登录
1.要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆的圆心应是三角形 （
A.三边高线的交点
B.三个角的平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三边中线的交点
B
）A.三边高线的交点
B.三个角的平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三边中线的交点
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确三角形内面积最大的圆是三角形的内切圆，该圆需与三角形三边均相切才能保证不超出三角形边界且面积最大。内切圆的圆心需要满足到三角形三边的距离相等，结合角平分线的性质，即可判断圆心的来源，同时逐一辨析各选项对应的交点性质即可得出答案。
【解析】
三角形中能截出的面积最大的圆是三角形的内切圆，该圆与三角形三边都相切，因此圆心到三角形三边的距离相等。
对各选项逐一分析：
A. 三边高线的交点是三角形的垂心，不满足到三边距离相等的要求，故A错误；
B. 角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三个角的平分线的交点到三角形三边的距离均相等，是内切圆的圆心，故B正确；
C. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，是外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等，不满足要求，故C错误；
D. 三边中线的交点是三角形的重心，重心的性质是到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不满足要求，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
三角形内切圆；角平分线的性质；三角形四心概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分三角形不同特殊线段交点的性质，只要熟练掌握内心、外心、重心、垂心的定义和性质，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确三角形内面积最大的圆是三角形的内切圆，该圆需与三角形三边均相切才能保证不超出三角形边界且面积最大。内切圆的圆心需要满足到三角形三边的距离相等，结合角平分线的性质，即可判断圆心的来源，同时逐一辨析各选项对应的交点性质即可得出答案。
【解析】
三角形中能截出的面积最大的圆是三角形的内切圆，该圆与三角形三边都相切，因此圆心到三角形三边的距离相等。
对各选项逐一分析：
A. 三边高线的交点是三角形的垂心，不满足到三边距离相等的要求，故A错误；
B. 角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三个角的平分线的交点到三角形三边的距离均相等，是内切圆的圆心，故B正确；
C. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，是外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等，不满足要求，故C错误；
D. 三边中线的交点是三角形的重心，重心的性质是到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不满足要求，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
三角形内切圆；角平分线的性质；三角形四心概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分三角形不同特殊线段交点的性质，只要熟练掌握内心、外心、重心、垂心的定义和性质，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
2.(2025·宿迁泗阳县期中)如图,圆与正方形的四条边都相切,则该图的对称轴有 (
A.2条
B.4条
C.5条
D.无数条
B
)A.2条
B.4条
C.5条
D.无数条
答案
2.B
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆轴对称图形和对称轴的定义，明确判断组合图形对称轴的核心是：沿直线对折后，组合图形的两部分要完全重合。第一步先分析组成该图形的两个基本图形：正方形和内切圆的对称轴；第二步找出同时是正方形和圆的对称轴的直线，这些直线就是该组合图形的对称轴。
【解析】
根据对称轴的定义：沿某条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这条直线就是图形的对称轴。
该图形是正方形与其内切圆组成的组合图形：
1. 正方形本身有4条对称轴：分别是两组对边中点所在的直线、两条对角线所在的直线；
2. 这4条直线都经过内切圆的圆心，因此也都是圆的对称轴；
沿这4条直线对折时，整个组合图形的两部分都能完全重合，因此该图形共有4条对称轴。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
对称轴的判断；正方形的性质；圆的对称性
【点评】
本题考查组合图形对称轴的计数，解题时要注意：组合图形的对称轴必须是所有组成部分公共的对称轴，不能仅参考单个图形的对称轴数量，属于基础题型，核心是对轴对称概念的理解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先回忆轴对称图形和对称轴的定义，明确判断组合图形对称轴的核心是：沿直线对折后，组合图形的两部分要完全重合。第一步先分析组成该图形的两个基本图形：正方形和内切圆的对称轴；第二步找出同时是正方形和圆的对称轴的直线，这些直线就是该组合图形的对称轴。
【解析】
根据对称轴的定义：沿某条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这条直线就是图形的对称轴。
该图形是正方形与其内切圆组成的组合图形：
1. 正方形本身有4条对称轴：分别是两组对边中点所在的直线、两条对角线所在的直线；
2. 这4条直线都经过内切圆的圆心，因此也都是圆的对称轴；
沿这4条直线对折时，整个组合图形的两部分都能完全重合，因此该图形共有4条对称轴。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
对称轴的判断；正方形的性质；圆的对称性
【点评】
本题考查组合图形对称轴的计数，解题时要注意：组合图形的对称轴必须是所有组成部分公共的对称轴，不能仅参考单个图形的对称轴数量，属于基础题型，核心是对轴对称概念的理解。
【难度系数】
0.8
3.如图，$\odot O$是等边三角形ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，若P是$\overset{\frown}{DF}$上一点，则$∠ EPF$的度数是
60°
。答案
3.60°
解析
【分析】
要求圆周角∠EPF的度数，可依据圆周角定理，先求出它所对弧对应的圆心角度数。首先连接切点与圆心OE、OF，利用切线的性质可得OE与AB垂直、OF与BC垂直；再结合等边三角形的内角为60°，通过四边形内角和求出圆心角∠EOF的度数；最后根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，即可算出∠EPF的度数。
【解析】
连接OE、OF。
∵ ⊙O是等边△ABC的内切圆，E、F分别是AB、BC边上的切点，
∴ OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB=∠OFB=90°。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠B=60°。
在四边形OEBF中，内角和为360°，
∴ ∠EOF=360°-∠OEB-∠OFB-∠B=360°-90°-90°-60°=120°。
∵ ∠EPF是$\overset{\frown}{EF}$所对的圆周角，∠EOF是$\overset{\frown}{EF}$所对的圆心角，
∴ ∠EPF=$\frac{1}{2}$∠EOF=$\frac{1}{2}$×120°=60°。
【答案】
60°
【知识点】
切线的性质、等边三角形的性质、圆周角定理
【点评】
本题是与三角形内切圆相关的角度计算问题，解题的关键是连接切点与圆心构造出圆心角，结合几何图形的性质逐步推导，属于基础类题型，需要熟练掌握切线性质和圆周角定理的应用。
【难度系数】
0.7
要求圆周角∠EPF的度数，可依据圆周角定理，先求出它所对弧对应的圆心角度数。首先连接切点与圆心OE、OF，利用切线的性质可得OE与AB垂直、OF与BC垂直；再结合等边三角形的内角为60°，通过四边形内角和求出圆心角∠EOF的度数；最后根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，即可算出∠EPF的度数。
【解析】
连接OE、OF。
∵ ⊙O是等边△ABC的内切圆，E、F分别是AB、BC边上的切点，
∴ OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB=∠OFB=90°。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠B=60°。
在四边形OEBF中，内角和为360°，
∴ ∠EOF=360°-∠OEB-∠OFB-∠B=360°-90°-90°-60°=120°。
∵ ∠EPF是$\overset{\frown}{EF}$所对的圆周角，∠EOF是$\overset{\frown}{EF}$所对的圆心角，
∴ ∠EPF=$\frac{1}{2}$∠EOF=$\frac{1}{2}$×120°=60°。
【答案】
60°
【知识点】
切线的性质、等边三角形的性质、圆周角定理
【点评】
本题是与三角形内切圆相关的角度计算问题，解题的关键是连接切点与圆心构造出圆心角，结合几何图形的性质逐步推导，属于基础类题型，需要熟练掌握切线性质和圆周角定理的应用。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$\odot O$是$△ ABC$的内切圆,切点分别为D,E,F.
(1)求证:四边形OECF是正方形;
(2)若$AC=6$,$BC=8$,求$\odot O$的半径.
(1)求证:四边形OECF是正方形;
(2)若$AC=6$,$BC=8$,求$\odot O$的半径.
答案
4.(1)证明:
∵E,F是切点,
∴OE⊥BC,OF⊥AC,
∴∠OFC=∠OEC=∠C=90°,
∴四边形OECF是矩形.
∵OE=OF,
∴四边形OECF是正方形.
(2)解:设⊙O的半径是r cm,如答图所示,
连接OD,OA,OB,OC.
∵⊙O为△ABC的内切圆,切点分别是D,E,F,
∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,OD=OE=OF=r.
∵AC=6,BC=8,
∴由勾股定理,得AB=10.
∵S△ACB=S△OAC+S△OBC+S△OAB,
∴$\frac{1}{2} AC·BC=\frac{1}{2} AC·r+\frac{1}{2} BC·r+\frac{1}{2} AB·r$,
即$\frac{1}{2} ×6×8=\frac{1}{2} ×6r+\frac{1}{2} ×8r+\frac{1}{2} ×10r$,解得r=2,
即⊙O的半径是2.
解析
【分析】
（1）要证明四边形OECF是正方形，首先结合切线的性质可得OE垂直BC、OF垂直AC，结合已知∠C是直角，可先证明四边形OECF是矩形；再根据内切圆的半径相等，得到OE=OF，根据“一组邻边相等的矩形是正方形”即可完成证明。
（2）求解内切圆半径时，首先利用勾股定理计算出Rt△ABC的斜边AB的长度；再根据内切圆的性质，圆心到三边的距离都等于半径r，将大三角形的面积拆分为三个分别以三角形三边为底、r为高的小三角形的面积之和，代入数值列方程求解即可得到半径。
【解析】
(1) 证明：
∵E，F是⊙O的切点，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∴∠OFC=∠OEC=∠C=90°，
∴四边形OECF是矩形。
∵OE、OF均为⊙O的半径，即OE=OF，
∴四边形OECF是正方形。
(2) 解：设⊙O的半径是r，如答图所示，连接OD，OA，OB，OC。
∵⊙O为△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，OD=OE=OF=r。
∵AC=6，BC=8，∠C=90°，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵$S_{△ ACB}=S_{△ OAC}+S_{△ OBC}+S_{△ OAB}$，
∴$\frac{1}{2} AC·BC=\frac{1}{2} AC·r+\frac{1}{2} BC·r+\frac{1}{2} AB·r$，
代入数值得：$\frac{1}{2} ×6×8=\frac{1}{2} ×6r+\frac{1}{2} ×8r+\frac{1}{2} ×10r$，
化简计算得：24=12r，解得r=2。
【答案】
(1) 四边形OECF是正方形，证明成立；
(2) ⊙O的半径是2。
【知识点】
正方形的判定、三角形内切圆性质、勾股定理
【点评】
本题是三角形内切圆的基础典型题，第一问考查切线性质和正方形的判定方法，第二问用到的面积法是求解三角形内切圆半径的常用思路，整体解题逻辑清晰，掌握基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）要证明四边形OECF是正方形，首先结合切线的性质可得OE垂直BC、OF垂直AC，结合已知∠C是直角，可先证明四边形OECF是矩形；再根据内切圆的半径相等，得到OE=OF，根据“一组邻边相等的矩形是正方形”即可完成证明。
（2）求解内切圆半径时，首先利用勾股定理计算出Rt△ABC的斜边AB的长度；再根据内切圆的性质，圆心到三边的距离都等于半径r，将大三角形的面积拆分为三个分别以三角形三边为底、r为高的小三角形的面积之和，代入数值列方程求解即可得到半径。
【解析】
(1) 证明：
∵E，F是⊙O的切点，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∴∠OFC=∠OEC=∠C=90°，
∴四边形OECF是矩形。
∵OE、OF均为⊙O的半径，即OE=OF，
∴四边形OECF是正方形。
(2) 解：设⊙O的半径是r，如答图所示，连接OD，OA，OB，OC。
∵⊙O为△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，OD=OE=OF=r。
∵AC=6，BC=8，∠C=90°，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵$S_{△ ACB}=S_{△ OAC}+S_{△ OBC}+S_{△ OAB}$，
∴$\frac{1}{2} AC·BC=\frac{1}{2} AC·r+\frac{1}{2} BC·r+\frac{1}{2} AB·r$，
代入数值得：$\frac{1}{2} ×6×8=\frac{1}{2} ×6r+\frac{1}{2} ×8r+\frac{1}{2} ×10r$，
化简计算得：24=12r，解得r=2。
【答案】
(1) 四边形OECF是正方形，证明成立；
(2) ⊙O的半径是2。
【知识点】
正方形的判定、三角形内切圆性质、勾股定理
【点评】
本题是三角形内切圆的基础典型题，第一问考查切线性质和正方形的判定方法，第二问用到的面积法是求解三角形内切圆半径的常用思路，整体解题逻辑清晰，掌握基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
5.(2025·宿迁宿城区期中)如图,在一张$Rt△ ABC$纸片中,$∠ ACB=90°$,$BC=3$,$AC=4$,$\odot O$是它的内切圆.小明用剪刀沿着$\odot O$的切线剪下一块三角形$ADE$,则$△ ADE$的周长为 （
A.5
B.6
C.7
D.8
B
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
5.B
解析
【分析】
解题思路如下：①先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度；②根据切线长定理，设出内切圆与三角形三边的切线长，通过列方程求出内切圆在AB、AC边上的切线长AM、AN的长度；③观察△ADE的三边：AD在AB上，AE在AC上，DE是⊙O的切线，再次利用切线长定理，把△ADE的周长转化为AM与AN的和，即可计算出结果。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$BC=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
设$\odot O$与$AB$边切于点$M$，与$AC$边切于点$N$，与$BC$边切于点$H$，根据切线长定理，设$BM=BH=x$，$CN=CH=y$，$AM=AN=z$，可得方程组：
$\begin{cases}x+z=AB=5 \\x+y=BC=3 \\y+z=AC=4\end{cases}$
三式相加得$2(x+y+z)=12$，即$x+y+z=6$，因此$z=6-(x+y)=6-3=3$，即$AM=AN=3$。
∵$DE$是$\odot O$的切线，设切点为$F$，根据切线长定理可得$DF=DM$，$EF=EN$。
∴$△ADE$的周长$=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF$
$=(AD+DM)+(AE+EN)=AM+AN=3+3=6$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，切线长定理，三角形内切圆
【点评】
本题是三角形内切圆的典型考题，解题的核心是灵活运用切线长定理进行线段的等量转化，将未知三角形的周长转化为已知切线长的和，无需额外计算即可快速得到结果。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：①先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度；②根据切线长定理，设出内切圆与三角形三边的切线长，通过列方程求出内切圆在AB、AC边上的切线长AM、AN的长度；③观察△ADE的三边：AD在AB上，AE在AC上，DE是⊙O的切线，再次利用切线长定理，把△ADE的周长转化为AM与AN的和，即可计算出结果。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$BC=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
设$\odot O$与$AB$边切于点$M$，与$AC$边切于点$N$，与$BC$边切于点$H$，根据切线长定理，设$BM=BH=x$，$CN=CH=y$，$AM=AN=z$，可得方程组：
$\begin{cases}x+z=AB=5 \\x+y=BC=3 \\y+z=AC=4\end{cases}$
三式相加得$2(x+y+z)=12$，即$x+y+z=6$，因此$z=6-(x+y)=6-3=3$，即$AM=AN=3$。
∵$DE$是$\odot O$的切线，设切点为$F$，根据切线长定理可得$DF=DM$，$EF=EN$。
∴$△ADE$的周长$=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF$
$=(AD+DM)+(AE+EN)=AM+AN=3+3=6$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，切线长定理，三角形内切圆
【点评】
本题是三角形内切圆的典型考题，解题的核心是灵活运用切线长定理进行线段的等量转化，将未知三角形的周长转化为已知切线长的和，无需额外计算即可快速得到结果。
【难度系数】
0.6
6.(2025·宿迁沭阳县期中)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$\odot O$是$△ ABC$的内切圆,切点分别为$D,E,F$.若$BD=3$,$AD=2$,则$\odot O$的半径为是
1
.答案
6.1
解析
【分析】
求解本题首先回忆三角形内切圆的相关性质：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。首先可直接求出斜边AB的长度，再根据内切圆与直角三角形两条直角边的切点、圆心、直角顶点可构成正方形，将两条直角边的长度用半径r表示，最后结合直角三角形勾股定理列方程求解，舍去不符合实际意义的负解即可得到半径。
【解析】
解：
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为D、E、F
根据切线长定理可得：
$AD=AF=2$，$BD=BE=3$，$CE=CF$
设$\odot O$的半径为$r$，
∵$∠ C=90°$，$OE⊥ BC$，$OF⊥ AC$，$OE=OF=r$
∴四边形OECF是正方形
∴$CE=CF=r$
∴$AC=AF+CF=2+r$，$BC=BE+CE=3+r$，$AB=AD+BD=2+3=5$
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
代入得：$(r+2)^2 + (r+3)^2 = 5^2$
展开整理得：$r^2 +5r -6=0$
解得：$r_1=1$，$r_2=-6$（半径为正数，舍去）
∴$\odot O$的半径为1。
【答案】
1
【知识点】
切线长定理，勾股定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题属于三角形内切圆的基础应用题型，解题核心是利用切线长定理将直角三角形的边长用半径表示，结合勾股定理列方程求解，熟练掌握切线长定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
求解本题首先回忆三角形内切圆的相关性质：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。首先可直接求出斜边AB的长度，再根据内切圆与直角三角形两条直角边的切点、圆心、直角顶点可构成正方形，将两条直角边的长度用半径r表示，最后结合直角三角形勾股定理列方程求解，舍去不符合实际意义的负解即可得到半径。
【解析】
解：
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为D、E、F
根据切线长定理可得：
$AD=AF=2$，$BD=BE=3$，$CE=CF$
设$\odot O$的半径为$r$，
∵$∠ C=90°$，$OE⊥ BC$，$OF⊥ AC$，$OE=OF=r$
∴四边形OECF是正方形
∴$CE=CF=r$
∴$AC=AF+CF=2+r$，$BC=BE+CE=3+r$，$AB=AD+BD=2+3=5$
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
代入得：$(r+2)^2 + (r+3)^2 = 5^2$
展开整理得：$r^2 +5r -6=0$
解得：$r_1=1$，$r_2=-6$（半径为正数，舍去）
∴$\odot O$的半径为1。
【答案】
1
【知识点】
切线长定理，勾股定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题属于三角形内切圆的基础应用题型，解题核心是利用切线长定理将直角三角形的边长用半径表示，结合勾股定理列方程求解，熟练掌握切线长定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
