登录
例4 如图(示意图),昌昌同学和同伴秋游时,发现在某小山坡的点E处有一棵小树,他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离(即DE的长度),昌昌站在点B处,让同伴移动平面镜至点C处,此时昌昌在平面镜内刚好可以看到点E,且测得$BC=4.8$米,$CD=28$米,$∠CDE=135°$。已知昌昌的眼睛到地面的距离$AB=1.6$米,请根据以上数据,求DE的长度。(结果保留根号)
答案
解:如图
,过点 E 作 $EF⊥ BC$ 交 BC 的延长线于点 F。因为$∠ CDE=135°$,所以$∠ EDF=45°$,
所以$△ DEF$ 为等腰直角三角形。
设 $EF=x$ 米,则 $DF=x$ 米,$DE=\sqrt{2}x$ 米。
因为$∠ B=∠ EFC=90°,∠ ACB=∠ ECD$,
所以 $△ ABC ∽ △ EFC$, 所以 $\frac{AB}{EF}=\frac{BC}{FC}$, 即 $\frac{1.6}{x}=\frac{4.8}{28+x}$,
解得 $x=14$,所以 $DE=14\sqrt{2}$ 米。
解析
【分析】
解决本题首先结合平面镜反射的规律可得∠ACB=∠ECD；再观察已知条件∠CDE=135°，我们可以通过作辅助线构造特殊三角形：过点E作EF垂直BC的延长线于点F，可得∠EDF=45°，即△DEF为等腰直角三角形，此时可设EF为x米，用含x的式子表示出DF、DE的长度；最后可证明Rt△ABC与Rt△EFC相似，根据相似三角形对应边成比例列方程求解x，即可求得DE的长度。
【解析】
如图，过点 E 作 $EF⊥ BC$ 交 BC 的延长线于点 F。
因为$∠ CDE=135°$，所以$∠ EDF=180°-135°=45°$，
又$∠EFD=90°$，所以$△ DEF$ 为等腰直角三角形。
设 $EF=x$ 米，则 $DF=x$ 米，由勾股定理可得$DE=\sqrt{2}x$ 米。
由平面镜反射原理可知$∠ ACB=∠ ECD$，
又$∠ B=∠ EFC=90°$，所以 $△ ABC ∽ △ EFC$，
根据相似三角形对应边成比例，得 $\frac{AB}{EF}=\frac{BC}{FC}$，其中$FC=CD+DF=28+x$，
代入数据得 $\frac{1.6}{x}=\frac{4.8}{28+x}$，
解得 $x=14$，所以 $DE=\sqrt{2}x=14\sqrt{2}$ 米。
【答案】
$DE$的长度为$14\sqrt{2}$米
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，方程思想应用
【点评】
本题结合实际测量的生活场景出题，需要学生将实际问题转化为几何模型求解，既考查了辅助线的构造能力，又考查了相似三角形、等腰直角三角形相关性质的掌握程度，能有效锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
解决本题首先结合平面镜反射的规律可得∠ACB=∠ECD；再观察已知条件∠CDE=135°，我们可以通过作辅助线构造特殊三角形：过点E作EF垂直BC的延长线于点F，可得∠EDF=45°，即△DEF为等腰直角三角形，此时可设EF为x米，用含x的式子表示出DF、DE的长度；最后可证明Rt△ABC与Rt△EFC相似，根据相似三角形对应边成比例列方程求解x，即可求得DE的长度。
【解析】
如图
，过点 E 作 $EF⊥ BC$ 交 BC 的延长线于点 F。因为$∠ CDE=135°$，所以$∠ EDF=180°-135°=45°$，
又$∠EFD=90°$，所以$△ DEF$ 为等腰直角三角形。
设 $EF=x$ 米，则 $DF=x$ 米，由勾股定理可得$DE=\sqrt{2}x$ 米。
由平面镜反射原理可知$∠ ACB=∠ ECD$，
又$∠ B=∠ EFC=90°$，所以 $△ ABC ∽ △ EFC$，
根据相似三角形对应边成比例，得 $\frac{AB}{EF}=\frac{BC}{FC}$，其中$FC=CD+DF=28+x$，
代入数据得 $\frac{1.6}{x}=\frac{4.8}{28+x}$，
解得 $x=14$，所以 $DE=\sqrt{2}x=14\sqrt{2}$ 米。
【答案】
$DE$的长度为$14\sqrt{2}$米
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，方程思想应用
【点评】
本题结合实际测量的生活场景出题，需要学生将实际问题转化为几何模型求解，既考查了辅助线的构造能力，又考查了相似三角形、等腰直角三角形相关性质的掌握程度，能有效锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
变式 在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律。如图，MN为一凸透镜，F是凸透镜的焦点，在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB，透过凸透镜后呈的像为CD，光路图如图所示：经过焦点的光线AE，通过凸透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线AO会聚于C点。若焦距$OF=4$，物距$OB=6$，小蜡烛的高度$AB=1$，则小蜡烛的像
CD的长是（
A.1
B.2
C.3
D.$\frac{3}{2}$
CD的长是（
B
）A.1
B.2
C.3
D.$\frac{3}{2}$
答案
B
解析
【分析】
本题可结合相似三角形的判定与性质求解像的高度。首先观察图形，AB和OE都垂直于主光轴，可推出AB平行于OE，结合公共角可判定△ABF和△EOF相似，利用相似三角形对应边成比例求出OE的长度，再根据折射后EC平行于主光轴，可知四边形OECD是矩形，得到CD=OE即可得出结果。
【解析】
解：
∵AB垂直主光轴，OE垂直主光轴
∴AB//OE，∠ABF=∠EOF=90°
又
∵∠AFB=∠EFO（公共角）
∴△ABF∽△EOF
已知OB=6，OF=4，因此BF=OB-OF=6-4=2
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AB}{OE}=\frac{BF}{OF}$
将AB=1，BF=2，OF=4代入得：$\frac{1}{OE}=\frac{2}{4}$
解得OE=2
∵折射光线EC平行于主光轴，CD垂直主光轴，OE垂直主光轴
∴四边形OECD是矩形，因此CD=OE=2
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质，矩形的性质
【点评】
本题结合凸透镜成像规律考查几何知识的应用，解题核心是找到相似三角形，利用对应边成比例求解线段长度，能锻炼跨学科知识结合应用的能力。
【难度系数】
0.7
本题可结合相似三角形的判定与性质求解像的高度。首先观察图形，AB和OE都垂直于主光轴，可推出AB平行于OE，结合公共角可判定△ABF和△EOF相似，利用相似三角形对应边成比例求出OE的长度，再根据折射后EC平行于主光轴，可知四边形OECD是矩形，得到CD=OE即可得出结果。
【解析】
解：
∵AB垂直主光轴，OE垂直主光轴
∴AB//OE，∠ABF=∠EOF=90°
又
∵∠AFB=∠EFO（公共角）
∴△ABF∽△EOF
已知OB=6，OF=4，因此BF=OB-OF=6-4=2
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AB}{OE}=\frac{BF}{OF}$
将AB=1，BF=2，OF=4代入得：$\frac{1}{OE}=\frac{2}{4}$
解得OE=2
∵折射光线EC平行于主光轴，CD垂直主光轴，OE垂直主光轴
∴四边形OECD是矩形，因此CD=OE=2
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质，矩形的性质
【点评】
本题结合凸透镜成像规律考查几何知识的应用，解题核心是找到相似三角形，利用对应边成比例求解线段长度，能锻炼跨学科知识结合应用的能力。
【难度系数】
0.7
例5 如图,四边形ABCD内接于半圆O,AB是直径,C是$\overset{\frown}{BD}$的中点,延长AD,BC交于点E。
(1)求证:$CE=CD$。
(2)若$AB=5,BC=\sqrt{5}$,求AD的长。
(1)求证:$CE=CD$。
(2)若$AB=5,BC=\sqrt{5}$,求AD的长。
答案
解:(1)证明:连结 AC,如图
。因为 C 是 $\overset{\frown}{BD}$ 的中点,所以 $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$,
所以$∠ EAC=∠ BAC,CD=CB$。
因为 AB 是直径,
所以$∠ ACE=∠ ACB=90°$。
在$△ ACE$ 与$△ ACB$ 中,
$\begin{cases}∠ EAC=∠ BAC,\\AC=AC,\\∠ ACE=∠ ACB,\end{cases}$
所以$△ ACE≌△ ACB$(ASA),所以 $BC=EC$,
所以 $CD=CE$。
(2)连结 BD,如图
。由(1)知,$CE=BC=\sqrt{5}$,
所以 $BE=BC+CE=2\sqrt{5}$。
因为四边形 ABCD 内接于半圆 O,
所以$∠ ABC+∠ ADC=180°$。
因为 $∠ ADC + ∠ CDE = 180°$, 所以 $∠ ABC=∠ CDE$。
因为 $CE=CD$,所以$∠ E=∠ CDE=∠ ABC$。
因为 AB 为直径,所以$∠ ADB=90°$,所以$∠ BDE=90°$。
因为$∠ ACB=∠ BDE=90°,∠ ABC=∠ E$,
所以$△ ABC∽△ BED$,所以$\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{ED}$,
所以$\frac{5}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{ED}$,所以 $ED=2$。
因为$△ ACE≌△ ACB$,所以 $AE=AB=5$,
所以 $AD=AE-ED=5-2=3$。
解析
【分析】
(1) 要证$CE=CD$，可先由弧中点性质得$CD=CB$，因此只需证明$CE=CB$即可。AB是半圆直径，连接AC后可得到直径所对的圆周角为直角，即$∠ ACB=∠ ACE=90°$，结合C是$\overset{\frown}{BD}$中点可得$∠ EAC=∠ BAC$，即可通过ASA证明$△ ACE≌△ ACB$，得到$CE=CB$，进而推导得出$CE=CD$。
(2) 求$AD$的长时，由第一问的全等可得到$AE=AB=5$，因此只需算出$ED$的长度即可。连接BD，利用直径所对圆周角为直角得$∠ BDE=90°$，结合圆内接四边形的性质和等边对等角可证$△ ABC∽△ BED$，通过相似三角形的比例关系求出$ED$，再用$AE-ED$即可得到$AD$的长度。
【解析】
(1) 证明：连结 AC，如图。
因为 C 是 $\overset{\frown}{BD}$ 的中点，所以 $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$，
所以$∠ EAC=∠ BAC,CD=CB$。
因为 AB 是直径，
所以$∠ ACE=∠ ACB=90°$。
在$△ ACE$ 与$△ ACB$ 中,
$\begin{cases}∠ EAC=∠ BAC,\\AC=AC,\\∠ ACE=∠ ACB,\end{cases}$
所以$△ ACE≌△ ACB$(ASA)，所以 $BC=EC$,
所以 $CD=CE$。
(2) 连结 BD，如图。
由(1)知,$CE=BC=\sqrt{5}$,
所以 $BE=BC+CE=2\sqrt{5}$。
因为四边形 ABCD 内接于半圆 O,
所以$∠ ABC+∠ ADC=180°$。
因为 $∠ ADC + ∠ CDE = 180°$, 所以 $∠ ABC=∠ CDE$。
因为 $CE=CD$,所以$∠ E=∠ CDE=∠ ABC$。
因为 AB 为直径,所以$∠ ADB=90°$,所以$∠ BDE=90°$。
因为$∠ ACB=∠ BDE=90°,∠ ABC=∠ E$,
所以$△ ABC∽△ BED$,所以$\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{ED}$,
所以$\frac{5}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{ED}$,所以 $ED=2$。
因为$△ ACE≌△ ACB$,所以 $AE=AB=5$,
所以 $AD=AE-ED=5-2=3$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $AD=3$
【知识点】
圆周角定理；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的综合基础题，将圆的性质与三角形全等、相似的知识点结合考查，解题的核心是根据直径、弧中点等条件合理作辅助线，构建全等和相似关系求解，能够有效锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证$CE=CD$，可先由弧中点性质得$CD=CB$，因此只需证明$CE=CB$即可。AB是半圆直径，连接AC后可得到直径所对的圆周角为直角，即$∠ ACB=∠ ACE=90°$，结合C是$\overset{\frown}{BD}$中点可得$∠ EAC=∠ BAC$，即可通过ASA证明$△ ACE≌△ ACB$，得到$CE=CB$，进而推导得出$CE=CD$。
(2) 求$AD$的长时，由第一问的全等可得到$AE=AB=5$，因此只需算出$ED$的长度即可。连接BD，利用直径所对圆周角为直角得$∠ BDE=90°$，结合圆内接四边形的性质和等边对等角可证$△ ABC∽△ BED$，通过相似三角形的比例关系求出$ED$，再用$AE-ED$即可得到$AD$的长度。
【解析】
(1) 证明：连结 AC，如图
。因为 C 是 $\overset{\frown}{BD}$ 的中点，所以 $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$，
所以$∠ EAC=∠ BAC,CD=CB$。
因为 AB 是直径，
所以$∠ ACE=∠ ACB=90°$。
在$△ ACE$ 与$△ ACB$ 中,
$\begin{cases}∠ EAC=∠ BAC,\\AC=AC,\\∠ ACE=∠ ACB,\end{cases}$
所以$△ ACE≌△ ACB$(ASA)，所以 $BC=EC$,
所以 $CD=CE$。
(2) 连结 BD，如图
。由(1)知,$CE=BC=\sqrt{5}$,
所以 $BE=BC+CE=2\sqrt{5}$。
因为四边形 ABCD 内接于半圆 O,
所以$∠ ABC+∠ ADC=180°$。
因为 $∠ ADC + ∠ CDE = 180°$, 所以 $∠ ABC=∠ CDE$。
因为 $CE=CD$,所以$∠ E=∠ CDE=∠ ABC$。
因为 AB 为直径,所以$∠ ADB=90°$,所以$∠ BDE=90°$。
因为$∠ ACB=∠ BDE=90°,∠ ABC=∠ E$,
所以$△ ABC∽△ BED$,所以$\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{ED}$,
所以$\frac{5}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{ED}$,所以 $ED=2$。
因为$△ ACE≌△ ACB$,所以 $AE=AB=5$,
所以 $AD=AE-ED=5-2=3$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $AD=3$
【知识点】
圆周角定理；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的综合基础题，将圆的性质与三角形全等、相似的知识点结合考查，解题的核心是根据直径、弧中点等条件合理作辅助线，构建全等和相似关系求解，能够有效锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
变式 如图，AB是半圆的直径，C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，连结DB，AC交于点E，则$∠ DAB =$
$67.5°$
，$\frac{DE}{BE} =$ $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
。答案
$67.5°$ $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
解析
【分析】
先求解$∠ DAB$：利用圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，先推导各段弧的度数：AB为直径对应半圆弧度为$180°$，C是$\overset{\frown}{AB}$中点可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}=90°$，D是$\overset{\frown}{AC}$中点可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=45°$，$∠ DAB$对应弧为$\overset{\frown}{DB}$，计算弧长即可得到角度。再求解$\frac{DE}{BE}$：可通过建立平面直角坐标系，求出AC、DB两条直线的方程，联立得到交点E的坐标，再分别计算DE、BE的长度，最终得到比值。
【解析】
1. 求$∠ DAB$：
∵AB是半圆的直径，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$，
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}=90°$，
∵D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}=45°$，
∴$\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{DC}+\overset{\frown}{CB}=45°+90°=135°$，
根据圆周角定理，$∠ DAB=\frac{1}{2}\overset{\frown}{DB}=\frac{1}{2}×135°=67.5°$。
2. 求$\frac{DE}{BE}$：
设半圆半径为1，以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则$A(-1,0)$，$B(1,0)$，
由C是$\overset{\frown}{AB}$中点得$C(0,1)$，D是$\overset{\frown}{AC}$中点，对应圆心角为$135°$，故$D(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$，
直线AC过$A(-1,0)$、$C(0,1)$，斜率为1，方程为$y=x+1$，
直线DB过$D(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$、$B(1,0)$，斜率$k=\frac{0-\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}=1-\sqrt{2}$，方程为$y=(1-\sqrt{2})(x-1)$，
联立两方程$\begin{cases}y=x+1\\y=(1-\sqrt{2})(x-1)\end{cases}$，解得交点E的坐标为$(1-\sqrt{2},2-\sqrt{2})$，
计算得$BE=2\sqrt{2-\sqrt{2}}$，$DE=\sqrt{3-2\sqrt{2}}=(\sqrt{2}-1)\sqrt{2-\sqrt{2}}$，
故$\frac{DE}{BE}=\frac{(\sqrt{2}-1)\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2\sqrt{2-\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$。
【答案】
$67.5°$；$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
【知识点】
圆周角定理，直线方程求解，线段比值计算
【点评】
本题将圆的基本性质与代数计算结合考查，第一问可直接利用圆周角定理快速求解，第二问需要熟练掌握坐标系法解决几何交点、线段长度计算的技巧，能锻炼数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.65
先求解$∠ DAB$：利用圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，先推导各段弧的度数：AB为直径对应半圆弧度为$180°$，C是$\overset{\frown}{AB}$中点可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}=90°$，D是$\overset{\frown}{AC}$中点可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=45°$，$∠ DAB$对应弧为$\overset{\frown}{DB}$，计算弧长即可得到角度。再求解$\frac{DE}{BE}$：可通过建立平面直角坐标系，求出AC、DB两条直线的方程，联立得到交点E的坐标，再分别计算DE、BE的长度，最终得到比值。
【解析】
1. 求$∠ DAB$：
∵AB是半圆的直径，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$，
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}=90°$，
∵D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}=45°$，
∴$\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{DC}+\overset{\frown}{CB}=45°+90°=135°$，
根据圆周角定理，$∠ DAB=\frac{1}{2}\overset{\frown}{DB}=\frac{1}{2}×135°=67.5°$。
2. 求$\frac{DE}{BE}$：
设半圆半径为1，以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则$A(-1,0)$，$B(1,0)$，
由C是$\overset{\frown}{AB}$中点得$C(0,1)$，D是$\overset{\frown}{AC}$中点，对应圆心角为$135°$，故$D(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$，
直线AC过$A(-1,0)$、$C(0,1)$，斜率为1，方程为$y=x+1$，
直线DB过$D(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$、$B(1,0)$，斜率$k=\frac{0-\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}=1-\sqrt{2}$，方程为$y=(1-\sqrt{2})(x-1)$，
联立两方程$\begin{cases}y=x+1\\y=(1-\sqrt{2})(x-1)\end{cases}$，解得交点E的坐标为$(1-\sqrt{2},2-\sqrt{2})$，
计算得$BE=2\sqrt{2-\sqrt{2}}$，$DE=\sqrt{3-2\sqrt{2}}=(\sqrt{2}-1)\sqrt{2-\sqrt{2}}$，
故$\frac{DE}{BE}=\frac{(\sqrt{2}-1)\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2\sqrt{2-\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$。
【答案】
$67.5°$；$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
【知识点】
圆周角定理，直线方程求解，线段比值计算
【点评】
本题将圆的基本性质与代数计算结合考查，第一问可直接利用圆周角定理快速求解，第二问需要熟练掌握坐标系法解决几何交点、线段长度计算的技巧，能锻炼数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.65
