3. (2026·绥化中考节选)综合与探究.
已知抛物线$y=ax^2+bx+4$与$x$轴交于点$A(-1,0),B(4,0)$,与$y$轴交于点$C$,点$O$为坐标原点,作直线$BC$.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)把抛物线$y=ax^2+bx+4$沿射线$BC$方向平移,平移后,新抛物线$y'$过点$C$,点$E$是新抛物线$y'$对称轴与$x$轴的交点,点$F$是新抛物线$y'$对称轴上的动点,连接$FC,FO$.若$FO$平分$∠ CFE$,请直接写出符合条件的点$F$坐标.(自行完成作图并作答)

3. (1)
∵ 抛物线y=ax²+bx+4经过点A(-1,0),B(4,0),
∴ {a-b+4=0,16a+4b+4=0,解得{a=-1,b=3,
∴ y=-x²+3x+4.
(2)
∵ 抛物线y=-x²+3x+4=-(x-3/2)²+25/4沿射线BC方向平移,平移后,新抛物线y'过点C,
∴ 相当于点C与点B是平移前后的对应点,即把原抛物线向左平移4个单位长度,再向上平移4个单位长度得出新抛物线y',
∴ y'=-(x-3/2+4)²+25/4+4=-(x+5/2)²+41/4,
∴ 新抛物线的对称轴为直线x=-5/2,E(-5/2,0).
∵ FO平分∠CFE,
∴ ∠EFO=∠CFO.
∵ EF//y轴,
∴ ∠EFO=∠COF,
∴ ∠CFO=∠COF,
∴ CF=CO.设F(-5/2,n),
∵ C(0,4),O(0,0),
∴ √((0+5/2)²+(4-n)²)=4,解得n=4±√39/2,
∴ F的坐标为(-5/2,4+√39/2)或(-5/2,4-√39/2).

4. (衡阳中考)如图,已知抛物线$y=ax^2-2ax+3$($a≠0$)与$x$轴交于点$A(-1,0)$和点$B$,与$y$轴交于点$C$,连接$AC$,过$B,C$两点作直线.
(1)求$a$的值.
(2)将直线$BC$向下平移$m$($m＞0$)个单位长度,交抛物线于$B',C'$两点.在直线$B'C'$上方的抛物线上是否存在定点$D$,无论$m$取何值时,都是点$D$到直线$B'C'$的距离最大?若存在,请求出点$D$的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)抛物线上是否存在点$P$,使$∠PBC + ∠ACO=45°$?若存在,请求出直线$BP$的表达式;若不存在,请说明理由.

备用图

4. (1)
∵ 抛物线y=ax²-2ax+3与x轴交于点A(-1,0),
∴ a+2a+3=0,
∴ a=-1.
(2) 存在定点D,无论m取何值时,都是点D到直线B'C'的距离最大.由(1)得抛物线的表达式为y=-x²+2x+3,当x=0时,y=3,
∴ C(0,3).当y=0时,-x²+2x+3=0,解得x₁=-1,x₂=3,
∴ B(3,0).设直线BC的表达式为y=kx+b,则{3k+b=0,b=3,解得{k=-1,b=3,
∴ 直线BC的表达式为y=-x+3.
∵ 将直线BC向下平移m(m＞0)个单位长度,交抛物线于B',C'两点,
∴ 直线B'C'的表达式为y=-x+3-m.设D(t,-t²+2t+3),过点D作DE//y轴,交B'C'于点E,作DF⊥B'C'于点F,设直线B'C'交y轴于点G,如图①,
∴ E(t,-t+3-m).
∴ DE=-t²+2t+3-(-t+3-m)=-t²+3t+m.
∵ OB=OC=3,∠BOC=90°,
∴ ∠BCO=∠CBO=45°.
∵ B'C'//BC,
∴ ∠B'GO=∠BCO=45°.
∵ DE//y轴,
∴ ∠DEF=∠B'GO=45°.
∵ ∠DFE=90°,
∴ △DEF是等腰直角三角形.
∴ DF=√2/2 DE=√2/2 (-t²+3t+m)=-√2/2 (t-3/2)²+√2/2 (9/4 +m).
∵ -√2/2 ＜0,
∴ 当t=3/2时,DF取得最大值为√2/2 (9/4 +m),此时点D的坐标为(3/2,15/4).
(3) 存在.当∠PBC在BC的下方时,在y轴正半轴上取点M(0,1),连接BM并延长,交抛物线于点P,如图②.
∵ A(-1,0),B(3,0),C(0,3),M(0,1),
∴ OB=OC=3,OM=OA=1,∠BOM=∠COA=90°,
∴ △BOM≌△COA(SAS),
∴ ∠MBO=∠ACO.
∵ ∠CBO=45°,
∴ ∠CBP+∠MBO=45°,
∴ ∠CBP+∠ACO=45°.设直线BM的表达式为y=k'x+b',则{3k'+b'=0,b'=1,解得{k'=-1/3,b'=1.
∴ 直线BM的表达式为y=-1/3 x+1.联立抛物线与直线BM的表达式,得{y=-1/3 x+1,y=-x²+2x+3,解得{x₁=3,y₁=0(舍去)或{x₂=-2/3,y₂=11/9.
∴ P(-2/3,11/9).
当∠PBC在BC的上方时,作点M关于直线BC的对称点M',如图③,连接MM',CM',直线BM'交抛物线于P.由对称得MM'⊥BC,CM'=CM=2,∠BCM'=∠BCM=45°,
∴ ∠MCM'=90°.
∴ M'(2,3).则直线BM'的表达式为y=-3x+9,联立抛物线与直线BM'的表达式,得{y=-3x+9,y=-x²+2x+3,解得{x₁=3,y₁=0(舍去)或{x₂=2,y₂=3.
∴ P(2,3).综上所述,抛物线上存在点P,使∠PBC+∠ACO=45°,直线BP的表达式为y=-1/3 x+1或y=-3x+9.