1. (2026·福建中考)已知抛物线$y=-x^2+bx+c$.
(1)若$b=1,c=2$,求抛物线的顶点坐标；
(2)若抛物线上存在一点$P(x_0,y_0)$在$x$轴上方,求证:抛物线与$x$轴有两个交点；
(3)抛物线与$x$轴交于$A,B$两点,与$y$轴交于点$C(0,2)$,直线$y=bx+2$与$y=-bx-1$相交于点$D$,$E$是$y$轴上不与点$C$重合的点.若坐标平面内存在点$M$满足$MA=MB=MC=ME$,试探究$CD$和$DE$的数量关系,并证明.

1. (1)
∵ b=1,c=2,
∴ y=-x²+x+2=-(x-1/2)²+9/4,
∴ 抛物线的顶点坐标为(1/2,9/4).
(2)
∵ 抛物线上的点P(x₀,y₀)在x轴上方,
∴ y₀=-x₀²+bx₀+c＞0,
∴ c=x₀²-bx₀+y₀,
∴ b²-4ac=b²-4×(-1)×c=b²+4c=b²+4x₀²-4bx₀+4y₀=(2x₀-b)²+4y₀＞0,即方程-x²+bx+c=0有两个不相等的实数根,
∴ 抛物线与x轴有两个交点.
(3) CD和DE的数量关系是CD=DE,证明:抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,2),如图.
故可设A(x₁,0),B(x₂,0),x₁＞x₂,则x₁,x₂是方程-x²+bx+2=0的两根,由求根公式可得x₁=(b+√(b²+8))/2,x₂=(b-√(b²+8))/2,又坐标平面内存在点M满足MA=MB=MC,由对称性可设M(b/2,m),由勾股定理可得,MA²=(b/2-(b+√(b²+8))/2)²+(m-0)²,MC²=(b/2)²+(m-2)²,
∴ (b/2-(b+√(b²+8))/2)²+(m-0)²=(b/2)²+(m-2)²,解得m=1/2,
∴ 点M的坐标为(b/2,1/2).
∵ 直线y=bx+2与y=-bx-1相交于点D,
∴ b≠0,联立{y=bx+2,y=-bx-1,解得{x=-3/(2b),y=1/2,
∴ 点D的坐标为(-3/(2b),1/2),由M(b/2,1/2),D(-3/(2b),1/2)可知MD⊥CE,又
∵ MC=ME,
∴ MD垂直平分CE,
∴ CD=DE.

2. (2025·眉山中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=x^2+bx+c$关于直线$x=-3$对称,与$x$轴交于$A(-1,0)$、$B$两点,与$y$轴交于点$C$.
(1)求抛物线的表达式.
(2)点$P$为抛物线对称轴上一点,连接$BP$,将线段$BP$绕点$P$逆时针旋转$90°$,使点$B$的对应点$D$恰好落在抛物线上,求此时点$P$的坐标.
(3)在线段$OC$上是否存在点$Q$,使$2AQ+\sqrt{2}CQ$存在最小值?若存在,请直接写出点$Q$的坐标及最小值;若不存在,请说明理由.

2. (1)
∵ 抛物线y=x²+bx+c关于直线x=-3对称,与x轴交于A(-1,0)、B两点,
∴ B(-5,0),
∴ 抛物线的表达式为y=(x+1)(x+5)=x²+6x+5.
(2)
∵ 点P在对称轴上,设对称轴与x轴交于点E,
∴ 设P(-3,p),E(-3,0).由旋转的性质可得PB=PD,∠BPD=90°.当点P在x轴上方时,
∵ A,B关于对称轴对称,
∴ PA=PB,
∴ 当∠APB=90°时,满足题意,此时点D与点A重合,PE=1/2 AB.
∵ A(-1,0),B(-5,0),
∴ AB=4,
∴ PE=2,
∴ P(-3,2);
当点P在x轴下方时,如图①,作D'F⊥对称轴于点F,则∠D'FP'=∠BEP'=∠BP'D'=90°,
∴ ∠BP'E=∠P'D'F=90°-∠D'P'F.又
∵ BP'=D'P',
∴ △BP'E≌△P'D'F,
∴ D'F=P'E,P'F=BE.
∵ B(-5,0),E(-3,0),P'(-3,p),
∴ D'F=P'E=-p,P'F=BE=2,OE=3,
∴ EF=-p+2,
∴ D'(p-3,p-2),把D'(p-3,p-2)代入y=x²+6x+5,得p-2=(p-3)²+6(p-3)+5,解得p=-1或p=2(舍去),
∴ P'(-3,-1).综上,点P的坐标为(-3,2)或(-3,-1).
(3) 存在点Q(0,1),使2AQ+√2 CQ存在最小值为6√2.
解析:如图②,在x轴上取点M(5,0),连接AC,CM,过点A作AH⊥CM于点H,交y轴于Q',过点Q作QG⊥CM于点G.
则OM=5,∠QGC=90°.
∵ y=x²+6x+5,
∴ 当x=0时,y=5,
∴ C(0,5),
∴ OC=OM=5,
∴ CM=√2 OC=5√2,∠OCM=∠OMC=45°,
∴ △QGC为等腰直角三角形,
∴ QG=CG=√2/2 CQ,
∴ 2AQ+√2 CQ=2(AQ+√2/2 CQ)=2(AQ+QG)≥2AH,
∴ 当点Q与点Q'重合时,2AQ+√2 CQ的值最小,为2AH的长.
∵ A(-1,0),
∴ OA=1,AM=6.
∵ S△ACM=1/2 AM·OC=1/2 CM·AH,
∴ 6×5=5√2 AH,
∴ AH=3√2,
∴ 2AQ+√2 CQ的最小值为6√2.在Rt△AHM中,∠AMH=45°,
∴ ∠MAH=45°,
∴ △OAQ'为等腰直角三角形,
∴ OQ'=OQ=OA=1,
∴ Q(0,1).
综上,存在点Q(0,1),使2AQ+√2 CQ存在最小值为6√2.