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9. 在一个平衡的天平左、右两端托盘上分别放置质量为80克和30克的物品后，天平倾斜（如图所示）。现从质量为10克，20克，30克，40克的四件物品中，随机选取两件放置在天平的右端托盘上，则天平恢复平衡的概率为
$\frac{1}{3}$
。答案
9. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确天平恢复平衡的条件，计算出右端托盘需要额外添加的物品总质量；其次用列举法找出从四件物品中任选两件的所有等可能结果，再统计出总质量符合平衡要求的结果数；最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算出所求概率。
【解析】
1. 计算天平平衡时右端需添加的总质量
天平左端物品质量为80g，右端原有物品质量为30g，要使天平平衡，右端添加的两件物品总质量应为：$80 - 30 = 50\ \mathrm{g}$。
2. 列举所有等可能的选取结果
从10g、20g、30g、40g四件物品中随机选两件，所有等可能的结果如下：
①10g+20g=30g；②10g+30g=40g；③10g+40g=50g；④20g+30g=50g；⑤20g+40g=60g；⑥30g+40g=70g，共6种等可能结果。
3. 计算概率
其中两件物品总质量为50g的结果有2种，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{天平恢复平衡})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
简单概率计算；列举法计数；天平平衡原理
【点评】
本题结合生活中天平平衡的场景，考查学生对简单概率求解方法的掌握程度，解题关键是先明确平衡的条件，再准确列举所有情况，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确天平恢复平衡的条件，计算出右端托盘需要额外添加的物品总质量；其次用列举法找出从四件物品中任选两件的所有等可能结果，再统计出总质量符合平衡要求的结果数；最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算出所求概率。
【解析】
1. 计算天平平衡时右端需添加的总质量
天平左端物品质量为80g，右端原有物品质量为30g，要使天平平衡，右端添加的两件物品总质量应为：$80 - 30 = 50\ \mathrm{g}$。
2. 列举所有等可能的选取结果
从10g、20g、30g、40g四件物品中随机选两件，所有等可能的结果如下：
①10g+20g=30g；②10g+30g=40g；③10g+40g=50g；④20g+30g=50g；⑤20g+40g=60g；⑥30g+40g=70g，共6种等可能结果。
3. 计算概率
其中两件物品总质量为50g的结果有2种，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{天平恢复平衡})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
简单概率计算；列举法计数；天平平衡原理
【点评】
本题结合生活中天平平衡的场景，考查学生对简单概率求解方法的掌握程度，解题关键是先明确平衡的条件，再准确列举所有情况，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
10. 4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品。
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率。
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率。
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回。多次重复这个试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率。
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率。
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回。多次重复这个试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
答案
10. （1）因为4件同型号的产品中，有1件不合格品，所以 P(抽到不合格品)=$\frac{1}{4}$。
（2）设不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽2件的情况有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共6种情况，其中合格的有3种情形。
P(抽到的都是合格品)=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$。
（3）抽到合格品的概率为0.95，由$\frac{x+3}{x+4}$=0.95，解得x=16。
（2）设不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽2件的情况有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共6种情况，其中合格的有3种情形。
P(抽到的都是合格品)=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$。
（3）抽到合格品的概率为0.95，由$\frac{x+3}{x+4}$=0.95，解得x=16。
解析
【分析】
（1）第一问属于简单古典概型问题，先明确所有等可能的抽取结果总数，再找到抽到不合格品的结果数，代入概率公式即可求解。
（2）第二问是抽取2件的两步概率问题，可通过列举法罗列出所有等可能的抽取情况，统计出两次都是合格品的情况数后，代入概率公式计算即可，列举时需做到不重不漏。
（3）第三问利用频率估计概率的知识点，大量重复试验中频率的稳定值近似等于事件发生的概率，据此列出关于x的分式方程，解方程后验证结果合理性即可得到x的值。
【解析】
（1）从4件产品中随机抽取1件，共有4种等可能的结果，其中抽到不合格品的结果有1种，
∴$P(抽到不合格品)=\frac{1}{4}$。
（2）设不合格品为甲，3件合格品分别为乙、丙、丁，随机抽取2件的所有等可能结果为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种；其中抽到的都是合格品的结果有乙丙、乙丁、丙丁，共3种，
∴$P(抽到的都是合格品)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
（3）
∵多次重复试验后抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴估计抽到合格品的概率为0.95。
此时产品总数量为$(x+4)$件，合格品数量为$(x+3)$件，可列方程：
$\frac{x+3}{x+4}=0.95$
解得：$x+3=0.95x+3.8$
$0.05x=0.8$
$x=16$
经检验，$x=16$是原方程的解，符合题意。
【答案】
（1）$\frac{1}{4}$；（2）$\frac{1}{2}$；（3）16
【知识点】
简单概率计算，列举法求概率，频率估计概率
【点评】
本题是概率基础综合题，覆盖了单步概率、两步概率求解以及概率的实际应用，解题核心是掌握概率的计算公式和频率与概率的关系，列举等可能结果时要注意避免重复、遗漏，解分式方程后需验证结果符合实际意义。
【难度系数】
0.8
（1）第一问属于简单古典概型问题，先明确所有等可能的抽取结果总数，再找到抽到不合格品的结果数，代入概率公式即可求解。
（2）第二问是抽取2件的两步概率问题，可通过列举法罗列出所有等可能的抽取情况，统计出两次都是合格品的情况数后，代入概率公式计算即可，列举时需做到不重不漏。
（3）第三问利用频率估计概率的知识点，大量重复试验中频率的稳定值近似等于事件发生的概率，据此列出关于x的分式方程，解方程后验证结果合理性即可得到x的值。
【解析】
（1）从4件产品中随机抽取1件，共有4种等可能的结果，其中抽到不合格品的结果有1种，
∴$P(抽到不合格品)=\frac{1}{4}$。
（2）设不合格品为甲，3件合格品分别为乙、丙、丁，随机抽取2件的所有等可能结果为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种；其中抽到的都是合格品的结果有乙丙、乙丁、丙丁，共3种，
∴$P(抽到的都是合格品)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
（3）
∵多次重复试验后抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴估计抽到合格品的概率为0.95。
此时产品总数量为$(x+4)$件，合格品数量为$(x+3)$件，可列方程：
$\frac{x+3}{x+4}=0.95$
解得：$x+3=0.95x+3.8$
$0.05x=0.8$
$x=16$
经检验，$x=16$是原方程的解，符合题意。
【答案】
（1）$\frac{1}{4}$；（2）$\frac{1}{2}$；（3）16
【知识点】
简单概率计算，列举法求概率，频率估计概率
【点评】
本题是概率基础综合题，覆盖了单步概率、两步概率求解以及概率的实际应用，解题核心是掌握概率的计算公式和频率与概率的关系，列举等可能结果时要注意避免重复、遗漏，解分式方程后需验证结果符合实际意义。
【难度系数】
0.8
11. 从长度分别为3 cm,5 cm,7 cm,x(cm)（x为整数）的四条线段中任取三条作为边，要使它们能首尾相接构成三角形的概率为$\frac{1}{4}$，则x的值应满足什么条件？
答案
11. 1,2或大于等于12的整数。
解析
【分析】
首先，四条线段任取三条共有4种等可能的结果，先判断不含x的组合3cm、5cm、7cm必然能构成三角形。已知构成三角形的概率为$\frac{1}{4}$，说明4种组合中仅1种能构成三角形，即另外3种含x的组合均不能构成三角形。接下来结合三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），分别列出3种含x的组合不能构成三角形的条件，求解不等式组的整数解即可得到x的取值。
【解析】
解：从四条线段中任取三条，共有4种等可能的组合：
①3cm，5cm，7cm；②3cm，5cm，x cm；③3cm，7cm，x cm；④5cm，7cm，x cm。
∵$3+5＞7$，
∴组合①一定可以构成三角形。
∵构成三角形的概率为$\frac{1}{4}$，
∴4种组合中仅有1种能构成三角形，即组合②、③、④都不能构成三角形。
根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，不能构成三角形则存在两边之和≤第三边，且x为正整数：
1. 组合②不能构成三角形的条件：$x≥3+5=8$ 或 $x≤5-3=2$（$x＞0$）；
2. 组合③不能构成三角形的条件：$x≥3+7=10$ 或 $x≤7-3=4$；
3. 组合④不能构成三角形的条件：$x≥5+7=12$ 或 $x≤7-5=2$。
要同时满足三个组合都不能构成三角形，分两种情况：
（1）x较小时：取三个条件的公共部分，得$0＜x≤2$，x为整数，故$x=1$或$2$；
（2）x较大时：取三个条件的公共部分，得$x≥12$，x为整数。
综上，x的值为1，2或大于等于12的整数。
【答案】
1,2或大于等于12的整数。
【知识点】
三角形三边关系，列举法求概率，不等式组整数解
【点评】
本题将概率与三角形三边关系结合考查，解题时需先明确所有等可能的情况，再根据概率反推符合要求的情况数量，最后通过三边关系列不等式求解，注意不要遗漏x的取值范围的两种情况。
【难度系数】
0.4
首先，四条线段任取三条共有4种等可能的结果，先判断不含x的组合3cm、5cm、7cm必然能构成三角形。已知构成三角形的概率为$\frac{1}{4}$，说明4种组合中仅1种能构成三角形，即另外3种含x的组合均不能构成三角形。接下来结合三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），分别列出3种含x的组合不能构成三角形的条件，求解不等式组的整数解即可得到x的取值。
【解析】
解：从四条线段中任取三条，共有4种等可能的组合：
①3cm，5cm，7cm；②3cm，5cm，x cm；③3cm，7cm，x cm；④5cm，7cm，x cm。
∵$3+5＞7$，
∴组合①一定可以构成三角形。
∵构成三角形的概率为$\frac{1}{4}$，
∴4种组合中仅有1种能构成三角形，即组合②、③、④都不能构成三角形。
根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，不能构成三角形则存在两边之和≤第三边，且x为正整数：
1. 组合②不能构成三角形的条件：$x≥3+5=8$ 或 $x≤5-3=2$（$x＞0$）；
2. 组合③不能构成三角形的条件：$x≥3+7=10$ 或 $x≤7-3=4$；
3. 组合④不能构成三角形的条件：$x≥5+7=12$ 或 $x≤7-5=2$。
要同时满足三个组合都不能构成三角形，分两种情况：
（1）x较小时：取三个条件的公共部分，得$0＜x≤2$，x为整数，故$x=1$或$2$；
（2）x较大时：取三个条件的公共部分，得$x≥12$，x为整数。
综上，x的值为1，2或大于等于12的整数。
【答案】
1,2或大于等于12的整数。
【知识点】
三角形三边关系，列举法求概率，不等式组整数解
【点评】
本题将概率与三角形三边关系结合考查，解题时需先明确所有等可能的情况，再根据概率反推符合要求的情况数量，最后通过三边关系列不等式求解，注意不要遗漏x的取值范围的两种情况。
【难度系数】
0.4
