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1.(2025·宿迁宿豫区期末)如图,PA与⊙O相切于点A,连接PO,并延长PO交⊙O于点B,连接AB,若∠P=34°,则∠ABP的度数为 (
A.28°
B.34°
C.56°
D.68°
A
)A.28°
B.34°
C.56°
D.68°
答案
1.A
解析
【分析】
遇到圆的切线相关的角度计算问题，首先考虑切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先作辅助线连接OA，构造直角三角形OAP。先在直角三角形中求出∠AOP的度数，再结合OA=OB（同圆半径相等）得到等腰△OAB，利用三角形外角的性质即可求出∠ABP的度数。
【解析】
解：连接OA，
∵ PA与⊙O相切于点A，
∴ OA⊥PA，即∠OAP=90°，
在Rt△OAP中，∠P=34°，
∴ ∠AOP=90°-∠P=90°-34°=56°，
∵ OA=OB（同圆的半径相等），
∴ ∠ABP=∠OAB，
又
∵ ∠AOP是△AOB的外角，
∴ ∠AOP=∠ABP+∠OAB=2∠ABP，
∴ ∠ABP=∠AOP÷2=56°÷2=28°。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题关键是掌握切线的性质，通过连接圆心和切点构造直角三角形，再结合等腰三角形、外角的相关性质求解，属于常规考点。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线相关的角度计算问题，首先考虑切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先作辅助线连接OA，构造直角三角形OAP。先在直角三角形中求出∠AOP的度数，再结合OA=OB（同圆半径相等）得到等腰△OAB，利用三角形外角的性质即可求出∠ABP的度数。
【解析】
解：连接OA，
∵ PA与⊙O相切于点A，
∴ OA⊥PA，即∠OAP=90°，
在Rt△OAP中，∠P=34°，
∴ ∠AOP=90°-∠P=90°-34°=56°，
∵ OA=OB（同圆的半径相等），
∴ ∠ABP=∠OAB，
又
∵ ∠AOP是△AOB的外角，
∴ ∠AOP=∠ABP+∠OAB=2∠ABP，
∴ ∠ABP=∠AOP÷2=56°÷2=28°。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题关键是掌握切线的性质，通过连接圆心和切点构造直角三角形，再结合等腰三角形、外角的相关性质求解，属于常规考点。
【难度系数】
0.7
2.(2025·宿迁宿城区期中)如图，AB是$\odot O$的直径，点D在AB的延长线上，DC切$\odot O$于点C。若$∠ D=38°$，则$∠ A$的度数为
26°
。答案
2.$26°$
解析
【分析】
遇到切线相关的角度计算问题，首先利用切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先连接辅助线OC构造直角三角形。已知∠D的度数，可先求出∠COD的度数；再结合OA、OC都是圆的半径，二者相等可知△OAC为等腰三角形，最后利用三角形外角的性质即可求出∠A的度数。
【解析】
连接OC，
∵ DC切$\odot O$于点C，
∴ OC⊥CD，即$∠ OCD=90°$，
在$Rt△ OCD$中，$∠ D=38°$，
∴ $∠ COD=90° - ∠ D=90° -38°=52°$，
∵ OA=OC（都是$\odot O$的半径），
∴ $∠ A=∠ OCA$，
又
∵ $∠ COD$是$△ AOC$的外角，
∴ $∠ COD=∠ A + ∠ OCA=2∠ A$，
∴ $∠ A=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×52°=26°$。
【答案】
$26°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题的关键是掌握切线的性质，正确连接过切点的半径构造直角三角形，再结合等腰三角形和外角的性质计算角度，是圆的性质应用中的常考题型。
【难度系数】
0.7
遇到切线相关的角度计算问题，首先利用切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先连接辅助线OC构造直角三角形。已知∠D的度数，可先求出∠COD的度数；再结合OA、OC都是圆的半径，二者相等可知△OAC为等腰三角形，最后利用三角形外角的性质即可求出∠A的度数。
【解析】
连接OC，
∵ DC切$\odot O$于点C，
∴ OC⊥CD，即$∠ OCD=90°$，
在$Rt△ OCD$中，$∠ D=38°$，
∴ $∠ COD=90° - ∠ D=90° -38°=52°$，
∵ OA=OC（都是$\odot O$的半径），
∴ $∠ A=∠ OCA$，
又
∵ $∠ COD$是$△ AOC$的外角，
∴ $∠ COD=∠ A + ∠ OCA=2∠ A$，
∴ $∠ A=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×52°=26°$。
【答案】
$26°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题的关键是掌握切线的性质，正确连接过切点的半径构造直角三角形，再结合等腰三角形和外角的性质计算角度，是圆的性质应用中的常考题型。
【难度系数】
0.7
3.(2025·宿迁宿豫区期中)如图，AB是$\odot O$的直径，AD是$\odot O$的弦，过点B的切线交AD的延长线于点C.若$∠ C=42°$，则$∠ BOD$的度数为
96°
.答案
3.$96°$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先由切线的性质可知，过切点的半径与切线垂直，因此AB⊥BC，得到Rt△ABC；2. 利用直角三角形两锐角互余，结合已知∠C=42°，求出∠A的度数；3. 最后根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可计算出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，∠C=42°，
∴∠A=90°-∠C=90°-42°=48°，
∵∠A是弧BD所对的圆周角，∠BOD是弧BD所对的圆心角，
∴根据圆周角定理可得：∠BOD=2∠A=2×48°=96°。
【答案】
96°
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，直角三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础常考题，解题核心是先利用切线性质得到直角三角形，求出对应圆周角的度数，再结合圆周角定理计算圆心角度数，解题时需注意圆周角和圆心角对应的弧要一致。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 首先由切线的性质可知，过切点的半径与切线垂直，因此AB⊥BC，得到Rt△ABC；2. 利用直角三角形两锐角互余，结合已知∠C=42°，求出∠A的度数；3. 最后根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可计算出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，∠C=42°，
∴∠A=90°-∠C=90°-42°=48°，
∵∠A是弧BD所对的圆周角，∠BOD是弧BD所对的圆心角，
∴根据圆周角定理可得：∠BOD=2∠A=2×48°=96°。
【答案】
96°
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，直角三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础常考题，解题核心是先利用切线性质得到直角三角形，求出对应圆周角的度数，再结合圆周角定理计算圆心角度数，解题时需注意圆周角和圆心角对应的弧要一致。
【难度系数】
0.7
4.(2025·北京)如图，$\odot O$是地球的示意图，其中$AB$表示赤道，$CD$，$EF$分别表示北回归线和南回归线，$∠ DOB=∠ FOB=23.5°$.夏至日正午时，太阳光线$GD$所在直线经过地心$O$，此时点$F$处的太阳高度角$∠ IFH$(即平行于$GD$的光线$HF$与$\odot O$的切线$FI$所成的锐角)的大小为$\_\_\_\_\_\_°$.
答案
4.43
解析
【分析】
解题时首先从切线的性质入手：圆的切线垂直于过切点的半径，可得FI⊥OF，得到∠OFI=90°。再结合太阳光线互相平行的条件，可知HF//OD，利用平行线的同旁内角互补可求出∠OFH的度数，最后结合角度的和差关系即可求出∠IFH的大小。
【解析】
解：
∵FI是⊙O的切线，F为切点，
∴OF⊥FI，即∠OFI=90°。
由题意知太阳光线互相平行，即HF//GD，
又
∵GD经过圆心O，即OD在直线GD上，
∴OD//HF，
∴∠DOF + ∠OFH = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
已知∠DOB=23.5°，∠FOB=23.5°，
∴∠DOF=∠DOB + ∠FOB=23.5°+23.5°=47°，
∴∠OFH=180°-∠DOF=180°-47°=133°，
∴∠IFH=∠OFH - ∠OFI=133°-90°=43°。
【答案】
43
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；角度计算
【点评】
本题结合生活实际场景，融合了基础几何知识的应用，解题的核心是准确挖掘切线、平行线隐含的角度关系，侧重考查对基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先从切线的性质入手：圆的切线垂直于过切点的半径，可得FI⊥OF，得到∠OFI=90°。再结合太阳光线互相平行的条件，可知HF//OD，利用平行线的同旁内角互补可求出∠OFH的度数，最后结合角度的和差关系即可求出∠IFH的大小。
【解析】
解：
∵FI是⊙O的切线，F为切点，
∴OF⊥FI，即∠OFI=90°。
由题意知太阳光线互相平行，即HF//GD，
又
∵GD经过圆心O，即OD在直线GD上，
∴OD//HF，
∴∠DOF + ∠OFH = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
已知∠DOB=23.5°，∠FOB=23.5°，
∴∠DOF=∠DOB + ∠FOB=23.5°+23.5°=47°，
∴∠OFH=180°-∠DOF=180°-47°=133°，
∴∠IFH=∠OFH - ∠OFI=133°-90°=43°。
【答案】
43
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；角度计算
【点评】
本题结合生活实际场景，融合了基础几何知识的应用，解题的核心是准确挖掘切线、平行线隐含的角度关系，侧重考查对基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
5.(2025·广东)如图，O是Rt△ABC斜边AC上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D.求证:AD平分∠BAC.
答案
5. 证明:连接OD,如答图
.$\because$以OA为半径的$\odot O$与边BC相切于点D,$\therefore OD⊥ BC$.
$\because ∠ ABC=90°,\therefore OD// AB,\therefore ∠ ODA=∠ BAD$.
$\because OA=OD,\therefore ∠ ODA=∠ OAD$,
$\therefore ∠ BAD=∠ OAD,\therefore AD$平分$∠ BAC$.
解析
【分析】
要证明AD平分∠BAC，本质是证明∠BAD=∠OAD。已知⊙O与BC相切于点D，根据切线的性质，优先考虑连接圆心O和切点D，得到OD⊥BC；结合Rt△ABC中∠B=90°，可推出OD与AB平行，进而得到内错角∠ODA=∠BAD；再根据OA、OD均为⊙O的半径，可得OA=OD，由等边对等角推出∠ODA=∠OAD，最后通过等量代换即可得到两个角相等，从而证得AD平分∠BAC。
【解析】
1. 作辅助线：连接OD，如答图所示。
2. 由切线性质推导垂直关系：
∵⊙O与边BC相切于点D，OD是过切点的半径，
∴OD⊥BC。
3. 推导平行线：
∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，OD和AB都垂直于BC，
∴OD//AB。
4. 由平行线得角相等：根据两直线平行，内错角相等，可得∠ODA=∠BAD。
5. 由等腰三角形得角相等：
∵OA、OD都是⊙O的半径，
∴OA=OD，△OAD是等腰三角形，
∴∠ODA=∠OAD。
6. 等量代换得结论：
∴∠BAD=∠OAD，即AD平分∠BAC。
【答案】
证明:连接OD,如答图.
$\because$以OA为半径的$\odot O$与边BC相切于点D,$\therefore OD⊥ BC$.
$\because ∠ ABC=90°,\therefore OD// AB,\therefore ∠ ODA=∠ BAD$.
$\because OA=OD,\therefore ∠ ODA=∠ OAD$,
$\therefore ∠ BAD=∠ OAD,\therefore AD$平分$∠ BAC$.
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与几何证明结合的基础题型，核心考查“遇切线连圆心和切点”的常用辅助线作法，结合平行线、等腰三角形的性质推导角的等量关系即可完成证明，解题思路清晰，需要熟练掌握这类常规辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.8
要证明AD平分∠BAC，本质是证明∠BAD=∠OAD。已知⊙O与BC相切于点D，根据切线的性质，优先考虑连接圆心O和切点D，得到OD⊥BC；结合Rt△ABC中∠B=90°，可推出OD与AB平行，进而得到内错角∠ODA=∠BAD；再根据OA、OD均为⊙O的半径，可得OA=OD，由等边对等角推出∠ODA=∠OAD，最后通过等量代换即可得到两个角相等，从而证得AD平分∠BAC。
【解析】
1. 作辅助线：连接OD，如答图所示。
2. 由切线性质推导垂直关系：
∵⊙O与边BC相切于点D，OD是过切点的半径，
∴OD⊥BC。
3. 推导平行线：
∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，OD和AB都垂直于BC，
∴OD//AB。
4. 由平行线得角相等：根据两直线平行，内错角相等，可得∠ODA=∠BAD。
5. 由等腰三角形得角相等：
∵OA、OD都是⊙O的半径，
∴OA=OD，△OAD是等腰三角形，
∴∠ODA=∠OAD。
6. 等量代换得结论：
∴∠BAD=∠OAD，即AD平分∠BAC。
【答案】
证明:连接OD,如答图
.$\because$以OA为半径的$\odot O$与边BC相切于点D,$\therefore OD⊥ BC$.
$\because ∠ ABC=90°,\therefore OD// AB,\therefore ∠ ODA=∠ BAD$.
$\because OA=OD,\therefore ∠ ODA=∠ OAD$,
$\therefore ∠ BAD=∠ OAD,\therefore AD$平分$∠ BAC$.
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与几何证明结合的基础题型，核心考查“遇切线连圆心和切点”的常用辅助线作法，结合平行线、等腰三角形的性质推导角的等量关系即可完成证明，解题思路清晰，需要熟练掌握这类常规辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.8
6.如图,在$\odot O$中,AB是直径,CD是弦,且$AB⊥CD$,垂足为E,在BA的延长线上取一点F,连接CF,使$∠ FCD=2∠ B$.求证:CF是$\odot O$的切线.
答案
6. 证明:连接OC. $\because OB=OC,\therefore ∠ B=∠ OCB$,
$\therefore ∠ EOC=∠ B+∠ OCB=2∠ B$.
$\because ∠ FCD=2∠ B,\therefore ∠ FCD=∠ EOC$.
$\because AB⊥ CD,\therefore ∠ ECO+∠ EOC=90°$,
$\therefore ∠ FCE+∠ ECO=90°,\therefore CF⊥ OC$.
$\because$点C在$\odot O$上,$\therefore CF$是$\odot O$的切线.
$\therefore ∠ EOC=∠ B+∠ OCB=2∠ B$.
$\because ∠ FCD=2∠ B,\therefore ∠ FCD=∠ EOC$.
$\because AB⊥ CD,\therefore ∠ ECO+∠ EOC=90°$,
$\therefore ∠ FCE+∠ ECO=90°,\therefore CF⊥ OC$.
$\because$点C在$\odot O$上,$\therefore CF$是$\odot O$的切线.
解析
【分析】
要证明CF是⊙O的切线，根据切线的判定定理，若直线与圆有明确交点，则采用“连半径，证垂直”的思路求解：第一步连接辅助线OC，接下来只需证明OC⊥CF即可。首先利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角的性质可推出∠EOC=2∠B，结合已知∠FCD=2∠B，可得∠FCD=∠EOC；再由AB⊥CD可知△OEC为直角三角形，两锐角互余即∠ECO+∠EOC=90°，将∠EOC替换为∠FCD，即可得到∠FCE+∠ECO=90°，即∠FCO=90°，也就是OC⊥CF，由此可证CF是⊙O的切线。
【解析】
证明：连接OC.
∵ OB=OC，
∴ ∠B=∠OCB，
∴ ∠EOC=∠B+∠OCB=2∠B.
∵ ∠FCD=2∠B，
∴ ∠FCD=∠EOC.
∵ AB⊥CD，
∴ ∠ECO+∠EOC=90°，
∴ ∠FCE+∠ECO=90°，即CF⊥OC.
∵ 点C在⊙O上，
∴ CF是⊙O的切线.
【答案】
CF是$\odot O$的切线
【知识点】
切线的判定定理；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是切线判定的常规基础题，解题核心是掌握“连半径、证垂直”的切线判定方法，通过角度的等量代换结合直角三角形两锐角互余的性质即可完成证明，能够帮助学生巩固切线判定的基本思路。
【难度系数】
0.75
要证明CF是⊙O的切线，根据切线的判定定理，若直线与圆有明确交点，则采用“连半径，证垂直”的思路求解：第一步连接辅助线OC，接下来只需证明OC⊥CF即可。首先利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角的性质可推出∠EOC=2∠B，结合已知∠FCD=2∠B，可得∠FCD=∠EOC；再由AB⊥CD可知△OEC为直角三角形，两锐角互余即∠ECO+∠EOC=90°，将∠EOC替换为∠FCD，即可得到∠FCE+∠ECO=90°，即∠FCO=90°，也就是OC⊥CF，由此可证CF是⊙O的切线。
【解析】
证明：连接OC.
∵ OB=OC，
∴ ∠B=∠OCB，
∴ ∠EOC=∠B+∠OCB=2∠B.
∵ ∠FCD=2∠B，
∴ ∠FCD=∠EOC.
∵ AB⊥CD，
∴ ∠ECO+∠EOC=90°，
∴ ∠FCE+∠ECO=90°，即CF⊥OC.
∵ 点C在⊙O上，
∴ CF是⊙O的切线.
【答案】
CF是$\odot O$的切线
【知识点】
切线的判定定理；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是切线判定的常规基础题，解题核心是掌握“连半径、证垂直”的切线判定方法，通过角度的等量代换结合直角三角形两锐角互余的性质即可完成证明，能够帮助学生巩固切线判定的基本思路。
【难度系数】
0.75
