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4. 一个数的立方等于它本身，这个数是()
A.0
B.1
C.-1,1
D.-1,1,0
A.0
B.1
C.-1,1
D.-1,1,0
答案
D
解析
分别计算验证：$0^3=0$，$1^3=1$，$(-1)^3=-1$，可知立方等于它本身的数是-1、1、0。
5*. 一根1m长的绳子,第一次剪去绳子的$\frac{2}{3}$,第二次剪去剩下绳子的$\frac{2}{3}$,如此剪下去,第100次剪完后剩下绳子的长度是()
A.$(\frac{1}{3})^{99}\ \mathrm{m}$
B.$(\frac{2}{3})^{99}\ \mathrm{m}$
C.$(\frac{1}{3})^{100}\ \mathrm{m}$
D.$(\frac{2}{3})^{100}\ \mathrm{m}$
A.$(\frac{1}{3})^{99}\ \mathrm{m}$
B.$(\frac{2}{3})^{99}\ \mathrm{m}$
C.$(\frac{1}{3})^{100}\ \mathrm{m}$
D.$(\frac{2}{3})^{100}\ \mathrm{m}$
答案
C
解析
我们逐步推导剩余长度：
1. 初始绳子长1m，第一次剪去$\frac{2}{3}$后，剩下的长度为$1×(1-\frac{2}{3})=\frac{1}{3}=(\frac{1}{3})^1$ m；
2. 第二次剪去剩余绳子的$\frac{2}{3}$后，剩下的长度为$\frac{1}{3}×(1-\frac{2}{3})=(\frac{1}{3})^2$ m；
3. 以此类推，第n次剪完后剩下的绳子长度为$(\frac{1}{3})^n$ m；
因此第100次剪完后剩下绳子的长度是$(\frac{1}{3})^{100}$ m。
1. 初始绳子长1m，第一次剪去$\frac{2}{3}$后，剩下的长度为$1×(1-\frac{2}{3})=\frac{1}{3}=(\frac{1}{3})^1$ m；
2. 第二次剪去剩余绳子的$\frac{2}{3}$后，剩下的长度为$\frac{1}{3}×(1-\frac{2}{3})=(\frac{1}{3})^2$ m；
3. 以此类推，第n次剪完后剩下的绳子长度为$(\frac{1}{3})^n$ m；
因此第100次剪完后剩下绳子的长度是$(\frac{1}{3})^{100}$ m。
1. $(-3)^8$的底数是，指数是，读作。
答案
解：
$(-3)^8$的底数是$\boldsymbol{-3}$，指数是$\boldsymbol{8}$，读作$\boldsymbol{负三的八次方（或负三的八次幂）}$。
$(-3)^8$的底数是$\boldsymbol{-3}$，指数是$\boldsymbol{8}$，读作$\boldsymbol{负三的八次方（或负三的八次幂）}$。
2. 5个$\frac{1}{3}$相乘写成；$(-7)^6$写成
答案
解：
根据有理数乘方的定义，5个$\frac{1}{3}$相乘写成$\boldsymbol{(\frac{1}{3})^5}$；
$(-7)$的6次幂写成$\boldsymbol{(-7)^6}$。
根据有理数乘方的定义，5个$\frac{1}{3}$相乘写成$\boldsymbol{(\frac{1}{3})^5}$；
$(-7)$的6次幂写成$\boldsymbol{(-7)^6}$。
3. 计算：$(-1)^{2009}=$；$(-\dfrac{3}{4})^3=$；$-\dfrac{3^3}{4}=$.
答案
解：
$(-1)^{2009}=-1$；
$(-\dfrac{3}{4})^3=(-\dfrac{3}{4})×(-\dfrac{3}{4})×(-\dfrac{3}{4})=-\dfrac{27}{64}$；
$-\dfrac{3^3}{4}=-\dfrac{3×3×3}{4}=-\dfrac{27}{4}$。
最终答案依次为：$\boldsymbol{-1}$；$\boldsymbol{-\dfrac{27}{64}}$；$\boldsymbol{-\dfrac{27}{4}}$。
$(-1)^{2009}=-1$；
$(-\dfrac{3}{4})^3=(-\dfrac{3}{4})×(-\dfrac{3}{4})×(-\dfrac{3}{4})=-\dfrac{27}{64}$；
$-\dfrac{3^3}{4}=-\dfrac{3×3×3}{4}=-\dfrac{27}{4}$。
最终答案依次为：$\boldsymbol{-1}$；$\boldsymbol{-\dfrac{27}{64}}$；$\boldsymbol{-\dfrac{27}{4}}$。
4. 平方等于$\frac{1}{64}$的数是，立方等于$\frac{1}{64}$的数是。
答案
解：
$\because (\pm\frac{1}{8})^2 = \frac{1}{64}$，
$\therefore$ 平方等于$\frac{1}{64}$的数是$\pm\frac{1}{8}$。
$\because (\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$，
$\therefore$ 立方等于$\frac{1}{64}$的数是$\frac{1}{4}$。
$\because (\pm\frac{1}{8})^2 = \frac{1}{64}$，
$\therefore$ 平方等于$\frac{1}{64}$的数是$\pm\frac{1}{8}$。
$\because (\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$，
$\therefore$ 立方等于$\frac{1}{64}$的数是$\frac{1}{4}$。
5*. 意大利数学家斐波那契的《计算之书》中有这样一个问题:“在罗马有7位老妇人,每人赶着7头毛驴,每头毛驴驮着7只口袋,每只口袋里装着7个面包,每个面包附有7把餐刀,每把餐刀有7只刀鞘”,则刀鞘有只(用幂的形式表示).
答案
$\boldsymbol{7^6}$
解析
解：
由题意逐步计算：
毛驴总数为 $7×7=7^2$，
口袋总数为 $7^2×7=7^3$，
面包总数为 $7^3×7=7^4$，
餐刀总数为 $7^4×7=7^5$，
刀鞘总数为 $7^5×7=7^6$。
最终
由题意逐步计算：
毛驴总数为 $7×7=7^2$，
口袋总数为 $7^2×7=7^3$，
面包总数为 $7^3×7=7^4$，
餐刀总数为 $7^4×7=7^5$，
刀鞘总数为 $7^5×7=7^6$。
最终
三、解答题
1. 计算：
(1) $(1\dfrac{1}{2})^3$；
(2) $(-0.3)^3$；
(3) $-(-2)^4$；
(4) $-2^3 + (-3)^2$；
(5) $-6^2 ÷ (-6)^2$；
(6) $-2^2 ÷ \dfrac{4}{9} × (1\dfrac{2}{3})^2$。
1. 计算：
(1) $(1\dfrac{1}{2})^3$；
(2) $(-0.3)^3$；
(3) $-(-2)^4$；
(4) $-2^3 + (-3)^2$；
(5) $-6^2 ÷ (-6)^2$；
(6) $-2^2 ÷ \dfrac{4}{9} × (1\dfrac{2}{3})^2$。
答案
解：
(1) 原式$=(\dfrac{3}{2})^3=\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{2}=\dfrac{27}{8}$
(2) 原式$=(-0.3)×(-0.3)×(-0.3)=-0.027$
(3) 原式$=-[(-2)×(-2)×(-2)×(-2)]=-16$
(4) 原式$=-8 + 9=1$
(5) 原式$=-36÷36=-1$
(6) 原式$=-4÷\dfrac{4}{9}×(\dfrac{5}{3})^2=-4×\dfrac{9}{4}×\dfrac{25}{9}=-25$
(1) 原式$=(\dfrac{3}{2})^3=\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{2}=\dfrac{27}{8}$
(2) 原式$=(-0.3)×(-0.3)×(-0.3)=-0.027$
(3) 原式$=-[(-2)×(-2)×(-2)×(-2)]=-16$
(4) 原式$=-8 + 9=1$
(5) 原式$=-36÷36=-1$
(6) 原式$=-4÷\dfrac{4}{9}×(\dfrac{5}{3})^2=-4×\dfrac{9}{4}×\dfrac{25}{9}=-25$
