7. 等腰三角形的底边长为12，腰长为10，该等腰三角形内心和外心的距离为。

7.$\frac{5}{4}$

8.如图,在扇形CAB中,CD⊥AB,垂足为D,圆E是△ACD的内切圆,切点分别为M,N,F,连接AE,BE.
(1)求∠AEB的度数;
(2)求证:∠ACD=2∠ABE.

8.(1)解:如答图,连接EC.
∵E是△ADC的内心,∠ADC=90°,
∴∠ACE=$\frac{1}{2}∠ACD$,∠EAC=$\frac{1}{2}∠CAD$,
∠ACD+∠CAD=90°,
∴∠AEC=180°-$\frac{1}{2}(∠ACD+∠CAD)$=135°.
在△AEC和△AEB中,
$\begin{cases} AE=AE, \\ ∠EAC=∠EAB, \\ AC=AB, \end{cases}$
∴△AEC≌△AEB(SAS),
∴∠AEB=∠AEC=135°.
(2)证明:由(1)知∠ACE=$\frac{1}{2}∠ACD$,△AEC≌△AEB,
∴∠ACE=∠ABE,
∴∠ABE=$\frac{1}{2}∠ACD$,
即∠ACD=2∠ABE.

9.(2025·南京)已知O为$□ ABCD$的中心.
(1)如图①,若圆O与BC相切于点E,求证:圆O与AD相切;
(2)如图②,若圆O与AB,BC均相切,求证:四边形ABCD为菱形.

9.证明:(1)连接EO,BD,并延长EO交AD于点F,如答图①.
∵四边形ABCD为平行四边形,O为ABCD的中心,
∴OB=OD,AD//BC,
∴∠OBE=∠ODF.
在△OBE和△ODF中,
$\begin{cases} ∠BOE=∠DOF, \\ OB=OD, \\ ∠OBE=∠ODF, \end{cases}$
∴△OBE≌△ODF(ASA),
∴∠OEB=∠OFD,OE=OF,
∵圆O与BC相切于点E,
∴OE为半径,且OE⊥BC,
∴∠OEB=90°,
∴∠OFD=90°.
又
∵OE=OF,OE为半径,
∴圆O与AD相切.
(2)由(1)得,圆O与BC相切,则圆O与BC的对应边AD也相切,且两切点连线为直径.同理,圆O与AB相切,则圆O与AB的对应边CD也相切,且两切点连线为直径,设四个切点为E,F,P,Q,如答图②,
∵AB,BC,AD是圆O的切线.
∴AP=AF,BP=BE.
由(1)中△OBE≌△ODF,得BE=DF,
∴BP=BE=DF,
∴AP+BP=AF+DF,即AB=AD.
又
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴四边形ABCD为菱形.