3. (2026·达州中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=a(x+1)(x-3)$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.直线$y=x+m$经过点C,与x轴交于点$D(-3,0)$.
(1)求m的值及抛物线的函数表达式;
(2)若线段EF在抛物线的对称轴上运动,且$EF=2$,求四边形DCEF周长最小时点E的坐标;
(3)将抛物线沿射线BC方向平移$3\sqrt{2}$个单位长度,点G为平移后的抛物线对称轴上一动点,请问是否存在以A,C,G为顶点的直角三角形?若存在,直接写出点G的坐标;若不存在,说明理由.

备用图

3. (1)
∵ 直线 $y=x+m$ 与 $x$ 轴交于点 $D(-3,0)$,
∴ 把 $D(-3,0)$ 代入 $y=x+m$ 得 $0=-3+m$,解得 $m=3$,
∴ 直线表达式为 $y=x+3$.
∵ 直线 $y=x+3$ 经过点 $C$,且点 $C$ 在 $y$ 轴上,
∴ 令 $x=0$,得 $y=3$,
∴ $C(0,3)$.
∵ 抛物线 $y=a(x+1)(x-3)$ 与 $y$ 轴交于点 $C$,
∴ 把 $C(0,3)$ 代入 $y=a(x+1)(x-3)$,得 $3=-3a$,解得 $a=-1$,
∴ $y=a(x+1)(x-3)=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3$. 综上所述,$m=3$,抛物线的函数表达式为 $y=-x^2+2x+3$.
(2)
∵ $C(0,3)$,$D(-3,0)$,
∴ $OC=3$,$OD=3$,
∴ $CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$.
∵ $EF=2$,
∴ 四边形 $DCEF$ 的周长为 $CD+EF+CE+DF=3\sqrt{2}+2+CE+DF$,
∴ 求四边形 $DCEF$ 周长的最小值,只需求 $CE+DF$ 的最小值.
∵ 抛物线的函数表达式为 $y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,
∴ 抛物线的对称轴为直线 $x=1$.
∵ $E,F$ 在直线 $x=1$ 上,且 $EF=2$,$E$ 在 $F$ 上方,
∴ 设 $E(1,t)$,$F(1,t-2)$.
如图①,把点 $D$ 向上平移 2 个单位长度得 $D'(-3,2)$,作 $D''$ 与 $D'$ 关于直线 $x=1$ 对称,则 $D''(5,2)$,连接 $D'D$,$D'D''$,$ED''$,$ED'$,$CD''$.
在四边形 $DFED'$ 中,
∵ $DD' ⊥ x$ 轴,$EF ⊥ x$ 轴,
∴ $DD' // EF$.
∵ $DD'=EF=2$,
∴ 四边形 $DFED'$ 是平行四边形,
∴ $DF=D'E$,
∴ $CE+DF=CE+D'E$.
∵ $D'$ 与 $D''$ 关于直线 $x=1$ 对称,$E$ 在直线 $x=1$ 上,
∴ $D'E=D''E$,
∴ $CE+DF=CE+D'E=CE+D''E$.
∵ 两点之间线段最短,
∴ 当 $E$ 点在 $CD''$ 与直线 $x=1$ 的交点处时,$CE+D''E$ 最小. 设直线 $CD''$ 的表达式为 $y=kx+b(k ≠ 0)$,把 $C(0,3)$,$D''(5,2)$ 代入 $y=kx+b(k ≠ 0)$ 得 $\begin{cases}3=b,\\2=5k+b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\dfrac{1}{5},\\b=3,\end{cases}$
∴ 直线 $CD''$ 的表达式为 $y=-\dfrac{1}{5}x+3$.
∵ 当 $x=1$ 时,$y=\dfrac{14}{5}$,
∴ $E(1,\dfrac{14}{5})$.
(3) 存在,点 $G$ 的坐标为 $(-2,\dfrac{11}{3})$,$(-2,1)$,$(-2,2)$ 或 $(-2,\dfrac{1}{3})$. 解析:
∵ 抛物线 $y=-x^2+2x+3$ 与 $x$ 轴交于 $A$,$B$ 两点,
∴ 令 $y=0$,得 $-x^2+2x+3=0$,解得 $x=-1$ 或 $x=3$.
∵ $A$ 在 $B$ 的左侧,
∴ $A(-1,0)$,$B(3,0)$. 由(1)知,$C(0,3)$,
∴ $OC=3$,$OB=3$,
∴ $BC=\sqrt{OC^2+OB^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$.
∵ 抛物线沿射线 $BC$ 方向平移 $3\sqrt{2}$ 个单位长度,且 $B$ 在抛物线上,$BC=3\sqrt{2}$,
∴ $B$ 点沿射线 $BC$ 方向平移 $3\sqrt{2}$ 个单位长度后与 $C$ 点重合.
∵ $OB=3$,$OC=3$,
∴ 抛物线沿射线 $BC$ 方向平移 $3\sqrt{2}$ 个单位长度可看作整体向左平移 3 个单位长度,再向上平移 3 个单位长度,如图②,
∵ 抛物线 $y=-x^2+2x+3$ 的对称轴为直线 $x=1$,
∴ 平移后对称轴为直线 $x=-2$.
∵ 点 $G$ 为平移后的抛物线对称轴上一动点,
∴ 设 $G(-2,n)$,
∵ $A(-1,0)$,$C(0,3)$,
∴ $AC=\sqrt{(-1-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{10}$, $AG=\sqrt{[-1-(-2)]^2+(0-n)^2}=\sqrt{1+n^2}$, $CG=\sqrt{(-2-0)^2+(n-3)^2}=\sqrt{4+(n-3)^2}$.
①若 $∠ ACG=90°$,如图③,则 $AC^2+CG^2=AG^2$,
∴ $10+4+(n-3)^2=1+n^2$,解得 $n=\dfrac{11}{3}$,
∴ $G(-2,\dfrac{11}{3})$;
②若 $∠ AGC=90°$,如图④,则 $AG^2+CG^2=AC^2$,
∴ $1+n^2+4+(n-3)^2=10$,解得 $n=1$ 或 $n=2$,
∴ $G(-2,1)$ 或 $G(-2,2)$;
③若 $∠ CAG=90°$,如图⑤,则 $AG^2+AC^2=CG^2$,
∴ $1+n^2+10=4+(n-3)^2$,解得 $n=\dfrac{1}{3}$,
∴ $G(-2,\dfrac{1}{3})$.

4. (2026·达州模拟)如图,抛物线 $y=-\dfrac{3}{5}x^2 + bx + c$ 与x轴交于点$A(-1,0)$和点$B(5,0)$,与y轴交于点C,过点C作x轴的平行线交抛物线于点D,点E在直线CD上运动.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当点E在线段CD上,点D关于直线OE的对称点F恰好落在y轴上时,求点E的坐标;
(3)点P在抛物线上,在点E移动的过程中,当$△ OEP$是以点P为直角顶点的等腰直角三角形时,求点E的坐标.

备用图

4. (1)
∵ 抛物线 $y=-\dfrac{3}{5}x^2+bx+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ 和点 $B(5,0)$,
∴ $y=-\dfrac{3}{5}(x+1)(x-5)=-\dfrac{3}{5}x^2+\dfrac{12}{5}x+3$.
(2) 如图①,
∵ 点 $D$ 和点 $F$ 关于直线 $OE$ 对称,连接 $OD$,$EF$,
∴ $OD=OF$,$EF=DE$.
∵ $C(0,3)$,$CD // x$ 轴,且二次函数的对称轴为直线 $x=2$,
∴ $D(4,3)$,
∴ $OC=3$,$CD=4$,$OD=5$,
∴ $OF=5$,$CF=2$,设点 $E(m,3)$,
∴ $CE=m$,$DE=EF=4-m$,在 $\mathrm{Rt}△ CEF$ 中,$(4-m)^2=m^2+2^2$,解得 $m=1.5$,
∴ $E(1.5,3)$.
(3) 当点 $P$ 与点 $C$ 重合时,$E(3,3)$ 或 $(-3,3)$;当点 $P$ 与点 $C$ 不重合且点 $P$ 在 $x$ 轴上方时,如图②,过点 $P$ 作 $y$ 轴的垂线,交 $y$ 轴于点 $K$,过点 $E$ 作 $EJ ⊥ KP$ 交 $KP$ 的延长线于点 $J$,
∴ $△ OPK ≌ △ PEJ$,
∴ $PK=JE$,$OK=PJ$. 设点 $P$ 的横坐标为 $t$,则 $PK=JE=t$,
∴ $OK=-\dfrac{3}{5}t^2+\dfrac{12}{5}t+3$,
∴ $-\dfrac{3}{5}t^2+\dfrac{12}{5}t+3-t=3$,解得 $t=\dfrac{7}{3}$($t=0$ 舍去),
∴ $OK=PJ=\dfrac{16}{3}$,
∴ $KJ=\dfrac{23}{3}$,
∴ $E(\dfrac{23}{3},3)$;
当点 $P$ 在 $x$ 轴下方时,如图③,过点 $P$ 作 $y$ 轴的垂线,交 $y$ 轴于点 $K$,过点 $E$ 作 $EJ ⊥ x$ 轴交 $KP$ 的延长线于点 $J$,
∴ $△ OPK ≌ △ PEJ$,
∴ $PK=JE$,$OK=PJ$,设点 $P$ 的横坐标为 $t$,则 $PK=JE=t$,
∴ $OK=\dfrac{3}{5}t^2-\dfrac{12}{5}t-3$,
∴ $t-\dfrac{3}{5}t^2+\dfrac{12}{5}t+3=3$,解得 $t=\dfrac{17}{3}$,
∴ $OK=PJ=\dfrac{8}{3}$,
∴ $CE=\dfrac{25}{3}$,
∴ $E(\dfrac{25}{3},3)$.
综上,符合条件的点 $E$ 的坐标为 $(3,3)$ 或 $(-3,3)$ 或 $(\dfrac{23}{3},3)$ 或 $(\dfrac{25}{3},3)$.