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1.下列图形中，不属于正八边形内嵌于正方形的是()
答案
解：正八边形内嵌于正方形，要求正八边形的所有顶点都位于正方形的边界上。观察各选项，A、B、C中的正八边形所有顶点均在正方形的边上，选项D中的正八边形存在顶点落在正方形外部，不符合内嵌的定义。
故选：D。
故选：D。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确“正八边形内嵌于正方形”的核心要求：正八边形的所有顶点必须都在正方形的边界上。解题时只需逐一观察四个选项中正八边形的顶点位置，判断是否全部落在正方形的四条边上，存在顶点不在正方形边界上的选项即为本题答案。
【解析】
根据正八边形内嵌于正方形的定义，正八边形的所有顶点都应位于正方形的边界上。
逐一观察各选项：
选项A、B、C中的正八边形，所有顶点均在正方形的边上，符合内嵌要求；
选项D中的正八边形存在部分顶点落在正方形外部，不符合内嵌的定义。
因此不属于正八边形内嵌于正方形的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
图形内嵌定义，正八边形认识，图形位置判断
【点评】
本题侧重对几何基础概念的考查，解题的关键是准确理解图形内嵌的位置要求，通过直观观察即可完成判断，属于基础概念类题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确“正八边形内嵌于正方形”的核心要求：正八边形的所有顶点必须都在正方形的边界上。解题时只需逐一观察四个选项中正八边形的顶点位置，判断是否全部落在正方形的四条边上，存在顶点不在正方形边界上的选项即为本题答案。
【解析】
根据正八边形内嵌于正方形的定义，正八边形的所有顶点都应位于正方形的边界上。
逐一观察各选项：
选项A、B、C中的正八边形，所有顶点均在正方形的边上，符合内嵌要求；
选项D中的正八边形存在部分顶点落在正方形外部，不符合内嵌的定义。
因此不属于正八边形内嵌于正方形的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
图形内嵌定义，正八边形认识，图形位置判断
【点评】
本题侧重对几何基础概念的考查，解题的关键是准确理解图形内嵌的位置要求，通过直观观察即可完成判断，属于基础概念类题型。
【难度系数】
0.8
2.如图，若一个正八边形内嵌于边长为12的正方形，则这个正八边形的边长是。
答案
$\boldsymbol{12\sqrt{2}-12}$
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，正八边形内嵌于正方形，说明正方形四个角被截去的是全等的等腰直角三角形，等腰直角三角形的斜边就是正八边形的边长。我们可以设正八边形的边长为x，先通过等腰直角三角形的三边关系表示出直角边的长度，再根据“正方形边长=2倍等腰直角三角形直角边长+正八边形边长”建立方程，最后求解方程即可得到正八边形的边长。
【解析】
设正八边形的边长为$ x $，截去的等腰直角三角形的直角边长为$ a $。
1. 由等腰直角三角形的性质，斜边长为直角边长的$ \sqrt{2} $倍，而斜边就是正八边形的边长，因此：
$ x = \sqrt{2}a $，变形得$ a = \frac{x}{\sqrt{2}} $。
2. 观察正方形边长的构成：正方形边长等于两段等腰直角三角形的直角边加正八边形的边长，已知正方形边长为12，因此：
$ 2a + x = 12 $
3. 将$ a = \frac{x}{\sqrt{2}} $代入上式：
$ 2×\frac{x}{\sqrt{2}} + x = 12 $
化简得$ \sqrt{2}x + x =12 $
提取公因式：$ x(\sqrt{2}+1)=12 $
4. 求解$ x $，分母有理化：
$ x=\frac{12}{\sqrt{2}+1}=\frac{12(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=12(\sqrt{2}-1)=12\sqrt{2}-12 $
【答案】
$ 12\sqrt{2}-12 $
【知识点】
正多边形的性质；等腰直角三角形的性质；二次根式的运算
【点评】
本题考查几何图形中的方程思想应用，解题核心是找到正方形边长与正八边形边长的等量关系，通过等腰直角三角形的三边关系建立方程后，结合二次根式运算即可求解，能很好地锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征，正八边形内嵌于正方形，说明正方形四个角被截去的是全等的等腰直角三角形，等腰直角三角形的斜边就是正八边形的边长。我们可以设正八边形的边长为x，先通过等腰直角三角形的三边关系表示出直角边的长度，再根据“正方形边长=2倍等腰直角三角形直角边长+正八边形边长”建立方程，最后求解方程即可得到正八边形的边长。
【解析】
设正八边形的边长为$ x $，截去的等腰直角三角形的直角边长为$ a $。
1. 由等腰直角三角形的性质，斜边长为直角边长的$ \sqrt{2} $倍，而斜边就是正八边形的边长，因此：
$ x = \sqrt{2}a $，变形得$ a = \frac{x}{\sqrt{2}} $。
2. 观察正方形边长的构成：正方形边长等于两段等腰直角三角形的直角边加正八边形的边长，已知正方形边长为12，因此：
$ 2a + x = 12 $
3. 将$ a = \frac{x}{\sqrt{2}} $代入上式：
$ 2×\frac{x}{\sqrt{2}} + x = 12 $
化简得$ \sqrt{2}x + x =12 $
提取公因式：$ x(\sqrt{2}+1)=12 $
4. 求解$ x $，分母有理化：
$ x=\frac{12}{\sqrt{2}+1}=\frac{12(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=12(\sqrt{2}-1)=12\sqrt{2}-12 $
【答案】
$ 12\sqrt{2}-12 $
【知识点】
正多边形的性质；等腰直角三角形的性质；二次根式的运算
【点评】
本题考查几何图形中的方程思想应用，解题核心是找到正方形边长与正八边形边长的等量关系，通过等腰直角三角形的三边关系建立方程后，结合二次根式运算即可求解，能很好地锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
3.如图,一个正八边形内嵌于正方形,若∠ABC=10°,则∠ADC=°。
答案
$\boldsymbol{35}$
解析
【分析】
解题可按以下步骤思考：①先回忆正多边形的外角和相关性质，正八边形的每个外角是固定值，先计算出这个固定值；②结合正方形内角为90°、平角为180°的性质，梳理已知角∠ABC、正八边形的外角与所求角∠ADC的数量关系；③通过角度和差运算得到最终结果。利用任意多边形外角和恒为360°的性质，可快速算出正八边形每个外角为45°，再结合已知的∠ABC=10°，即可推导出∠ADC的度数。
【解析】
1. 计算正八边形的外角度数：任意多边形的外角和均为$360°$，正八边形的8个外角大小相等，因此每个外角为$360°÷8=45°$。
2. 结合图形角度关系推导：正八边形内嵌于正方形中，根据平角为$180°$的性质，结合已知$∠ ABC=10°$，可得：
$∠ ADC=180° - 45° - 10°=125°$
【答案】
$\boldsymbol{35}$
【知识点】
正多边形的外角性质；正方形的性质；角度计算
【点评】
本题侧重考查正多边形外角性质的综合应用，解题时利用外角和恒为360°的性质可简化计算，核心是结合图形准确梳理各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
解题可按以下步骤思考：①先回忆正多边形的外角和相关性质，正八边形的每个外角是固定值，先计算出这个固定值；②结合正方形内角为90°、平角为180°的性质，梳理已知角∠ABC、正八边形的外角与所求角∠ADC的数量关系；③通过角度和差运算得到最终结果。利用任意多边形外角和恒为360°的性质，可快速算出正八边形每个外角为45°，再结合已知的∠ABC=10°，即可推导出∠ADC的度数。
【解析】
1. 计算正八边形的外角度数：任意多边形的外角和均为$360°$，正八边形的8个外角大小相等，因此每个外角为$360°÷8=45°$。
2. 结合图形角度关系推导：正八边形内嵌于正方形中，根据平角为$180°$的性质，结合已知$∠ ABC=10°$，可得：
$∠ ADC=180° - 45° - 10°=125°$
【答案】
$\boldsymbol{35}$
【知识点】
正多边形的外角性质；正方形的性质；角度计算
【点评】
本题侧重考查正多边形外角性质的综合应用，解题时利用外角和恒为360°的性质可简化计算，核心是结合图形准确梳理各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
4. 提升题 已知四边形ABCD是正方形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图。（不写作法，保留作图痕迹）
（1）如图①，对角线AC，BD相交于点O。E，F，G，H分别是对角线AC，BD上的点，且是内嵌于正方形ABCD的正八边形的四个顶点，请作出完整的正八边形。
（2）如图②，E，F是内嵌于正方形ABCD的正八边形的两个顶点，$AE:EF:FB=1:\sqrt{2}:1$，请作出完整的正八边形。
（1）如图①，对角线AC，BD相交于点O。E，F，G，H分别是对角线AC，BD上的点，且是内嵌于正方形ABCD的正八边形的四个顶点，请作出完整的正八边形。
（2）如图②，E，F是内嵌于正方形ABCD的正八边形的两个顶点，$AE:EF:FB=1:\sqrt{2}:1$，请作出完整的正八边形。
答案
解：
（1）分别连接EF、FG、GH、HE，四条线段依次交AB、BC、CD、DA边于4个新顶点，顺次连接这4个新顶点与已知点E、F、G、H，所得八边形即为所求的完整正八边形。
（2）先连接正方形ABCD的对角线AC、BD，两线交于正方形中心O；连接EO并延长交CD边于点M，连接FO并延长交CD边于点N；连接ED交BD于点P，连接FC交AC于点Q，连接PO并延长交BC边于点R，连接QO并延长交AD边于点S；顺次连接E、P、S、M、N、R、Q、F，所得八边形即为所求的完整正八边形。
（作图时保留所有上述连线的痕迹即可）
（1）分别连接EF、FG、GH、HE，四条线段依次交AB、BC、CD、DA边于4个新顶点，顺次连接这4个新顶点与已知点E、F、G、H，所得八边形即为所求的完整正八边形。
（2）先连接正方形ABCD的对角线AC、BD，两线交于正方形中心O；连接EO并延长交CD边于点M，连接FO并延长交CD边于点N；连接ED交BD于点P，连接FC交AC于点Q，连接PO并延长交BC边于点R，连接QO并延长交AD边于点S；顺次连接E、P、S、M、N、R、Q、F，所得八边形即为所求的完整正八边形。
（作图时保留所有上述连线的痕迹即可）
解析
【分析】
（1）已知正八边形的4个顶点在正方形的对角线上，结合正八边形的对称性，剩余4个顶点在正方形的四条边上。只需连接相邻的已知顶点，连线与正方形各边的交点就是剩余的4个顶点，顺次连接所有8个顶点即可得到完整的正八边形。
（2）正方形和正八边形均为中心对称图形，对称中心是正方形对角线的交点。首先作正方形对角线找到中心O，再利用中心对称的性质，将AB边上的已知点E、F对称到对边CD上，再通过连线得到位于对角线、其余边上的剩余顶点，最后顺次连接所有顶点即可完成作图。
【解析】
（1）正八边形的顶点均匀分布，相邻已知点的连线必然经过正方形边上的剩余顶点，因此连接EF、FG、GH、HE后与正方形四边的交点就是剩余的4个顶点，顺次连接所有顶点即可。
（2）先利用正方形对角线确定对称中心O，再通过中心对称将AB边上的E、F映射到CD边上，接着通过连线找到对角线上的其余顶点，再利用中心对称得到BC、AD边上的顶点，最后顺次连接所有8个顶点即为所求正八边形，作图时需保留所有连线痕迹。
【答案】
（1）分别连接EF、FG、GH、HE，四条线段依次交AB、BC、CD、DA边于4个新顶点，顺次连接这4个新顶点与已知点E、F、G、H，所得八边形即为所求。
（2）先连接正方形ABCD的对角线AC、BD，两线交于正方形中心O；连接EO并延长交CD边于点M，连接FO并延长交CD边于点N；连接ED交BD于点P，连接FC交AC于点Q，连接PO并延长交BC边于点R，连接QO并延长交AD边于点S；顺次连接E、P、S、M、N、R、Q、F，所得八边形即为所求。
（作图时保留所有上述连线的痕迹即可）
【知识点】
1. 正方形的性质
2. 正八边形的性质
3. 中心对称的应用
【点评】
本题属于无刻度直尺作图题，充分结合了正方形与正八边形的对称特征，需要灵活运用图形的对称性确定未知顶点的位置，能够有效锻炼几何直观与动手操作能力。
【难度系数】
0.3
（1）已知正八边形的4个顶点在正方形的对角线上，结合正八边形的对称性，剩余4个顶点在正方形的四条边上。只需连接相邻的已知顶点，连线与正方形各边的交点就是剩余的4个顶点，顺次连接所有8个顶点即可得到完整的正八边形。
（2）正方形和正八边形均为中心对称图形，对称中心是正方形对角线的交点。首先作正方形对角线找到中心O，再利用中心对称的性质，将AB边上的已知点E、F对称到对边CD上，再通过连线得到位于对角线、其余边上的剩余顶点，最后顺次连接所有顶点即可完成作图。
【解析】
（1）正八边形的顶点均匀分布，相邻已知点的连线必然经过正方形边上的剩余顶点，因此连接EF、FG、GH、HE后与正方形四边的交点就是剩余的4个顶点，顺次连接所有顶点即可。
（2）先利用正方形对角线确定对称中心O，再通过中心对称将AB边上的E、F映射到CD边上，接着通过连线找到对角线上的其余顶点，再利用中心对称得到BC、AD边上的顶点，最后顺次连接所有8个顶点即为所求正八边形，作图时需保留所有连线痕迹。
【答案】
（1）分别连接EF、FG、GH、HE，四条线段依次交AB、BC、CD、DA边于4个新顶点，顺次连接这4个新顶点与已知点E、F、G、H，所得八边形即为所求。
（2）先连接正方形ABCD的对角线AC、BD，两线交于正方形中心O；连接EO并延长交CD边于点M，连接FO并延长交CD边于点N；连接ED交BD于点P，连接FC交AC于点Q，连接PO并延长交BC边于点R，连接QO并延长交AD边于点S；顺次连接E、P、S、M、N、R、Q、F，所得八边形即为所求。
（作图时保留所有上述连线的痕迹即可）
【知识点】
1. 正方形的性质
2. 正八边形的性质
3. 中心对称的应用
【点评】
本题属于无刻度直尺作图题，充分结合了正方形与正八边形的对称特征，需要灵活运用图形的对称性确定未知顶点的位置，能够有效锻炼几何直观与动手操作能力。
【难度系数】
0.3
5.某广场计划铺设边长为2 m的正方形地砖，如图所示，其中内嵌于正方形的正八边形部分用彩色瓷砖，截去的四个角用白色瓷砖。已知彩色瓷砖的价格是80元/m²，白色瓷砖的价格是50元/m²，铺设100块地砖共需花费多少元？（结果精确到1元，参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$）
答案
解：设截去的每个等腰直角三角形的直角边长为$ x \, \mathrm{m} $，则正八边形的边长为$ \sqrt{2}x \, \mathrm{m} $。
由正方形边长为2m，得：
$2x + \sqrt{2}x = 2$
解得：
$x = \frac{2}{2+\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}$
四个白色等腰直角三角形的总面积为：
$S_{\mathrm{白}} = 4 × \frac{1}{2}x^2 = 2x^2 = 2×(2-\sqrt{2})^2 = 12 - 8\sqrt{2}$
正八边形（彩色部分）的面积为：
$S_{\mathrm{彩}} = 2^2 - S_{\mathrm{白}} = 4 - (12-8\sqrt{2}) = 8\sqrt{2} - 8$
单块地砖的铺设费用为：
$\begin{aligned}\mathrm{单块费用} &= 80S_{\mathrm{彩}} + 50S_{\mathrm{白}} \\&= 80×(8\sqrt{2}-8) + 50×(12-8\sqrt{2}) \\&= 640\sqrt{2} - 640 + 600 - 400\sqrt{2} \\&= 240\sqrt{2} - 40\end{aligned}$
代入$ \sqrt{2}\approx1.414 $，得单块费用≈$ 240×1.414 - 40 = 299.36 $元。
100块地砖总花费为：
$299.36 × 100 = 29936 \mathrm{元}$
答：铺设100块地砖共需花费29936元。
由正方形边长为2m，得：
$2x + \sqrt{2}x = 2$
解得：
$x = \frac{2}{2+\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}$
四个白色等腰直角三角形的总面积为：
$S_{\mathrm{白}} = 4 × \frac{1}{2}x^2 = 2x^2 = 2×(2-\sqrt{2})^2 = 12 - 8\sqrt{2}$
正八边形（彩色部分）的面积为：
$S_{\mathrm{彩}} = 2^2 - S_{\mathrm{白}} = 4 - (12-8\sqrt{2}) = 8\sqrt{2} - 8$
单块地砖的铺设费用为：
$\begin{aligned}\mathrm{单块费用} &= 80S_{\mathrm{彩}} + 50S_{\mathrm{白}} \\&= 80×(8\sqrt{2}-8) + 50×(12-8\sqrt{2}) \\&= 640\sqrt{2} - 640 + 600 - 400\sqrt{2} \\&= 240\sqrt{2} - 40\end{aligned}$
代入$ \sqrt{2}\approx1.414 $，得单块费用≈$ 240×1.414 - 40 = 299.36 $元。
100块地砖总花费为：
$299.36 × 100 = 29936 \mathrm{元}$
答：铺设100块地砖共需花费29936元。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路逐步推导：首先观察图形特征，截去的四个角是全等的等腰直角三角形，且正八边形各边长相等。我们先设等腰直角三角形的直角边长为$x\ \mathrm{m}$，根据等腰直角三角形的性质，它的斜边长（即正八边形的边长）为$\sqrt{2}x\ \mathrm{m}$。结合正方形边长为2m，可知正方形边长等于2个直角边长加正八边形的边长，据此列方程求出$x$的值。接下来分别计算白色部分（四个等腰直角三角形）和彩色部分（正八边形）的面积，再结合两种瓷砖的单价算出单块地砖的铺设费用，最后乘100即可得到100块地砖的总花费。
【解析】
解：设截去的每个等腰直角三角形的直角边长为$ x \, \mathrm{m} $，则正八边形的边长等于等腰直角三角形的斜边长，即$ \sqrt{2}x \, \mathrm{m} $。
根据正方形边长为2m，可列方程：
$2x + \sqrt{2}x = 2$
解得：
$x = \frac{2}{2+\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}$
四个白色等腰直角三角形的总面积为：
$S_{\mathrm{白}} = 4 × \frac{1}{2}x^2 = 2x^2 = 2×(2-\sqrt{2})^2 = 12 - 8\sqrt{2}\ \mathrm{m^2}$
正八边形（彩色部分）的面积为正方形面积减去白色部分面积：
$S_{\mathrm{彩}} = 2^2 - S_{\mathrm{白}} = 4 - (12-8\sqrt{2}) = 8\sqrt{2} - 8\ \mathrm{m^2}$
单块地砖的铺设费用为：
$\begin{aligned}\mathrm{单块费用} &= 80S_{\mathrm{彩}} + 50S_{\mathrm{白}} \\&= 80×(8\sqrt{2}-8) + 50×(12-8\sqrt{2}) \\&= 640\sqrt{2} - 640 + 600 - 400\sqrt{2} \\&= 240\sqrt{2} - 40\ \mathrm{元}\end{aligned}$
代入$ \sqrt{2}\approx1.414 $，得单块费用≈$ 240×1.414 - 40 = 299.36 $元。
100块地砖总花费为：
$299.36 × 100 = 29936\ \mathrm{元}$
【答案】
铺设100块地砖共需花费29936元。
【知识点】
等腰直角三角形性质，二次根式运算，一元一次方程应用
【点评】
本题是几何与实际生活结合的应用题，需要结合图形特征找到边长的等量关系列方程求解，重点考察了图形性质的运用、二次根式的化简计算以及近似计算的准确性，解题时要注意理清各部分面积的关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.65
要解决这个问题，我们可以按以下思路逐步推导：首先观察图形特征，截去的四个角是全等的等腰直角三角形，且正八边形各边长相等。我们先设等腰直角三角形的直角边长为$x\ \mathrm{m}$，根据等腰直角三角形的性质，它的斜边长（即正八边形的边长）为$\sqrt{2}x\ \mathrm{m}$。结合正方形边长为2m，可知正方形边长等于2个直角边长加正八边形的边长，据此列方程求出$x$的值。接下来分别计算白色部分（四个等腰直角三角形）和彩色部分（正八边形）的面积，再结合两种瓷砖的单价算出单块地砖的铺设费用，最后乘100即可得到100块地砖的总花费。
【解析】
解：设截去的每个等腰直角三角形的直角边长为$ x \, \mathrm{m} $，则正八边形的边长等于等腰直角三角形的斜边长，即$ \sqrt{2}x \, \mathrm{m} $。
根据正方形边长为2m，可列方程：
$2x + \sqrt{2}x = 2$
解得：
$x = \frac{2}{2+\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}$
四个白色等腰直角三角形的总面积为：
$S_{\mathrm{白}} = 4 × \frac{1}{2}x^2 = 2x^2 = 2×(2-\sqrt{2})^2 = 12 - 8\sqrt{2}\ \mathrm{m^2}$
正八边形（彩色部分）的面积为正方形面积减去白色部分面积：
$S_{\mathrm{彩}} = 2^2 - S_{\mathrm{白}} = 4 - (12-8\sqrt{2}) = 8\sqrt{2} - 8\ \mathrm{m^2}$
单块地砖的铺设费用为：
$\begin{aligned}\mathrm{单块费用} &= 80S_{\mathrm{彩}} + 50S_{\mathrm{白}} \\&= 80×(8\sqrt{2}-8) + 50×(12-8\sqrt{2}) \\&= 640\sqrt{2} - 640 + 600 - 400\sqrt{2} \\&= 240\sqrt{2} - 40\ \mathrm{元}\end{aligned}$
代入$ \sqrt{2}\approx1.414 $，得单块费用≈$ 240×1.414 - 40 = 299.36 $元。
100块地砖总花费为：
$299.36 × 100 = 29936\ \mathrm{元}$
【答案】
铺设100块地砖共需花费29936元。
【知识点】
等腰直角三角形性质，二次根式运算，一元一次方程应用
【点评】
本题是几何与实际生活结合的应用题，需要结合图形特征找到边长的等量关系列方程求解，重点考察了图形性质的运用、二次根式的化简计算以及近似计算的准确性，解题时要注意理清各部分面积的关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.65
