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10. 如图,在$△ ABC$中, $AB = AC$, $∠ A ＜ 90°$,点 $D,E,F$ 分别在边 $AB$, $BC$, $CA$上,连结 $DE$, $EF$, $FD$,已知点 $B$ 和点 $F$ 关于直线 $DE$对称。设$\frac{BC}{AB}=k$,若 $AD = DF$,则$\frac{CF}{FA}=$
$\frac{k^2}{2-k^2}$
。(结果用含 $k$ 的代数式表示)答案
10. $\frac{k^2}{2-k^2}$
【解析】如图,连结BF。
因为点B和点F关于直线DE对称，
所以DB=DF。
因为AD=DF，
所以AD=DB=DF，
所以BF⊥AC。
设AB=AC=1,则BC=k。
设CF=x,则AF=1−x。
由勾股定理得$AB^2−AF^2=BC^2−CF^2$，
所以$1^2−(1−x)^2=k^2−x^2$，
所以$x=\frac{k^2}{2}$，
所以$AF=1−x=\frac{2−k^2}{2}$，
所以$\frac{CF}{AF}=\frac{k^2}{2−k^2}$。
解析
【分析】
解题时首先从已知的轴对称条件入手，根据轴对称的性质可得DB=DF，结合AD=DF可推出AD=DB=DF，依据“若三角形一边上的中线等于该边长度的一半，则这个三角形是直角三角形”，可得BF⊥AC。接下来要求CF与FA的比值，可利用参数法简化计算：设AB=AC=1，由$\frac{BC}{AB}=k$得BC=k，设CF=x，那么AF=1-x，在Rt△ABF和Rt△CBF中，公共边BF的平方可以分别用两个三角形的勾股定理表示，据此列方程求解x的值，最后计算CF与AF的比值即可。
【解析】
解：如图，连结BF。
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴DB=DF。
又
∵AD=DF，
∴AD=DB=DF，
∴△ABF为直角三角形，∠AFB=90°，即BF⊥AC。
设AB=AC=1，则BC=k。
设CF=x，则AF=1−x。
在Rt△ABF和Rt△CBF中，由勾股定理得：
$BF^2=AB^2−AF^2$，$BF^2=BC^2−CF^2$，
∴$AB^2−AF^2=BC^2−CF^2$，
代入得$1^2−(1−x)^2=k^2−x^2$，
展开计算：$1-(1-2x+x^2)=k^2-x^2$，
即$2x -x^2 =k^2 -x^2$，
解得$x=\frac{k^2}{2}$，
∴$AF=1−x=1-\frac{k^2}{2}=\frac{2−k^2}{2}$，
∴$\frac{CF}{AF}=\frac{\frac{k^2}{2}}{\frac{2−k^2}{2}}=\frac{k^2}{2−k^2}$。
【答案】
$\frac{k^2}{2-k^2}$
【知识点】
轴对称的性质，直角三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查了几何性质的应用与代数计算的结合，解题的突破口是利用轴对称性质和已知线段相等关系推导出BF⊥AC，通过设参数将几何比值问题转化为方程求解问题，能有效锻炼综合运用几何知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知的轴对称条件入手，根据轴对称的性质可得DB=DF，结合AD=DF可推出AD=DB=DF，依据“若三角形一边上的中线等于该边长度的一半，则这个三角形是直角三角形”，可得BF⊥AC。接下来要求CF与FA的比值，可利用参数法简化计算：设AB=AC=1，由$\frac{BC}{AB}=k$得BC=k，设CF=x，那么AF=1-x，在Rt△ABF和Rt△CBF中，公共边BF的平方可以分别用两个三角形的勾股定理表示，据此列方程求解x的值，最后计算CF与AF的比值即可。
【解析】
解：如图，连结BF。
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴DB=DF。
又
∵AD=DF，
∴AD=DB=DF，
∴△ABF为直角三角形，∠AFB=90°，即BF⊥AC。
设AB=AC=1，则BC=k。
设CF=x，则AF=1−x。
在Rt△ABF和Rt△CBF中，由勾股定理得：
$BF^2=AB^2−AF^2$，$BF^2=BC^2−CF^2$，
∴$AB^2−AF^2=BC^2−CF^2$，
代入得$1^2−(1−x)^2=k^2−x^2$，
展开计算：$1-(1-2x+x^2)=k^2-x^2$，
即$2x -x^2 =k^2 -x^2$，
解得$x=\frac{k^2}{2}$，
∴$AF=1−x=1-\frac{k^2}{2}=\frac{2−k^2}{2}$，
∴$\frac{CF}{AF}=\frac{\frac{k^2}{2}}{\frac{2−k^2}{2}}=\frac{k^2}{2−k^2}$。
【答案】
$\frac{k^2}{2-k^2}$
【知识点】
轴对称的性质，直角三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查了几何性质的应用与代数计算的结合，解题的突破口是利用轴对称性质和已知线段相等关系推导出BF⊥AC，通过设参数将几何比值问题转化为方程求解问题，能有效锻炼综合运用几何知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共46分)
11. (12分)如图,在$△ ABC$中,D,E,F分别是AB,BC上的点,且$DE // AC$,$DF // AE$,$\frac{BD}{AD}=\frac{3}{2}$,$BF=9\ \mathrm{cm}$,求EF和EC的长。
11. (12分)如图,在$△ ABC$中,D,E,F分别是AB,BC上的点,且$DE // AC$,$DF // AE$,$\frac{BD}{AD}=\frac{3}{2}$,$BF=9\ \mathrm{cm}$,求EF和EC的长。
答案
11. 解:因为$DF// AE$，
所以$\frac{BF}{FE}=\frac{BD}{AD}=\frac{3}{2}$。
因为$BF=9\ \mathrm{cm}$，
所以$FE=6\ \mathrm{cm}$,$BE=BF+EF=15\ (\mathrm{cm})$。
因为$DE// AC$,所以$\frac{BE}{CE}=\frac{BD}{AD}=\frac{3}{2}$，
所以$CE=10\ \mathrm{cm}$。
所以$\frac{BF}{FE}=\frac{BD}{AD}=\frac{3}{2}$。
因为$BF=9\ \mathrm{cm}$，
所以$FE=6\ \mathrm{cm}$,$BE=BF+EF=15\ (\mathrm{cm})$。
因为$DE// AC$,所以$\frac{BE}{CE}=\frac{BD}{AD}=\frac{3}{2}$，
所以$CE=10\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
解题时先观察题目给出的两组平行条件，结合平行线分线段成比例定理思考：首先利用$DF// AE$，得到$△ ABE$中对应线段的比例关系，代入已知的$BF$长度和$\frac{BD}{AD}$的比值即可求出$EF$的长度；再计算出$BE$的总长度，接着利用$DE// AC$，得到$△ ABC$中对应线段的比例关系，代入$BE$的长度和$\frac{BD}{AD}$的比值就能求出$EC$的长度。
【解析】
解：$\because DF// AE$，
根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{BF}{FE}=\frac{BD}{AD}=\frac{3}{2}$。
已知$BF=9\ \mathrm{cm}$，代入比例式得$\frac{9}{FE}=\frac{3}{2}$，解得$FE=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BE=BF+EF=9+6=15\ (\mathrm{cm})$。
又$\because DE// AC$，
同理根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{BE}{CE}=\frac{BD}{AD}=\frac{3}{2}$，
代入$BE=15\ \mathrm{cm}$得$\frac{15}{CE}=\frac{3}{2}$，解得$CE=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$EF=6\ \mathrm{cm}$，$EC=10\ \mathrm{cm}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查平行线截三角形两边所得对应线段成比例的性质，解题的关键是找准平行线对应的成比例线段，避免比例的对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.8
解题时先观察题目给出的两组平行条件，结合平行线分线段成比例定理思考：首先利用$DF// AE$，得到$△ ABE$中对应线段的比例关系，代入已知的$BF$长度和$\frac{BD}{AD}$的比值即可求出$EF$的长度；再计算出$BE$的总长度，接着利用$DE// AC$，得到$△ ABC$中对应线段的比例关系，代入$BE$的长度和$\frac{BD}{AD}$的比值就能求出$EC$的长度。
【解析】
解：$\because DF// AE$，
根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{BF}{FE}=\frac{BD}{AD}=\frac{3}{2}$。
已知$BF=9\ \mathrm{cm}$，代入比例式得$\frac{9}{FE}=\frac{3}{2}$，解得$FE=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BE=BF+EF=9+6=15\ (\mathrm{cm})$。
又$\because DE// AC$，
同理根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{BE}{CE}=\frac{BD}{AD}=\frac{3}{2}$，
代入$BE=15\ \mathrm{cm}$得$\frac{15}{CE}=\frac{3}{2}$，解得$CE=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$EF=6\ \mathrm{cm}$，$EC=10\ \mathrm{cm}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查平行线截三角形两边所得对应线段成比例的性质，解题的关键是找准平行线对应的成比例线段，避免比例的对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.8
12. (17分)图1,图2均是$6×6$的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,点$A,B,C,D$均在格点上,在图1,图2中,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图,不要求写画法,保留必要的作图痕迹。
(1)在图1中以点$A$为位似中心、以线段$AD$为边画一个三角形,使它与$△ ABC$位似。
(2)在图2的线段$AB$上画一个点$P$,使$\frac{AP}{PB}=\frac{2}{3}$。
(1)在图1中以点$A$为位似中心、以线段$AD$为边画一个三角形,使它与$△ ABC$位似。
(2)在图2的线段$AB$上画一个点$P$,使$\frac{AP}{PB}=\frac{2}{3}$。
答案
12. 解:(1)如图1,$△ADE$即为所求。
(2)如图2,点P即为所求。
解析
【分析】
(1) 本小题考查位似图形作图，解题思路：首先明确位似中心为点A，已知AD在AB边上，要以AD为边作△ABC的位似三角形，即AB的对应边为AD，位似比为AD与AB的长度比；再根据位似图形对应边平行的性质，过D作BC的平行线，与AC的交点即为位似三角形的第三个顶点，即可得到所求图形。
(2) 本小题考查按比例分割线段，解题思路：要得到$\frac{AP}{PB}=\frac{2}{3}$，可利用平行线分线段成比例定理，结合网格格点的特征构造符合比例的相似三角形，作平行线与AB的交点即为所求的点P。
【解析】
(1) 观察网格可知点D在AB边上，AD为所求三角形的边，与△ABC的边AB对应，位似中心为A；过点D作$DE// BC$，交AC于点E，此时△ADE与△ABC的对应顶点连线均经过位似中心A，对应边互相平行，满足位似图形的定义，因此△ADE即为所求。
(2) 利用平行线分线段成比例定理作图：在网格中选取格点M、N，使得$AM// BN$且$AM:BN=2:3$，连接MN交AB于点P，此时由$△ AMP ∽ △ BNP$可得$\frac{AP}{PB}=\frac{AM}{BN}=\frac{2}{3}$，点P即为所求。
【答案】
(1)如图1，△ADE即为所求。
(2)如图2，点P即为所求。
【知识点】
位似图形作图，平行线分线段成比例，线段比例分割
【点评】
本题是网格背景下的几何作图题，侧重对相似章节核心性质、定理的应用考查，作图时结合格点的边长特征就能快速找到辅助线的位置，是对基础作图能力的检验。
【难度系数】
0.7
(1) 本小题考查位似图形作图，解题思路：首先明确位似中心为点A，已知AD在AB边上，要以AD为边作△ABC的位似三角形，即AB的对应边为AD，位似比为AD与AB的长度比；再根据位似图形对应边平行的性质，过D作BC的平行线，与AC的交点即为位似三角形的第三个顶点，即可得到所求图形。
(2) 本小题考查按比例分割线段，解题思路：要得到$\frac{AP}{PB}=\frac{2}{3}$，可利用平行线分线段成比例定理，结合网格格点的特征构造符合比例的相似三角形，作平行线与AB的交点即为所求的点P。
【解析】
(1) 观察网格可知点D在AB边上，AD为所求三角形的边，与△ABC的边AB对应，位似中心为A；过点D作$DE// BC$，交AC于点E，此时△ADE与△ABC的对应顶点连线均经过位似中心A，对应边互相平行，满足位似图形的定义，因此△ADE即为所求。
(2) 利用平行线分线段成比例定理作图：在网格中选取格点M、N，使得$AM// BN$且$AM:BN=2:3$，连接MN交AB于点P，此时由$△ AMP ∽ △ BNP$可得$\frac{AP}{PB}=\frac{AM}{BN}=\frac{2}{3}$，点P即为所求。
【答案】
(1)如图1，△ADE即为所求。
(2)如图2，点P即为所求。
【知识点】
位似图形作图，平行线分线段成比例，线段比例分割
【点评】
本题是网格背景下的几何作图题，侧重对相似章节核心性质、定理的应用考查，作图时结合格点的边长特征就能快速找到辅助线的位置，是对基础作图能力的检验。
【难度系数】
0.7
13.（17分）如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=5$，$BC=8$，点D在边AC上运动（不与A，C重合），$DE// BC$，交AB于点E，设$AD=x$，$△ BDE$的面积为$y$。
(1)求$y$关于$x$的函数关系式，及自变量$x$的取值范围。
(2)设BD与CE相交于点G，当G是$△ ABC$的重心时，求$△ BEG$的面积。
(1)求$y$关于$x$的函数关系式，及自变量$x$的取值范围。
(2)设BD与CE相交于点G，当G是$△ ABC$的重心时，求$△ BEG$的面积。
答案
13. 解:(1)因为$DE// BC$,所以$△ADE∽△ACB$，
所以$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$，
即$\frac{DE}{8}=\frac{x}{5}$，
所以$DE=\frac{8}{5}x$。
因为$∠ACB=90°,∠CDE+∠ACB=180°$，
所以$∠CDE=90°$。
依题意得$CD=5−x$，
因为$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}DE· CD$，
所以$y=-\frac{4}{5}x^2+4x(0＜x＜5)$。
(2)因为G是$△ABC$的重心，
所以$\frac{BG}{BD}=\frac{2}{3},AD=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}$，
所以$y=-\frac{4}{5}×\frac{25}{4}+4×\frac{5}{2}=5$。
因为$△BEG$与$△BED$同高，
所以$\frac{S_{△ BEG}}{S_{△ BDE}}=\frac{BG}{BD}$,即$\frac{S_{△ BEG}}{5}=\frac{2}{3}$，
所以$S_{△ BEG}=\frac{10}{3}$。
所以$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$，
即$\frac{DE}{8}=\frac{x}{5}$，
所以$DE=\frac{8}{5}x$。
因为$∠ACB=90°,∠CDE+∠ACB=180°$，
所以$∠CDE=90°$。
依题意得$CD=5−x$，
因为$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}DE· CD$，
所以$y=-\frac{4}{5}x^2+4x(0＜x＜5)$。
(2)因为G是$△ABC$的重心，
所以$\frac{BG}{BD}=\frac{2}{3},AD=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}$，
所以$y=-\frac{4}{5}×\frac{25}{4}+4×\frac{5}{2}=5$。
因为$△BEG$与$△BED$同高，
所以$\frac{S_{△ BEG}}{S_{△ BDE}}=\frac{BG}{BD}$,即$\frac{S_{△ BEG}}{5}=\frac{2}{3}$，
所以$S_{△ BEG}=\frac{10}{3}$。
解析
【分析】
(1) 要求y与x的函数关系式，首先由DE//BC可推出△ADE∽△ACB，利用相似三角形对应边成比例求出DE的长度；再结合∠ACB=90°，DE//BC可得DE⊥CD，即CD是△BDE中DE边上的高，CD=AC-AD=5-x，最后利用三角形面积公式即可整理出y关于x的函数式，再根据D的运动范围确定x的取值范围。
(2) 当G是△ABC的重心时，首先根据重心的性质可知D为AC中点，且重心分中线BD的比为BG:GD=2:1，即$\frac{BG}{BD}=\frac{2}{3}$；先将此时AD的长度代入(1)的函数式求出△BDE的面积，再根据△BEG和△BDE同高，面积比等于底边长的比，即可求出△BEG的面积。
【解析】
(1)
∵$DE//BC$，
∴$△ADE∽△ACB$，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$，
代入$BC=8$，$AD=x$，$AC=5$，得$\frac{DE}{8}=\frac{x}{5}$，解得$DE=\frac{8}{5}x$。
∵$∠ACB=90°$，$DE//BC$，
∴$∠CDE=∠ACB=90°$，即$CD⊥DE$，
又
∵$CD=AC-AD=5-x$，
∴$S_{△BDE}=\frac{1}{2}·DE·CD=\frac{1}{2}×\frac{8}{5}x×(5-x)$，
整理得$y=-\frac{4}{5}x^2+4x$，
∵点D不与A、C重合，
∴自变量x的取值范围是$0＜x＜5$。
(2)
∵G是$△ABC$的重心，
∴BD是$△ABC$的AC边上的中线，且重心分中线的比为$BG:GD=2:1$，即$\frac{BG}{BD}=\frac{2}{3}$，
∴$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}$，
将$x=\frac{5}{2}$代入(1)的函数关系式，得$y=-\frac{4}{5}×(\frac{5}{2})^2+4×\frac{5}{2}=5$，即$S_{△BDE}=5$，
∵$△BEG$与$△BED$同高，面积比等于对应底的比，
∴$\frac{S_{△BEG}}{S_{△BDE}}=\frac{BG}{BD}=\frac{2}{3}$，
∴$S_{△BEG}=5×\frac{2}{3}=\frac{10}{3}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{4}{5}x^2+4x(0＜x＜5)$
(2) $\frac{10}{3}$
【知识点】
相似三角形的性质，三角形重心的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形与函数、三角形性质结合的典型题型，解题时需先通过平行线得到相似三角形求出相关线段长度，再结合重心的比例性质转化面积关系，考查了综合运用知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要求y与x的函数关系式，首先由DE//BC可推出△ADE∽△ACB，利用相似三角形对应边成比例求出DE的长度；再结合∠ACB=90°，DE//BC可得DE⊥CD，即CD是△BDE中DE边上的高，CD=AC-AD=5-x，最后利用三角形面积公式即可整理出y关于x的函数式，再根据D的运动范围确定x的取值范围。
(2) 当G是△ABC的重心时，首先根据重心的性质可知D为AC中点，且重心分中线BD的比为BG:GD=2:1，即$\frac{BG}{BD}=\frac{2}{3}$；先将此时AD的长度代入(1)的函数式求出△BDE的面积，再根据△BEG和△BDE同高，面积比等于底边长的比，即可求出△BEG的面积。
【解析】
(1)
∵$DE//BC$，
∴$△ADE∽△ACB$，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$，
代入$BC=8$，$AD=x$，$AC=5$，得$\frac{DE}{8}=\frac{x}{5}$，解得$DE=\frac{8}{5}x$。
∵$∠ACB=90°$，$DE//BC$，
∴$∠CDE=∠ACB=90°$，即$CD⊥DE$，
又
∵$CD=AC-AD=5-x$，
∴$S_{△BDE}=\frac{1}{2}·DE·CD=\frac{1}{2}×\frac{8}{5}x×(5-x)$，
整理得$y=-\frac{4}{5}x^2+4x$，
∵点D不与A、C重合，
∴自变量x的取值范围是$0＜x＜5$。
(2)
∵G是$△ABC$的重心，
∴BD是$△ABC$的AC边上的中线，且重心分中线的比为$BG:GD=2:1$，即$\frac{BG}{BD}=\frac{2}{3}$，
∴$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}$，
将$x=\frac{5}{2}$代入(1)的函数关系式，得$y=-\frac{4}{5}×(\frac{5}{2})^2+4×\frac{5}{2}=5$，即$S_{△BDE}=5$，
∵$△BEG$与$△BED$同高，面积比等于对应底的比，
∴$\frac{S_{△BEG}}{S_{△BDE}}=\frac{BG}{BD}=\frac{2}{3}$，
∴$S_{△BEG}=5×\frac{2}{3}=\frac{10}{3}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{4}{5}x^2+4x(0＜x＜5)$
(2) $\frac{10}{3}$
【知识点】
相似三角形的性质，三角形重心的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形与函数、三角形性质结合的典型题型，解题时需先通过平行线得到相似三角形求出相关线段长度，再结合重心的比例性质转化面积关系，考查了综合运用知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
