6. 提升题 如图,在矩形ABCD中,AB=4 cm,AD=6 cm。点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿AD边向终点D运动;同时,点Q从点C出发,以1 cm/s的速度沿CB边向终点B运动。设运动时间为t s。
(1)当0＜t＜6时,判断四边形BQDP的形状,并说明理由。
(2)当0＜t＜6时,写出四边形BQDP的面积S(单位:cm²)与运动时间t(单位:s)之间的关系式。
(3)四边形BQDP可能为菱形吗?若可能,求出t的值;若不可能,请说明理由。

解：(1)四边形BQDP是平行四边形。
理由如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，AD=BC=6 cm。
由题意得AP = t cm，CQ = t cm，
∴ PD = AD - AP = (6 - t) cm，BQ = BC - CQ = (6 - t) cm，
∴ PD = BQ。
又∵ PD//BQ，
∴ 四边形BQDP是平行四边形。
(2) ∵ 平行四边形BQDP的底BQ=(6 - t) cm，底边上的高等于AB的长度4 cm，
∴ S = BQ · AB = 4(6 - t) = -4t + 24，
即S = -4t + 24 (0 ＜ t ＜ 6)。
(3) 四边形BQDP可能为菱形。
若四边形BQDP为菱形，则需满足BP = PD。
∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠A = 90°。
在Rt△ABP中，AP = t cm，AB = 4 cm，
由勾股定理得BP = √(AP² + AB²) = √(t² + 16) cm。
又∵ PD = (6 - t) cm，
∴ √(t² + 16) = 6 - t，
两边平方得：t² + 16 = 36 - 12t + t²，
整理得12t = 20，解得t = 5/3。
∵ 0 ＜ 5/3 ＜ 6，符合题意，
∴ 当t = 5/3时，四边形BQDP为菱形。

【分析】
(1) 判断四边形形状时，先利用矩形对边平行且相等的性质，结合两个点的运动速度、运动时间，分别表示出线段PD和BQ的长度，得到二者相等，再结合PD与BQ平行的位置关系，即可判定四边形的形状；
(2) 求平行四边形面积时，确定底为BQ，底边上的高等于矩形的边AB的长度，根据平行四边形面积公式代入计算即可得到S与t的关系式；
(3) 菱形的邻边相等，因此若四边形BQDP为菱形，需要满足BP=PD，在Rt△ABP中利用勾股定理表示出BP的长度，和PD的表达式列方程求解，最后验证解是否在0＜t＜6的范围内即可。
【解析】
(1) 四边形BQDP是平行四边形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，AD=BC=6 cm。
由题意得AP = t cm，CQ = t cm，
∴ PD = AD - AP = (6 - t) cm，BQ = BC - CQ = (6 - t) cm，
∴ PD = BQ。
又
∵ PD//BQ，
∴ 四边形BQDP是平行四边形。
(2)
∵ 平行四边形BQDP的底BQ=(6 - t) cm，底边上的高等于AB的长度4 cm，
∴ S = BQ · AB = 4(6 - t) = -4t + 24，
即S = -4t + 24 (0 ＜ t ＜ 6)。
(3) 四边形BQDP可能为菱形。
若四边形BQDP为菱形，则需满足BP = PD。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A = 90°。
在Rt△ABP中，AP = t cm，AB = 4 cm，
由勾股定理得BP = √(AP² + AB²) = √(t² + 16) cm。
又
∵ PD = (6 - t) cm，
∴ √(t² + 16) = 6 - t，
两边平方得：t² + 16 = 36 - 12t + t²，
整理得12t = 20，解得t = $\frac{5}{3}$。
∵ 0 ＜ $\frac{5}{3}$ ＜ 6，符合题意，
∴ 当t = $\frac{5}{3}$时，四边形BQDP为菱形。
【答案】
(1) 四边形BQDP是平行四边形；
(2) $S=-4t+24(0＜t＜6)$；
(3) 可能，$t=\frac{5}{3}$。
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形面积计算；菱形的判定
【点评】
本题为矩形背景下的动点综合题，考查了特殊四边形的性质与判定，解题时需要结合动点的运动规律正确表示相关线段的长度，第三问求解后要注意验证结果是否符合题目的取值要求，对方程思想的应用有一定要求。
【难度系数】
0.65