1.如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是()


A.若$∠ BAC = 90°$，则平行四边形ABCD是菱形
B.若$∠ ABC = 90°$，则平行四边形ABCD是矩形
C.若$AC ⊥ BD$，则平行四边形ABCD是菱形
D.若$AC=BD$且$AC ⊥ BD$，则平行四边形ABCD是正方形

A

【分析】
本题要求判断平行四边形基础上的特殊四边形判定结论是否正确，解题思路如下：首先回忆矩形、菱形、正方形的判定定理，再逐一验证每个选项的条件是否能推导出对应的结论，最终找出不正确的选项即可。
【解析】
我们结合特殊平行四边形的判定定理逐个分析选项：
1. 分析选项A：$∠ BAC=90°$仅表示对角线AC与边AB垂直，无法推出平行四边形ABCD的邻边相等，也不满足菱形的判定条件，因此不能得出该平行四边形是菱形，本选项结论错误。
2. 分析选项B：$∠ ABC$是平行四边形的内角，根据“有一个内角是直角的平行四边形是矩形”，可知若$∠ ABC=90°$，平行四边形ABCD是矩形，本选项结论正确。
3. 分析选项C：根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，若$AC⊥ BD$，平行四边形ABCD是菱形，本选项结论正确。
4. 分析选项D：若$AC=BD$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知该图形是矩形；又$AC⊥ BD$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可知该图形是菱形；既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，本选项结论正确。
综上，结论不正确的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
矩形的判定；菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查特殊平行四边形的判定规则，解题时要注意区分各判定的适用条件，尤其要注意选项A中的角是对角线与边的夹角，不是平行四边形的内角，避免因审题不细或概念混淆失分。
【难度系数】
0.8

2.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADC，交BC于点E，F是DE的中点。若AB=5，AD=9，则OF的长为（）


A.1
B.1.5
C.2
D.4

C

【分析】
解题时先从矩形的性质入手，先得到矩形各边的长度和对角线交点O是BD中点的结论；再利用角平分线的性质推出△EDC是等腰直角三角形，求出EC的长度，进而得到BE的长度；最后结合F是DE中点的条件，判断OF是△BDE的中位线，利用中位线定理即可求出OF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=5，BC=AD=9，∠ADC=∠BCD=90°，对角线AC、BD互相平分，即O为BD的中点。
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC=$\frac{1}{2}$∠ADC=45°，
在Rt△EDC中，∠DEC=90°-∠EDC=45°，
∴∠EDC=∠DEC，
∴EC=CD=5，
∴BE=BC-EC=9-5=4。
又
∵F是DE的中点，O是BD的中点，
∴OF是△BDE的中位线，
∴OF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$×4=2。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；等腰直角三角形的判定与性质；三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查了矩形、角平分线和三角形中位线的相关知识，解题的关键是先通过角平分线的性质求出BE的长度，再利用中位线定理计算OF的长度，是典型的几何综合基础题。
【难度系数】
0.6

3.如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，E是对角线AC上的一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G。若EG+EF=4，则菱形ABCD的面积为。

$\boldsymbol{16\sqrt{2}}$

【分析】
首先，菱形的四条边相等，对角线将菱形分为两个全等的三角形，因此菱形面积是△ABC面积的2倍。点E在对角线AC上，我们可以将△ABC的面积拆分为△ABE和△CBE的面积之和，结合EF⊥AB、EG⊥BC的条件，就能得到△ABC的面积与菱形边长的关系；再根据∠B=45°，求出BC边上的高与边长的关系，结合菱形面积=底×高的公式，联立即可求出边长，最终得到菱形的面积。
【解析】
解：设菱形ABCD的边长为$a$，即$AB=BC=a$。
1. 计算△ABC的面积：
$△ ABC$的面积$=S_{△ ABE}+S_{△ CBE}$
∵ $EF⊥ AB$，$EG⊥ BC$
∴ $S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AB× EF$，$S_{△ CBE}=\frac{1}{2}× BC× EG$
又
∵ $AB=BC=a$，$EF+EG=4$
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}a· EF+\frac{1}{2}a· EG=\frac{1}{2}a(EF+EG)=\frac{1}{2}a×4=2a$
2. 菱形ABCD的面积是$△ ABC$面积的2倍，因此$S_{菱形ABCD}=2×2a=4a$。
3. 过点A作$AH⊥ BC$于点H，在$Rt△ ABH$中，$∠ B=45°$，
∴ $AH=AB·\sin45°=a×\frac{\sqrt{2}}{2}$
菱形面积也可以表示为底×高，即$S_{菱形ABCD}=BC× AH=a×\frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{\sqrt{2}}{2}a^2$
4. 联立两个菱形面积的表达式：
$4a=\frac{\sqrt{2}}{2}a^2$
∵ $a≠0$，两边同时除以$a$得：$4=\frac{\sqrt{2}}{2}a$
解得 $a=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$
5. 代入$S_{菱形ABCD}=4a$，得$S=4×4\sqrt{2}=16\sqrt{2}$
【答案】
$\boldsymbol{16\sqrt{2}}$
【知识点】
菱形的性质，面积法，解直角三角形
【点评】
本题核心是通过拆分三角形面积建立已知条件和菱形边长的联系，考察学生对面积法的灵活运用能力，将零散条件结合推导是解题的关键。
【难度系数】
0.6

4. 提升题 如图,在正方形ABCD中,顶点A,B,C,D均在坐标轴上,已知点B的坐标为(2,0)。以AB为边作菱形ABEF,使点E落在x轴正半轴上。将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转,每次旋转90°,则第27次旋转结束时,点$F_{27}$的坐标为。

$\boldsymbol{(2,-2\sqrt{2})}$

【分析】
解题思路分三步：第一步先根据正方形性质求出点A坐标和AB的长度；第二步结合菱形的性质求出初始状态下点F的坐标；第三步分析旋转规律，每次旋转90°，每4次旋转为一个周期，计算27次旋转对应的等效旋转次数，再根据逆时针旋转90°的坐标变换规则求出最终$F_{27}$的坐标。
【解析】
1. 求点A坐标和AB长度：
∵正方形ABCD的对角线在坐标轴上，对角线互相垂直平分，点$B(2,0)$，
∴$OA=OB=2$，即$A(0,2)$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
2. 求初始点F的坐标：
∵四边形ABEF是菱形，
∴$AF=AB=2\sqrt{2}$，且$AF// BE$（BE在x轴上），
∴AF为水平线段，点F的纵坐标与A相同为2，横坐标为$0+2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，即初始F坐标为$(2\sqrt{2},2)$。
3. 分析旋转规律求$F_{27}$坐标：
∵每次绕点O逆时针旋转90°，每旋转4次图形回到初始位置，即周期为4，
$27÷4=6······3$，
∴第27次旋转等效于逆时针旋转3次90°，共旋转270°。
逆时针旋转90°的坐标变换规则：点$(x,y)$旋转后变为$(-y,x)$，依次推导：
旋转1次：$F_1(-2,2\sqrt{2})$
旋转2次：$F_2(-2\sqrt{2},-2)$
旋转3次：$F_3(2,-2\sqrt{2})$，即$F_{27}=F_3=(2,-2\sqrt{2})$。
【答案】
$(2,-2\sqrt{2})$
【知识点】
正方形的性质，菱形的性质，旋转的坐标变换
【点评】
本题将特殊四边形的性质与旋转规律结合考查，解题的核心是先准确求出初始点坐标，再利用旋转的周期性简化计算，需要熟练掌握坐标旋转的变换规则，避免旋转方向和次数判断错误。
【难度系数】
0.6

5.如图,已知E,F分别是$□ ABCD$的边BC,AD的中点,$∠ BAC=90°$。
(1)求证:四边形AECF是菱形。
(2)若$∠ B=60°,AB=2$,求$□ ABCD$的面积。

解：
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC。
∵ E，F分别是BC，AD的中点，
∴ $EC=\frac{1}{2}BC$，$AF=\frac{1}{2}AD$，
∴ AF=EC，且AF//EC，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
又∵ ∠BAC=90°，E是BC的中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}BC=EC$，
∴ 平行四边形AECF是菱形。
(2) 解：
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=2，
∴ ∠ACB=90°-60°=30°，
∴ BC=2AB=4，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· AC=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
∴ $S_{□ ABCD}=2S_{△ ABC}=4\sqrt{3}$。
答：$□ ABCD$的面积为$4\sqrt{3}$。

【分析】
(1)要证明四边形AECF是菱形，可先证其为平行四边形，再证一组邻边相等。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AD与BC平行且相等，结合E、F是边的中点，推出AF与EC平行且相等，先证得AECF是平行四边形；再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到AE=EC，即可证明是菱形。
(2)求平行四边形ABCD的面积，可先求Rt△ABC的面积再乘2。在Rt△ABC中，已知∠B=60°、AB=2，先由直角三角形两锐角互余得∠ACB=30°，推出BC=2AB，再用勾股定理求出AC长度，计算△ABC的面积后即可得到平行四边形的面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC。
∵ E，F分别是BC，AD的中点，
∴ $EC=\frac{1}{2}BC$，$AF=\frac{1}{2}AD$，
∴ AF=EC，且AF//EC，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
又
∵ ∠BAC=90°，E是BC的中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}BC=EC$，
∴ 平行四边形AECF是菱形。
(2) 解：
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=2，
∴ ∠ACB=90°-60°=30°，
∴ BC=2AB=4，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· AC=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
∴ $S_{□ ABCD}=2S_{△ ABC}=4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 四边形AECF是菱形，证明成立；(2) $□ ABCD$的面积为$4\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形的性质与判定、菱形的判定、直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，既考查了特殊四边形的判定逻辑，也结合了直角三角形的性质进行边长、面积计算，解题时要注意结合已知条件选择合适的判定定理，计算过程要准确运用勾股定理等知识点。
【难度系数】
0.7