登录
3. (巴中中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过点$A(-1,0)$和$B(0,3)$,其顶点的横坐标为1.
(1)求抛物线的表达式.
(2)若直线$x=m$与$x$轴交于点$N$,在第一象限内与抛物线交于点$M$,当$m$取何值时,使得$AN+MN$有最大值,并求出最大值.
(3)若点$P$为抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴上一动点,将抛物线向左平移1个单位长度后,$Q$为平移后抛物线上一动点.在(2)的条件下求得的点$M$,是否能与$A,P,Q$构成平行四边形?若能构成,求出$Q$点坐标;若不能构成,请说明理由.
(1)求抛物线的表达式.
(2)若直线$x=m$与$x$轴交于点$N$,在第一象限内与抛物线交于点$M$,当$m$取何值时,使得$AN+MN$有最大值,并求出最大值.
(3)若点$P$为抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴上一动点,将抛物线向左平移1个单位长度后,$Q$为平移后抛物线上一动点.在(2)的条件下求得的点$M$,是否能与$A,P,Q$构成平行四边形?若能构成,求出$Q$点坐标;若不能构成,请说明理由.
答案
3.(1)
∵ 抛物线的顶点横坐标为1,
∴ 抛物线的对称轴为直线 $x=1$.
∵ 点 $A$ 的坐标为 $(-1,0)$,
∴ 抛物线与 $x$ 轴的另一交点坐标为 $(3,0)$.
将 $(-1,0)$,$(3,0)$,$(0,3)$ 代入 $y=ax^2+bx+c$,得 $\begin{cases}a-b+c=0,\\9a+3b+c=0,\\c=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-1,\\b=2,\\c=3,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为 $y=-x^2+2x+3$.
3.(2)
∵ 直线 $x=m$ 与 $x$ 轴交于点 $N$,在第一象限内与抛物线交于点 $M$,
∴ 点 $M$ 的坐标为 $(m,-m^2+2m+3)$,点 $N$ 的坐标为 $(m,0)$.
∴ $MN=-m^2+2m+3$,$AN=m+1$.
∴ $AN+MN=m+1+(-m^2+2m+3)=-m^2+3m+4=-(m-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{25}{4}$.
∵ $-1＜0$,且 $0＜m＜3$,
∴ 当 $m=\dfrac{3}{2}$ 时,$AN+MN$ 有最大值,最大值为 $\dfrac{25}{4}$.
3.(3) 能构成.
∵ $y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,
∴ 抛物线向左平移1个单位长度后的表达式为 $y=-x^2+4$.
当 $x=\dfrac{3}{2}$ 时,$y=-(\dfrac{3}{2})^2+2×\dfrac{3}{2}+3=\dfrac{15}{4}$,
∴ 点 $M$ 的坐标为 $(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4})$.
假设存在以 $A,P,Q,M$ 为顶点的平行四边形,设点 $P$ 的坐标为 $(1,p)$,点 $Q$ 的坐标为 $(n,-n^2+4)$.
①当 $AM$ 为对角线时,对角线 $AM$,$PQ$ 互相平分,
∴ $\dfrac{-1+\dfrac{3}{2}}{2}=\dfrac{1+n}{2}$,解得 $n=-\dfrac{1}{2}$.
∴ 点 $Q$ 的坐标为 $(-\dfrac{1}{2},\dfrac{15}{4})$;
②当 $AP$ 为对角线时,对角线 $AP$,$MQ$ 互相平分,
∴ $\dfrac{-1+1}{2}=\dfrac{\dfrac{3}{2}+n}{2}$,解得 $n=-\dfrac{3}{2}$.
∴ 点 $Q$ 的坐标为 $(-\dfrac{3}{2},\dfrac{7}{4})$;
③当 $AQ$ 为对角线时,对角线 $AQ$,$PM$ 互相平分,
∴ $\dfrac{-1+n}{2}=\dfrac{1+\dfrac{3}{2}}{2}$,解得 $n=\dfrac{7}{2}$.
∴ 点 $Q$ 的坐标为 $(\dfrac{7}{2},-\dfrac{33}{4})$.
综上所述,存在以 $A,P,Q,M$ 为顶点的平行四边形,点 $Q$ 的坐标为 $(-\dfrac{1}{2},\dfrac{15}{4})$ 或 $(-\dfrac{3}{2},\dfrac{7}{4})$ 或 $(\dfrac{7}{2},-\dfrac{33}{4})$.
∵ 抛物线的顶点横坐标为1,
∴ 抛物线的对称轴为直线 $x=1$.
∵ 点 $A$ 的坐标为 $(-1,0)$,
∴ 抛物线与 $x$ 轴的另一交点坐标为 $(3,0)$.
将 $(-1,0)$,$(3,0)$,$(0,3)$ 代入 $y=ax^2+bx+c$,得 $\begin{cases}a-b+c=0,\\9a+3b+c=0,\\c=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-1,\\b=2,\\c=3,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为 $y=-x^2+2x+3$.
3.(2)
∵ 直线 $x=m$ 与 $x$ 轴交于点 $N$,在第一象限内与抛物线交于点 $M$,
∴ 点 $M$ 的坐标为 $(m,-m^2+2m+3)$,点 $N$ 的坐标为 $(m,0)$.
∴ $MN=-m^2+2m+3$,$AN=m+1$.
∴ $AN+MN=m+1+(-m^2+2m+3)=-m^2+3m+4=-(m-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{25}{4}$.
∵ $-1＜0$,且 $0＜m＜3$,
∴ 当 $m=\dfrac{3}{2}$ 时,$AN+MN$ 有最大值,最大值为 $\dfrac{25}{4}$.
3.(3) 能构成.
∵ $y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,
∴ 抛物线向左平移1个单位长度后的表达式为 $y=-x^2+4$.
当 $x=\dfrac{3}{2}$ 时,$y=-(\dfrac{3}{2})^2+2×\dfrac{3}{2}+3=\dfrac{15}{4}$,
∴ 点 $M$ 的坐标为 $(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4})$.
假设存在以 $A,P,Q,M$ 为顶点的平行四边形,设点 $P$ 的坐标为 $(1,p)$,点 $Q$ 的坐标为 $(n,-n^2+4)$.
①当 $AM$ 为对角线时,对角线 $AM$,$PQ$ 互相平分,
∴ $\dfrac{-1+\dfrac{3}{2}}{2}=\dfrac{1+n}{2}$,解得 $n=-\dfrac{1}{2}$.
∴ 点 $Q$ 的坐标为 $(-\dfrac{1}{2},\dfrac{15}{4})$;
②当 $AP$ 为对角线时,对角线 $AP$,$MQ$ 互相平分,
∴ $\dfrac{-1+1}{2}=\dfrac{\dfrac{3}{2}+n}{2}$,解得 $n=-\dfrac{3}{2}$.
∴ 点 $Q$ 的坐标为 $(-\dfrac{3}{2},\dfrac{7}{4})$;
③当 $AQ$ 为对角线时,对角线 $AQ$,$PM$ 互相平分,
∴ $\dfrac{-1+n}{2}=\dfrac{1+\dfrac{3}{2}}{2}$,解得 $n=\dfrac{7}{2}$.
∴ 点 $Q$ 的坐标为 $(\dfrac{7}{2},-\dfrac{33}{4})$.
综上所述,存在以 $A,P,Q,M$ 为顶点的平行四边形,点 $Q$ 的坐标为 $(-\dfrac{1}{2},\dfrac{15}{4})$ 或 $(-\dfrac{3}{2},\dfrac{7}{4})$ 或 $(\dfrac{7}{2},-\dfrac{33}{4})$.
4. (2024·泸州中考)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,已知抛物线$y=ax^2+bx+3$经过点$A(3,0)$,与$y$轴交于点$B$,且关于直线$x=1$对称.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)当$-1≤x≤t$时,$y$的取值范围是$0≤y≤2t-1$,求$t$的值.
(3)点$C$是抛物线上位于第一象限的一个动点,过点$C$作$x$轴的垂线交直线$AB$于点$D$,在$y$轴上是否存在点$E$,使得以$B,C,D,E$为顶点的四边形是菱形?若存在,求出该菱形的边长;若不存在,说明理由.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)当$-1≤x≤t$时,$y$的取值范围是$0≤y≤2t-1$,求$t$的值.
(3)点$C$是抛物线上位于第一象限的一个动点,过点$C$作$x$轴的垂线交直线$AB$于点$D$,在$y$轴上是否存在点$E$,使得以$B,C,D,E$为顶点的四边形是菱形?若存在,求出该菱形的边长;若不存在,说明理由.
答案
4.(1)
∵ 抛物线 $y=ax^2+bx+3$ 经过点 $A(3,0)$,与 $y$ 轴交于点 $B$,且关于直线 $x=1$ 对称,
∴ $\begin{cases}-\dfrac{b}{2a}=1,\\9a+3b+3=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-1,\\b=2,\end{cases}$
∴ $y=-x^2+2x+3$.
4.(2)
∵ 抛物线的开口向下,对称轴为直线 $x=1$,
∴ 抛物线上点到对称轴上的距离越远,该点对应的函数值越小.
∵ $-1≤ x＜t$ 时,$0≤ y≤ 2t-1$,①当 $-1≤ t＜1$ 时,则当 $x=t$ 时,函数有最大值,即 $2t-1=-t^2+2t+3$,解得 $t=-2$ 或 $t=2$,均不符合题意,舍去;
②当 $t≥1$ 时,则当 $x=1$ 时,函数有最大值,即 $2t-1=-1^2+2+3=4$,解得 $t=\dfrac{5}{2}$.故 $t=\dfrac{5}{2}$.
4.(3) 存在.当 $x=0$ 时,$y=3$,
∴ $B(0,3)$,设直线 $AB$ 的表达式为 $y=kx+3$,把 $A(3,0)$ 代入,得 $k=-1$,
∴ $y=-x+3$. 设 $C(m,-m^2+2m+3)(0＜m＜3)$,则 $D(m,-m+3)$,
∴ $CD=-m^2+2m+3+m-3=-m^2+3m$, $BD=\sqrt{m^2+(-m+3-3)^2}=\sqrt{2}m$, $BC^2=m^2+(-m^2+2m)^2$,当以 $B,C,D,E$ 为顶点的四边形是菱形时,分两种情况:
①当 $BD$ 为边时,则 $BD=CD$,即 $-m^2+3m=\sqrt{2}m$,解得 $m=0$(舍去)或 $m=3-\sqrt{2}$,此时菱形的边长为 $\sqrt{2}m=3\sqrt{2}-2$;
②当 $BD$ 为对角线时,则 $BC=CD$,即 $m^2+(-m^2+2m)^2=(-m^2+3m)^2$,解得 $m=2$ 或 $m=0$(舍去),此时菱形的边长为 $-2^2+3×2=2$.
综上,存在以 $B,C,D,E$ 为顶点的四边形是菱形,边长为 $3\sqrt{2}-2$ 或 $2$.
∵ 抛物线 $y=ax^2+bx+3$ 经过点 $A(3,0)$,与 $y$ 轴交于点 $B$,且关于直线 $x=1$ 对称,
∴ $\begin{cases}-\dfrac{b}{2a}=1,\\9a+3b+3=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-1,\\b=2,\end{cases}$
∴ $y=-x^2+2x+3$.
4.(2)
∵ 抛物线的开口向下,对称轴为直线 $x=1$,
∴ 抛物线上点到对称轴上的距离越远,该点对应的函数值越小.
∵ $-1≤ x＜t$ 时,$0≤ y≤ 2t-1$,①当 $-1≤ t＜1$ 时,则当 $x=t$ 时,函数有最大值,即 $2t-1=-t^2+2t+3$,解得 $t=-2$ 或 $t=2$,均不符合题意,舍去;
②当 $t≥1$ 时,则当 $x=1$ 时,函数有最大值,即 $2t-1=-1^2+2+3=4$,解得 $t=\dfrac{5}{2}$.故 $t=\dfrac{5}{2}$.
4.(3) 存在.当 $x=0$ 时,$y=3$,
∴ $B(0,3)$,设直线 $AB$ 的表达式为 $y=kx+3$,把 $A(3,0)$ 代入,得 $k=-1$,
∴ $y=-x+3$. 设 $C(m,-m^2+2m+3)(0＜m＜3)$,则 $D(m,-m+3)$,
∴ $CD=-m^2+2m+3+m-3=-m^2+3m$, $BD=\sqrt{m^2+(-m+3-3)^2}=\sqrt{2}m$, $BC^2=m^2+(-m^2+2m)^2$,当以 $B,C,D,E$ 为顶点的四边形是菱形时,分两种情况:
①当 $BD$ 为边时,则 $BD=CD$,即 $-m^2+3m=\sqrt{2}m$,解得 $m=0$(舍去)或 $m=3-\sqrt{2}$,此时菱形的边长为 $\sqrt{2}m=3\sqrt{2}-2$;
②当 $BD$ 为对角线时,则 $BC=CD$,即 $m^2+(-m^2+2m)^2=(-m^2+3m)^2$,解得 $m=2$ 或 $m=0$(舍去),此时菱形的边长为 $-2^2+3×2=2$.
综上,存在以 $B,C,D,E$ 为顶点的四边形是菱形,边长为 $3\sqrt{2}-2$ 或 $2$.
