1. (2026·凉山州中考节选)如图,抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中$B(4,0),C(0,4)$,对称轴是直线$x=1$.动点M以每秒1个单位长度的速度,沿x轴从点O向点B运动,设运动时间为$t(0≤t≤4)$秒,过点M作x轴的垂线交BC于点N,交抛物线于点P.
(1)求抛物线的表达式;
(2)抛物线的对称轴交BC于点E,顶点是点D,当t为何值时,四边形DENP为平行四边形?

1.(1)
∵ 抛物线$ y=ax^2+bx+c $过点 B(4,0),C(0,4),对称轴是直线 x=1,
$\therefore \begin{cases}16a+4b+c=0,\\c=4,\\-\dfrac{b}{2a}=1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\b=1,\\c=4,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为$ y=-\dfrac{1}{2}x^2+x+4.1.(2) $设直线 BC 的表达式为 y=kx+4,把 B(4,0) 代入得,0=4k+4,解得 k=-1,
∴ y=-x+4. 当 x=1 时,y=-1+4=3,
∴ E(1,3).
∵$ y=-\dfrac{1}{2}x^2+x+4=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+\dfrac{9}{2},$
∴$ D(1,\dfrac{9}{2}),$
∴$ DE=\dfrac{9}{2}-3=\dfrac{3}{2}.$
∵ 四边形 DENP 为平行四边形,
∴$ NP=DE=\dfrac{3}{2}.$
∵ 过点 M 作 x 轴的垂线交 BC 于点 N,交抛物线于点 P,
∴ 设$ P(t,-\dfrac{1}{2}t^2+t+4),N(t,-t+4),$
∴$ PN=-\dfrac{1}{2}t^2+t+4-(-t+4)=-\dfrac{1}{2}t^2+2t=\dfrac{3}{2},$解得$ t_1=1,t_2=3.$
∵$ D(1,\dfrac{9}{2}),$
∴ t=1 不符合题意,舍去,
∴ t=3.

2. (淄博中考)如图,一条抛物线 $ y = ax^2 + bx $ 经过△OAB的三个顶点,其中O为坐标原点,点A(3,-3),点B在第一象限内,对称轴是直线 $ x = \frac{9}{4} $,且△OAB的面积为18.
(1)求该抛物线对应的函数表达式.
(2)求点B的坐标.
(3)设C为线段AB的中点,P为直线OB上的一个动点,连接AP,CP,将△ACP沿CP翻折,点A的对应点为$ A_1 $.问:是否存在点P,使得以$ A_1,P,C,B $为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

2.(1)
∵ 抛物线的对称轴为直线 $x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{9}{4}$,
∴ $b=-\dfrac{9}{2}a$ ①,将点 $A(3,-3)$ 代入 $y=ax^2+bx$,得 $9a+3b=-3$ ②,联立①②,得 $\begin{cases}a=\dfrac{2}{3},\\b=-3,\end{cases}$
∴ 抛物线对应的函数表达式为 $y=\dfrac{2}{3}x^2-3x$.
2.(2) 设 $B(m,\dfrac{2}{3}m^2-3m)$,如图①所示,过点 $A$ 作 $FE⊥ y$ 轴于 $E$ 点,过点 $B$ 作 $BF⊥ EF$ 于 $F$ 点,
∴ $F(m,-3)$,$E(0,-3)$,则 $OE=3$,$AE=3$,$AF=m-3$,$BF=\dfrac{2}{3}m^2-3m+3$,
∴ $S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}m×(\dfrac{2}{3}m^2-3m+3+3)-\dfrac{1}{2}×3×3-\dfrac{1}{2}(m-3)·(\dfrac{2}{3}m^2-3m+3)=18$,解得 $m=6$ 或 $m=-3$(舍去),
∴ 点 $B$ 的坐标为 $(6,6)$.

2.(3) 存在.
∵ $A(3,-3)$,$B(6,6)$,$C$ 为 $AB$ 的中点,
∴ $C(\dfrac{9}{2},\dfrac{3}{2})$,设直线 $OB$ 的表达式为 $y=kx$,将 $B(6,6)$ 代入,得 $6k=6$,解得 $k=1$,
∴ 直线 $OB$ 的表达式为 $y=x$. 设 $P(t,t)$,如图②所示,当 $BP$ 为平行四边形的对角线时,$BC// A_1P$,$BC=A_1P$.
∵ $AC=BC$,
∴ $AC=A_1P$,由翻折的性质可知 $AC=A_1C$,$AP=A_1P$,
∴ $AP=AC$,
∴ $\sqrt{(t-3)^2+(t+3)^2}=\sqrt{(3-\dfrac{9}{2})^2+(-3-\dfrac{3}{2})^2}$,
解得 $t=\pm\dfrac{3}{2}$,
∴ $P$ 点的坐标为 $(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2})$ 或 $(-\dfrac{3}{2},-\dfrac{3}{2})$.
如图③,当 $BC$ 为平行四边形的对角线时,$BP// A_1C$,$BP=A_1C$,由翻折的性质可知, $AC=A_1C$,
∴ $BP=AC$,
∴ $\sqrt{(6-t)^2+(6-t)^2}=\sqrt{(3-\dfrac{9}{2})^2+(-3-\dfrac{3}{2})^2}$,解得 $t=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}+6$ 或 $t=-\dfrac{3\sqrt{5}}{2}+6$,
∴ $P$ 点的坐标为 $(\dfrac{3\sqrt{5}}{2}+6,\dfrac{3\sqrt{5}}{2}+6)$ 或 $(-\dfrac{3\sqrt{5}}{2}+6,-\dfrac{3\sqrt{5}}{2}+6)$.
综上所述,$P$ 点的坐标为 $(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2})$ 或 $(-\dfrac{3}{2},-\dfrac{3}{2})$ 或 $(\dfrac{3\sqrt{5}}{2}+6,\dfrac{3\sqrt{5}}{2}+6)$ 或 $(-\dfrac{3\sqrt{5}}{2}+6,-\dfrac{3\sqrt{5}}{2}+6)$.