登录
6. 如图，正方形ABCD水平放置，其中心O有一根能自由转动的指针。自由转动指针两次，待指针停止时记下指针所指的三角形（若指针恰好与对角线重合，则重新转动）。求两次指针所指的三角形恰好相对的概率。
（第6题）
（第6题）答案
6. $\frac{1}{4}$
解析
【分析】
解题时首先明确试验的性质：正方形的两条对角线将正方形分成4个全等的三角形，转动指针一次，指向每个三角形的可能性相等，属于等可能事件。我们可以通过两种思路求解：第一种是先计算两次转动的所有等可能结果总数，再找出两次指向三角形恰好相对的结果数，代入概率公式计算；第二种是分步思考，第一次转动的结果不影响概率，只需计算第二次转动时转到对应相对三角形的概率即可。
【解析】
解：正方形的对角线将正方形分成4个全等的三角形，转动1次指针共有4种等可能的结果。
转动两次指针，总共有$4×4=16$种等可能的结果。
其中两次所指三角形恰好相对的情况共4种：（△AOB，△COD）、（△COD，△AOB）、（△BOC，△DOA）、（△DOA，△BOC）。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}$，可得：
$P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$
也可通过分步思路简化：第一次转动任意指向一个三角形，第二次转动时4个三角形中仅有1个与第一次指向的三角形相对，因此概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
正方形的性质，等可能事件，概率计算
【点评】
本题结合正方形特征考查简单概率的计算，解题核心是明确等可能结果的总数和符合要求的结果数，也可通过分步计数的思路快速得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确试验的性质：正方形的两条对角线将正方形分成4个全等的三角形，转动指针一次，指向每个三角形的可能性相等，属于等可能事件。我们可以通过两种思路求解：第一种是先计算两次转动的所有等可能结果总数，再找出两次指向三角形恰好相对的结果数，代入概率公式计算；第二种是分步思考，第一次转动的结果不影响概率，只需计算第二次转动时转到对应相对三角形的概率即可。
【解析】
解：正方形的对角线将正方形分成4个全等的三角形，转动1次指针共有4种等可能的结果。
转动两次指针，总共有$4×4=16$种等可能的结果。
其中两次所指三角形恰好相对的情况共4种：（△AOB，△COD）、（△COD，△AOB）、（△BOC，△DOA）、（△DOA，△BOC）。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}$，可得：
$P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$
也可通过分步思路简化：第一次转动任意指向一个三角形，第二次转动时4个三角形中仅有1个与第一次指向的三角形相对，因此概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
正方形的性质，等可能事件，概率计算
【点评】
本题结合正方形特征考查简单概率的计算，解题核心是明确等可能结果的总数和符合要求的结果数，也可通过分步计数的思路快速得出结果。
【难度系数】
0.7
7. 一个转盘游戏中，同时自由转动如图甲、乙两个转盘（两个转盘中指针落在每个区域的机会均等），转盘停止后，将指针所指区域的两个数相乘。求两个数之积为奇数的概率。
答案
7. $\frac{1}{4}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确乘积为奇数的条件：只有奇数与奇数相乘，积才是奇数，只要其中一个数是偶数，乘积就为偶数。接下来先计算两个转盘搭配的所有等可能结果总数，再计算两个数均为奇数的符合条件的结果数，最后用概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
解：
∵两个数的乘积为奇数的前提是两个数均为奇数。
甲转盘共有4种等可能的结果，其中转出奇数的结果有2种（数字1、3）；
乙转盘共有6种等可能的结果，其中转出奇数的结果有3种（数字1、3、5）；
∴两个转盘搭配的总等可能结果数为：$4×6=24$种，
乘积为奇数的符合条件的结果数为：$2×3=6$种，
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{两个数之积为奇数})=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
概率公式，奇偶运算性质，分步计数原理
【点评】
本题是概率的基础应用题型，解题的突破口是先根据奇偶乘法的性质筛选出符合要求的事件特征，避免枚举所有结果时出错，主要考查学生的逻辑分析能力和基础概率计算能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确乘积为奇数的条件：只有奇数与奇数相乘，积才是奇数，只要其中一个数是偶数，乘积就为偶数。接下来先计算两个转盘搭配的所有等可能结果总数，再计算两个数均为奇数的符合条件的结果数，最后用概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
解：
∵两个数的乘积为奇数的前提是两个数均为奇数。
甲转盘共有4种等可能的结果，其中转出奇数的结果有2种（数字1、3）；
乙转盘共有6种等可能的结果，其中转出奇数的结果有3种（数字1、3、5）；
∴两个转盘搭配的总等可能结果数为：$4×6=24$种，
乘积为奇数的符合条件的结果数为：$2×3=6$种，
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{两个数之积为奇数})=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
概率公式，奇偶运算性质，分步计数原理
【点评】
本题是概率的基础应用题型，解题的突破口是先根据奇偶乘法的性质筛选出符合要求的事件特征，避免枚举所有结果时出错，主要考查学生的逻辑分析能力和基础概率计算能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图,从A村去B村有3条道路,从B村去C村有2条道路。
（1）从A村经B村去C村有多少种不同的行走路线？
（2）某人从中任选一条路线，选中“先经A—B中路，再经B—C南路”的概率是多少？
（1）从A村经B村去C村有多少种不同的行走路线？
（2）某人从中任选一条路线，选中“先经A—B中路，再经B—C南路”的概率是多少？
答案
8. （1）6种 （2）$\frac{1}{6}$
解析
【分析】
（1）计算从A村经B村到C村的路线总数需分两步分析：第一步从A村到B村，第二步从B村到C村，总路线数为两个步骤的路线数的乘积，这是分步乘法计数原理的典型应用。（2）计算概率时，先确定所有等可能的总路线数，再找到符合要求的路线数，用符合条件的路线数除以总路线数即可得到对应概率。
【解析】
（1）从A村到B村共有3种不同的行走选择，从B村到C村共有2种不同的行走选择。根据分步乘法计数原理，从A村经B村去C村的总路线数为：$3×2=6$（种）。
（2）任选一条路线时，6种路线被选中的可能性相等，其中“先经A—B中路，再经B—C南路”的路线仅有1种，因此选中该路线的概率为：$P=\frac{\mathrm{符合条件的路线数}}{\mathrm{总路线数}}=\frac{1}{6}$。
【答案】
（1）6种；（2）$\frac{1}{6}$
【知识点】
分步乘法计数原理，古典概型概率计算
【点评】
本题结合实际生活中的路线选择问题，考查计数原理和概率的基础应用，解题核心是正确计算总路线数，整体逻辑清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
（1）计算从A村经B村到C村的路线总数需分两步分析：第一步从A村到B村，第二步从B村到C村，总路线数为两个步骤的路线数的乘积，这是分步乘法计数原理的典型应用。（2）计算概率时，先确定所有等可能的总路线数，再找到符合要求的路线数，用符合条件的路线数除以总路线数即可得到对应概率。
【解析】
（1）从A村到B村共有3种不同的行走选择，从B村到C村共有2种不同的行走选择。根据分步乘法计数原理，从A村经B村去C村的总路线数为：$3×2=6$（种）。
（2）任选一条路线时，6种路线被选中的可能性相等，其中“先经A—B中路，再经B—C南路”的路线仅有1种，因此选中该路线的概率为：$P=\frac{\mathrm{符合条件的路线数}}{\mathrm{总路线数}}=\frac{1}{6}$。
【答案】
（1）6种；（2）$\frac{1}{6}$
【知识点】
分步乘法计数原理，古典概型概率计算
【点评】
本题结合实际生活中的路线选择问题，考查计数原理和概率的基础应用，解题核心是正确计算总路线数，整体逻辑清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
