2）$3.43×10^{-3}\ \mathrm{W}$；（3）$0.686\ \mathrm{℃}$
【知识点】
功的计算、功率的计算、热量的计算
【点评】
本题是力学与热学结合的基础计算题，主要考查功、功率、热量公式的应用，解题关键是正确进行单位换算和公式的灵活选择，难度适中，大部分学生可完成解答。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需分三步处理三个小问题：
1. 求重力做功：先计算雨滴的重力（利用公式$G=mg$），再用功的公式$W=Gh$计算重力做功，注意质量单位需从$g$转换为$kg$；
2. 求重力的功率：匀速下落时，重力的功率可利用公式$P=Gv$（匀速运动时，功率$P=Fv$，此处$F$等于重力$G$），比用$P=\frac{W}{t}$更简便；
3. 求温度升高值：匀速下落时，克服阻力做功等于重力做的功，转化的内能$Q_{吸}=W×42\%$，再根据热量公式$Q_{吸}=c_{水}mΔt$变形得$Δt=\frac{Q_{吸}}{c_{水}m}$，计算时需保证各物理量单位统一。
【解析】
（1）计算重力做功：
雨滴质量$m=0.05\ \mathrm{g}=0.05×10^{-3}\ \mathrm{kg}=5×10^{-5}\ \mathrm{kg}$，
重力$G=mg=5×10^{-5}\ \mathrm{kg}×9.8\ \mathrm{N/kg}=4.9×10^{-4}\ \mathrm{N}$，
重力做功$W=Gh=4.9×10^{-4}\ \mathrm{N}×700\ \mathrm{m}=0.343\ \mathrm{J}$；
（2）计算重力的功率：
匀速下落时，功率$P=Gv=4.9×10^{-4}\ \mathrm{N}×7\ \mathrm{m/s}=3.43×10^{-3}\ \mathrm{W}$；
（3）计算温度升高值：
转化的内能$Q_{吸}=W×42\%=0.343\ \mathrm{J}×0.42=0.14406\ \mathrm{J}$，
温度升高值$Δt=\frac{Q_{吸}}{c_{水}m}=\frac{0.14406\ \mathrm{J}}{4.2×10^3\ \mathrm{J/(kg·℃)}×5×10^{-5}\ \mathrm{kg}}=0.686\ \mathrm{℃}$；
【答案】
（1）$0.343\ \mathrm{J}$；（2）$3.43×10^{-3}\ \mathrm{W}$；（3）$0.686\ \mathrm{℃}$
【知识点】
功的计算、功率的计算、热量的计算
【点评】
本题是力学与热学结合的基础计算题，主要考查功、功率、热量公式的应用，解题关键是正确进行单位换算和公式的灵活选择，难度适中，大部分学生可完成解答。
【难度系数】
0.6
22. 小亮家新买了一辆汽车，具有后视镜加热功能，如图13(a)所示。通过观察和研究，他了解到该功能有“高温”“低温”和“关”三个挡位，根据气温、雨水和雨刮器使用情况自动切换，“高温”挡功率为36 W，“低温”挡功率为24 W。电路简图如图13(b)所示，电源电压为24 V，S为挡位切换开关。$R_1$和$R_2$为电热丝。通过计算回答：
（1）当处于“高温”挡加热时，工作10 min产生的热量是多少焦？
（2）电热丝$R_1$和$R_2$的阻值是多少？
（3）当处于“低温”挡加热时，电热丝$R_1$的电功率是多少？
（1）当处于“高温”挡加热时，工作10 min产生的热量是多少焦？
（2）电热丝$R_1$和$R_2$的阻值是多少？
（3）当处于“低温”挡加热时，电热丝$R_1$的电功率是多少？
答案
22. （1）$Q_1=W_1=P_{高温}t=36\ \mathrm{W}×10×60\ \mathrm{s}=2.16×10^4\ \mathrm{J}$
（2）$R_1=\frac{U^2}{P_{高温}}=\frac{(24\ \mathrm{V})^2}{36\ \mathrm{W}}=16\ \Omega$，开关和1接触时，$R_1$、$R_2$串联，电路的总电阻最大，由$P=\frac{U^2}{R}$可知电路的总功率最小，处于低温挡，总电阻$R=\frac{U^2}{P_{低温}}=\frac{(24\ \mathrm{V})^2}{24\ \mathrm{W}}=24\ \Omega$，$R_2=R-R_1=24\ \Omega-16\ \Omega=8\ \Omega$
（3）低温挡加热时电路中的电流$I=\frac{P_{低温}}{U}=\frac{24\ \mathrm{W}}{24\ \mathrm{V}}=1\ \mathrm{A}$，当处于“低温”挡加热时，电热丝$R_1$的电功率$P_1=I^2R_1=(1\ \mathrm{A})^2×16\ \Omega=16\ \mathrm{W}$
（2）$R_1=\frac{U^2}{P_{高温}}=\frac{(24\ \mathrm{V})^2}{36\ \mathrm{W}}=16\ \Omega$，开关和1接触时，$R_1$、$R_2$串联，电路的总电阻最大，由$P=\frac{U^2}{R}$可知电路的总功率最小，处于低温挡，总电阻$R=\frac{U^2}{P_{低温}}=\frac{(24\ \mathrm{V})^2}{24\ \mathrm{W}}=24\ \Omega$，$R_2=R-R_1=24\ \Omega-16\ \Omega=8\ \Omega$
（3）低温挡加热时电路中的电流$I=\frac{P_{低温}}{U}=\frac{24\ \mathrm{W}}{24\ \mathrm{V}}=1\ \mathrm{A}$，当处于“低温”挡加热时，电热丝$R_1$的电功率$P_1=I^2R_1=(1\ \mathrm{A})^2×16\ \Omega=16\ \mathrm{W}$
解析
【分析】
首先分析电路挡位：开关S接“2”时，只有R₁接入电路，电阻较小，根据公式P=U²/R，电源电压不变时，电阻越小功率越大，对应“高温”挡；开关S接“1”时，R₁与R₂串联，总电阻较大，功率较小，对应“低温”挡；“关”挡为电路断开。解题时，先利用高温挡的功率和电压计算R₁，再结合低温挡功率计算总电阻，进而求出R₂；低温挡时先算电路电流，再求R₁的电功率；纯电阻电路中，热量等于消耗的电能。
【解析】
（1）“高温”挡时，电路为R₁的简单电路，纯电阻电路产生的热量等于消耗的电能，根据Q=W=P高温t：
t=10min=10×60s=600s，
Q=W=36W×600s=2.16×10⁴J。
（2）“高温”挡时，只有R₁工作，由P=U²/R得：
R₁=U²/P高温=(24V)²/36W=16Ω；
“低温”挡时，R₁与R₂串联，总功率P低温=24W，总电阻R总=U²/P低温=(24V)²/24W=24Ω，
则R₂=R总-R₁=24Ω-16Ω=8Ω。
（3）“低温”挡时，串联电路的电流I=P低温/U=24W/24V=1A，
电热丝R₁的电功率P₁=I²R₁=(1A)²×16Ω=16W。
【答案】
（1）2.16×10⁴ J；（2）R₁=16 Ω，R₂=8 Ω；（3）16 W
【知识点】
电功率计算、电热计算、串联电路电阻特点
【点评】
本题结合汽车后视镜加热的实际场景，考查电功率与电热的综合计算，关键是正确判断不同挡位对应的电路连接方式，熟练运用电功率公式及串联电路特点即可解题，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.6
首先分析电路挡位：开关S接“2”时，只有R₁接入电路，电阻较小，根据公式P=U²/R，电源电压不变时，电阻越小功率越大，对应“高温”挡；开关S接“1”时，R₁与R₂串联，总电阻较大，功率较小，对应“低温”挡；“关”挡为电路断开。解题时，先利用高温挡的功率和电压计算R₁，再结合低温挡功率计算总电阻，进而求出R₂；低温挡时先算电路电流，再求R₁的电功率；纯电阻电路中，热量等于消耗的电能。
【解析】
（1）“高温”挡时，电路为R₁的简单电路，纯电阻电路产生的热量等于消耗的电能，根据Q=W=P高温t：
t=10min=10×60s=600s，
Q=W=36W×600s=2.16×10⁴J。
（2）“高温”挡时，只有R₁工作，由P=U²/R得：
R₁=U²/P高温=(24V)²/36W=16Ω；
“低温”挡时，R₁与R₂串联，总功率P低温=24W，总电阻R总=U²/P低温=(24V)²/24W=24Ω，
则R₂=R总-R₁=24Ω-16Ω=8Ω。
（3）“低温”挡时，串联电路的电流I=P低温/U=24W/24V=1A，
电热丝R₁的电功率P₁=I²R₁=(1A)²×16Ω=16W。
【答案】
（1）2.16×10⁴ J；（2）R₁=16 Ω，R₂=8 Ω；（3）16 W
【知识点】
电功率计算、电热计算、串联电路电阻特点
【点评】
本题结合汽车后视镜加热的实际场景，考查电功率与电热的综合计算，关键是正确判断不同挡位对应的电路连接方式，熟练运用电功率公式及串联电路特点即可解题，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.6
