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1. (2024·达州中考节选)如图, 抛物线 $y = ax^2 + kx - 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-3,0)$ 和点 $B(1,0)$,与 $y$ 轴交于点 $C$.点 $D$ 是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)若点 $N$ 是抛物线对称轴上位于点 $D$ 上方的一动点,是否存在以点 $N,A,C$ 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出满足条件的点 $N$ 的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的表达式;
(2)若点 $N$ 是抛物线对称轴上位于点 $D$ 上方的一动点,是否存在以点 $N,A,C$ 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出满足条件的点 $N$ 的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
1. (1)
∵ 抛物线 $y = ax^2 + kx - 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-3,0)$ 和点 $B(1,0)$,
∴ $\begin{cases}9a-3k-3=0,\\a+k-3=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=1,\\k=2,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为 $y=x^2+2x-3$.
(2) 存在. 符合条件的点 $N$ 的坐标为 $(-1,\sqrt{14})$ 或 $(-1,-\sqrt{14})$ 或 $(-1,-1)$ 或 $(-1,\sqrt{17}-3)$. 解析:
∵ $A(-3,0)$, $C(0,-3)$,
∴ $AC^2=3^2+3^2=18$.
∵ 点 $N$ 是抛物线对称轴上位于点 $D$ 上方的一动点,设$N(-1,n)$,其中 $n＞-4$,
∴ $AN^2=(-3+1)^2+n^2=4+n^2$, $CN^2=1^2+(n+3)^2=n^2+6n+10$. ①当 $AN=AC$ 时, $4+n^2=18$, 解得 $n=\sqrt{14}$ 或 $n=-\sqrt{14}$; ②当 $NA=NC$ 时, $4+n^2=n^2+6n+10$, 解得 $n=-1$; ③当 $CA=CN$ 时, $18=n^2+6n+10$, 解得 $n=\sqrt{17}-3$ 或 $n=-\sqrt{17}-3$(舍去). 综上所述, 符合条件的点 $N$ 的坐标为 $(-1,\sqrt{14})$ 或 $(-1,-\sqrt{14})$ 或 $(-1,-1)$ 或 $(-1,\sqrt{17}-3)$.
∵ 抛物线 $y = ax^2 + kx - 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-3,0)$ 和点 $B(1,0)$,
∴ $\begin{cases}9a-3k-3=0,\\a+k-3=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=1,\\k=2,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为 $y=x^2+2x-3$.
(2) 存在. 符合条件的点 $N$ 的坐标为 $(-1,\sqrt{14})$ 或 $(-1,-\sqrt{14})$ 或 $(-1,-1)$ 或 $(-1,\sqrt{17}-3)$. 解析:
∵ $A(-3,0)$, $C(0,-3)$,
∴ $AC^2=3^2+3^2=18$.
∵ 点 $N$ 是抛物线对称轴上位于点 $D$ 上方的一动点,设$N(-1,n)$,其中 $n＞-4$,
∴ $AN^2=(-3+1)^2+n^2=4+n^2$, $CN^2=1^2+(n+3)^2=n^2+6n+10$. ①当 $AN=AC$ 时, $4+n^2=18$, 解得 $n=\sqrt{14}$ 或 $n=-\sqrt{14}$; ②当 $NA=NC$ 时, $4+n^2=n^2+6n+10$, 解得 $n=-1$; ③当 $CA=CN$ 时, $18=n^2+6n+10$, 解得 $n=\sqrt{17}-3$ 或 $n=-\sqrt{17}-3$(舍去). 综上所述, 符合条件的点 $N$ 的坐标为 $(-1,\sqrt{14})$ 或 $(-1,-\sqrt{14})$ 或 $(-1,-1)$ 或 $(-1,\sqrt{17}-3)$.
2. (遂宁中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,-3).
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图①,E为△ABC边AB上的一动点,F为BC边上的一动点,D点坐标为(0,-2),求△DEF周长的最小值;
(3)如图②,N为射线CB上的一点,M是抛物线上的一点,M,N均在第一象限内,B,N位于直线AM的同侧,若M到x轴的距离为d,△AMN的面积为2d,当△AMN为等腰三角形时,求点N的坐标.
备用图
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图①,E为△ABC边AB上的一动点,F为BC边上的一动点,D点坐标为(0,-2),求△DEF周长的最小值;
(3)如图②,N为射线CB上的一点,M是抛物线上的一点,M,N均在第一象限内,B,N位于直线AM的同侧,若M到x轴的距离为d,△AMN的面积为2d,当△AMN为等腰三角形时,求点N的坐标.
备用图
答案
2. (1)
∵ $A(-1,0)$,$C(0,-3)$ 在 $y=x^2+bx+c$ 的图象上,代入解得抛物线的表达式为 $y=x^2-2x-3$.
(2) 如图①
,设 $D_1$ 为 $D$ 关于直线 $AB$ 的对称点,$D_2$ 为 $D$ 关于直线 $BC$ 的对称点,连接 $D_1 E$、$D_2 F$、$D_1 D_2$、$DD_2$、$CD_2$,由对称的性质可知 $DE = D_1 E$,$DF = D_2 F$,$△ DEF$ 的周长为 $DE+EF+DF=D_1 E+EF+D_2 F$,∴ 当 $D_1,E,F,D_2$ 在同一直线上时,$△ DEF$ 的周长最小,最小值为 $D_1 D_2$ 的长度.
令 $y=0$,则 $x^2-2x-3=0$,解得 $x_1=3$,$x_2=-1$.
∴ 点 $B$ 的坐标为 $(3,0)$,
∴ $OB=OC=3$,
∴ $△ BOC$ 为等腰直角三角形.
∵ $BC$ 垂直平分 $DD_2$,且 $D$ 点坐标为 $(0,-2)$,
∴ $D_2(1,-3)$.
又
∵ $D,D_1$ 关于直线 $AB$ 对称,
∴ $D_1(0,2)$,
∴ $D_1 D_2=\sqrt{CD_1^2+CD_2^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$,
∴ $△ DEF$ 周长的最小值为 $\sqrt{26}$.
(3)
∵ $M$ 到 $x$ 轴的距离为 $d$,$AB=4$,如图②
,连接 $BM$,∴ $S_{△ ABM}=2d$. 又
∵ $S_{△ AMN}=2d$,
∴ $S_{△ ABM}=S_{△ AMN}$,
∴ $B,N$ 到直线 $AM$ 的距离相等. 又
∵ $B,N$ 在直线 $AM$ 的同侧,
∴ $AM // BN$. 设直线 $BC$ 的表达式为 $y=kx+m$,则 $\begin{cases}-3=m,\\0=3k+m,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}k=1,\\m=-3,\end{cases}$
∴ 直线 $BC$ 的表达式为 $y=x-3$,
∴ 可设直线 $AM$ 的表达式为 $y=x+n$.
∵ $A(-1,0)$,
∴ 直线 $AM$ 的表达式为 $y=x+1$,联立直线 $AM$ 与抛物线的表达式,得 $\begin{cases}y=x+1,\\y=x^2-2x-3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x_1=-1,\\y_1=0\end{cases}$(舍去)或 $\begin{cases}x_2=4,\\y_2=5,\end{cases}$
∴ 点 $M$ 的坐标为 $(4,5)$.
∵ 点 $N$ 在射线 $CB$ 上,
∴ 设点 $N$ 的坐标为 $(t,t-3)$.
∵ $A(-1,0)$,$M(4,5)$,$N(t,t-3)$,过点 $M$ 作 $x$ 轴的平行线 $l$,过点 $N$ 作 $y$ 轴的平行线交 $x$ 轴于点 $P$,交直线 $l$ 于点 $Q$,则易得 $AM=5\sqrt{2}$,$AN=\sqrt{(t+1)^2+(t-3)^2}$,$MN=\sqrt{(t-4)^2+(t-8)^2}$. 当$△ AMN$ 为等腰三角形时,分三种情况进行讨论:
①当 $AN=AM$ 时, $\sqrt{(t+1)^2+(t-3)^2}=5\sqrt{2}$,解得 $t_1=1+\sqrt{21}$,$t_2=1-\sqrt{21}$;
②当 $MN=AM$ 时, $\sqrt{(t-4)^2+(t-8)^2}=5\sqrt{2}$,解得 $t_1=6+\sqrt{21}$,$t_2=6-\sqrt{21}$;
③当 $AN=MN$ 时, $\sqrt{(t+1)^2+(t-3)^2} = \sqrt{(t-4)^2+(t-8)^2}$,解得 $t=\dfrac{7}{2}$.
∵ 点 $N$ 在第一象限且为射线 $CB$ 上的一点,
∴ $t＞3$,
∴ $t$ 的值为 $\dfrac{7}{2}$ 或 $1+\sqrt{21}$ 或 $6+\sqrt{21}$,
∴ 点 $N$ 的坐标为 $(\dfrac{7}{2},\dfrac{1}{2})$ 或 $(1+\sqrt{21},-2+\sqrt{21})$ 或 $(6+\sqrt{21},3+\sqrt{21})$.
