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例6 在学习镜面反射后,小明知道了当入射光线与镜面垂直时,反射光线将与入射光线重合,沿原路返回。他利用此现象设计了一个测量物体高度的工具。
|项目|图例|说明|
| ---- | ---- | ---- |
|测量工具横截面图|
|在直角三角形$ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=2AC=2$米,$O$为$AB$的中点,在点$O$处固定一面平面镜,矩形$ACED$为支架,在支架底部安装轮子,方便移动,支架的高度(包含轮子的高度)$CE=0.5$米|
|测量示意图|
|在建筑物$MN$的顶端$N$处安装红外线灯以及一块白色纸板,纸板大小忽略不计,将测高工具放置在与建筑物同一平面上,在地面$ME$上移动工具,当红外线灯照射到点$O$处,且反射光线落在白色纸板上($ON⊥ AB$)时,停止移动测高工具|
|待测数据||$DM$的长|
在一次实际测量过程中,小明测得测高工具与建筑物的水平距离$DM=5.5$米,
请计算建筑物$MN$的高度。(结果精确到0.1米,参考数据:$\sqrt{3}\approx1.73$)
|项目|图例|说明|
| ---- | ---- | ---- |
|测量工具横截面图|
|在直角三角形$ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=2AC=2$米,$O$为$AB$的中点,在点$O$处固定一面平面镜,矩形$ACED$为支架,在支架底部安装轮子,方便移动,支架的高度(包含轮子的高度)$CE=0.5$米||测量示意图|
|在建筑物$MN$的顶端$N$处安装红外线灯以及一块白色纸板,纸板大小忽略不计,将测高工具放置在与建筑物同一平面上,在地面$ME$上移动工具,当红外线灯照射到点$O$处,且反射光线落在白色纸板上($ON⊥ AB$)时,停止移动测高工具||待测数据||$DM$的长|
在一次实际测量过程中,小明测得测高工具与建筑物的水平距离$DM=5.5$米,
请计算建筑物$MN$的高度。(结果精确到0.1米,参考数据:$\sqrt{3}\approx1.73$)
答案
解:如图
,过点 O 作 MN 的垂线 OQ,垂足为 Q,过点 O 作 ME 的垂线,垂足为 P,交 AC 于点 H。因为 $OQ ⊥ MN$, $OP ⊥ ME$,
且$∠ NMD=90°$,
所以四边形 QMPO 为矩形,
所以$∠ QOP=90°$。
又 $NO⊥ AB$,所以$∠ NOQ=∠ AOH$。
因为$∠ NQO=∠ AHO=90°$,
所以$△ NQO∽△ AHO$,所以$\frac{NQ}{AH}=\frac{QO}{OH}$。
连结 OC,因为 O 为 AB 的中点,所以 $OC=OA$。
因为 $OH⊥ AC$,所以 $DP=AH=\frac{1}{2}AC=0.5$ 米,$OH=\frac{\sqrt{3}}{2}$米。
又 $DM=5.5$ 米,所以 $QO=MP=5.5+0.5=6$(米),
所以$\frac{NQ}{0.5}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$,得 $NQ=2\sqrt{3}$米。
又 $QM=OP=(\frac{\sqrt{3}}{2}+0.5)$米,
所以 $MN=2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}+0.5=(\frac{5\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2})$米。
又$\sqrt{3}\approx1.73$,所以 $MN\approx4.8$ 米。
故建筑物 MN 的高度约为 4.8 米。
解析
【分析】
首先从已知条件入手，Rt△ABC中AB=2AC，可得∠BAC=60°，O是AB中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可知OA=OC=AC=1米，△AOC为等边三角形。要计算MN的高度，可通过作辅助线将MN拆分为可计算的线段：过点O分别作MN、ME的垂线，构造矩形QMPO，实现水平距离和竖直高度的转化。再结合垂直关系推导等角，证明△NQO和△AHO相似，利用相似三角形对应边成比例求出NQ的长度，最后加上QM的长度即可得到MN的总高度。
【解析】
解:如图,过点 O 作 MN 的垂线 OQ,垂足为 Q,过点 O 作 ME 的垂线,垂足为 P,交 AC 于点 H。
因为 $OQ ⊥ MN$, $OP ⊥ ME$,
且$∠ NMD=90°$,
所以四边形 QMPO 为矩形,
所以$∠ QOP=90°$。
又 $NO⊥ AB$,所以$∠ NOQ=∠ AOH$。
因为$∠ NQO=∠ AHO=90°$,
所以$△ NQO∽△ AHO$,所以$\frac{NQ}{AH}=\frac{QO}{OH}$。
连结 OC,因为 O 为 AB 的中点,所以 $OC=OA$。
因为 $OH⊥ AC$,所以 $DP=AH=\frac{1}{2}AC=0.5$ 米,$OH=\frac{\sqrt{3}}{2}$米。
又 $DM=5.5$ 米,所以 $QO=MP=5.5+0.5=6$(米),
所以$\frac{NQ}{0.5}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$,得 $NQ=2\sqrt{3}$米。
又 $QM=OP=(\frac{\sqrt{3}}{2}+0.5)$米,
所以 $MN=2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}+0.5=(\frac{5\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2})$米。
又$\sqrt{3}\approx1.73$,所以 $MN\approx4.8$ 米。
【答案】
建筑物MN的高度约为4.8米。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，矩形的判定与性质
【点评】
本题结合物理镜面反射原理考查几何实际应用，需要学生通过作辅助线构造矩形和相似三角形，将实际问题转化为几何计算问题，较好地考查了学生的知识迁移能力和综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先从已知条件入手，Rt△ABC中AB=2AC，可得∠BAC=60°，O是AB中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可知OA=OC=AC=1米，△AOC为等边三角形。要计算MN的高度，可通过作辅助线将MN拆分为可计算的线段：过点O分别作MN、ME的垂线，构造矩形QMPO，实现水平距离和竖直高度的转化。再结合垂直关系推导等角，证明△NQO和△AHO相似，利用相似三角形对应边成比例求出NQ的长度，最后加上QM的长度即可得到MN的总高度。
【解析】
解:如图
,过点 O 作 MN 的垂线 OQ,垂足为 Q,过点 O 作 ME 的垂线,垂足为 P,交 AC 于点 H。因为 $OQ ⊥ MN$, $OP ⊥ ME$,
且$∠ NMD=90°$,
所以四边形 QMPO 为矩形,
所以$∠ QOP=90°$。
又 $NO⊥ AB$,所以$∠ NOQ=∠ AOH$。
因为$∠ NQO=∠ AHO=90°$,
所以$△ NQO∽△ AHO$,所以$\frac{NQ}{AH}=\frac{QO}{OH}$。
连结 OC,因为 O 为 AB 的中点,所以 $OC=OA$。
因为 $OH⊥ AC$,所以 $DP=AH=\frac{1}{2}AC=0.5$ 米,$OH=\frac{\sqrt{3}}{2}$米。
又 $DM=5.5$ 米,所以 $QO=MP=5.5+0.5=6$(米),
所以$\frac{NQ}{0.5}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$,得 $NQ=2\sqrt{3}$米。
又 $QM=OP=(\frac{\sqrt{3}}{2}+0.5)$米,
所以 $MN=2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}+0.5=(\frac{5\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2})$米。
又$\sqrt{3}\approx1.73$,所以 $MN\approx4.8$ 米。
【答案】
建筑物MN的高度约为4.8米。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，矩形的判定与性质
【点评】
本题结合物理镜面反射原理考查几何实际应用，需要学生通过作辅助线构造矩形和相似三角形，将实际问题转化为几何计算问题，较好地考查了学生的知识迁移能力和综合运用能力。
【难度系数】
0.6
变式 在数学综合与实践活动课上，小南提出利用现有的小尺来测量学校旗杆的高度。如图，小南把手臂水平向前伸直，手持小尺保持竖直，瞄准小尺的两端E，F，不断调整站立的位置，使站在点D处正好看到旗杆的底部A和顶部B。如果小南的手臂长$ l=50 \ \mathrm{cm} $，小尺的长$ a=15 \ \mathrm{cm} $，点D到旗杆底部的距离$ AD=40 \ \mathrm{m} $，那么旗杆的高度为
12
m。答案
12
解析
【分析】
这是一道利用相似三角形解决实际测量的问题，解题思路如下：首先观察图形特征，小尺竖直、旗杆竖直，且手臂水平伸直，因此小尺与旗杆互相平行，可判定由视线、小尺构成的三角形与由视线、旗杆构成的三角形相似；再根据相似三角形的性质：对应高的比等于相似比，其中视点到小尺的水平距离为手臂长，视点到旗杆的水平距离为AD，小尺长、旗杆高分别为两个相似三角形的对应边，最后代入数值列比例式计算即可，注意计算前要统一单位。
【解析】
先统一单位：
手臂长$l=50\ \mathrm{cm}=0.5\ \mathrm{m}$，小尺长$a=15\ \mathrm{cm}=0.15\ \mathrm{m}$。
由题意得$EF// AB$，因此$△ CEF ∽ △ CAB$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{a}{AB}=\frac{l}{AD}$
将$a=0.15\ \mathrm{m}$，$l=0.5\ \mathrm{m}$，$AD=40\ \mathrm{m}$代入上式：
$\frac{0.15}{AB}=\frac{0.5}{40}$
交叉相乘解得：$0.5AB=0.15×40=6$，即$AB=12\ \mathrm{m}$。
【答案】
12
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的典型应用，解题核心是准确识别相似三角形，理清对应边、对应高的比例关系，计算时要注意单位统一，避免因单位不一致出现计算错误。
【难度系数】
0.7
这是一道利用相似三角形解决实际测量的问题，解题思路如下：首先观察图形特征，小尺竖直、旗杆竖直，且手臂水平伸直，因此小尺与旗杆互相平行，可判定由视线、小尺构成的三角形与由视线、旗杆构成的三角形相似；再根据相似三角形的性质：对应高的比等于相似比，其中视点到小尺的水平距离为手臂长，视点到旗杆的水平距离为AD，小尺长、旗杆高分别为两个相似三角形的对应边，最后代入数值列比例式计算即可，注意计算前要统一单位。
【解析】
先统一单位：
手臂长$l=50\ \mathrm{cm}=0.5\ \mathrm{m}$，小尺长$a=15\ \mathrm{cm}=0.15\ \mathrm{m}$。
由题意得$EF// AB$，因此$△ CEF ∽ △ CAB$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{a}{AB}=\frac{l}{AD}$
将$a=0.15\ \mathrm{m}$，$l=0.5\ \mathrm{m}$，$AD=40\ \mathrm{m}$代入上式：
$\frac{0.15}{AB}=\frac{0.5}{40}$
交叉相乘解得：$0.5AB=0.15×40=6$，即$AB=12\ \mathrm{m}$。
【答案】
12
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的典型应用，解题核心是准确识别相似三角形，理清对应边、对应高的比例关系，计算时要注意单位统一，避免因单位不一致出现计算错误。
【难度系数】
0.7
