中,抛物线$C_1:y=x^2+bx+c$经过点$A(0,2)$,$B(2,2)$,顶点为$D$;抛物线$C_2:y=x^2-2mx+m^2-m+2(m≠1)$,顶点为$Q$.
(1)求抛物线$C_1$的表达式及顶点$D$的坐标;
(2)如图①,连接$AD$,点$E$是抛物线$C_1$对称轴右侧图象上一点,点$F$是抛物线$C_2$上一点,若四边形$ADFE$是面积为12的平行四边形,求$m$的值;
(3)如图②,连接$BD,DQ$,点$M$是抛物线$C_1$对称轴左侧图象上的动点(不与点$A$重合),过点$M$作$MN// DQ$交$x$轴于点$N$,连接$BN$,$DN$,求$△ BDN$面积的最小值.

4.(长春中考)在平面直角坐标系中,点$O$为坐标原点,抛物线$y=-x^2+bx+2(b$是常数)经过点$(2,2)$.点$A$的坐标为$(m,0)$,点$B$在该抛物线上,横坐标为$1-m$,其中$m＜0$.
(1)求该抛物线的表达式及顶点坐标;
(2)当点$B$在$x$轴上时,求点$A$的坐标;
(3)该抛物线与$x$轴的左交点为$P$,当抛物线在点$P$和点$B$之间的部分(包括$P,B$两点)的最高点与最低点的纵坐标之差为$2-m$时,求$m$的值;
(4)当点$B$在$x$轴上方时,过点$B$作$BC⊥ y$轴于点$C$,连接$AC,BO$.若四边形$AOBC$的边和抛物线有两个交点(不包括四边形$AOBC$的顶点),设这两个交点分别为点$E$、点$F$,线段$BO$的中点为$D$.当以点$C,E,O,D($或以点$C,F,O,D)$为顶点的四边形的面积是四边形$AOBC$面积的一半时,直接写出所有满足条件的$m$的值.

3. (1)
∵ 抛物线$y=x^2+bx+c$过点A(0,2),B(2,2),得$\begin{cases}c=2,\\4+2b+c=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-2,\\c=2,\end{cases}$
∴ 抛物线$C_1$的表达式为$y=x^2-2x+2=(x-1)^2+1$,
∴ 顶点D的坐标为(1,1).
(2) 如图①,连接DE,过点E作EG//y轴,交AD延长线于点G,过点D作DH⊥EG,垂足为H,作DH'⊥y轴于H',设点E的横坐标为t.设直线AD的表达式为y=kx+d,由题意知$\begin{cases}d=2,\\k+d=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\d=2,\end{cases}$
∴ 直线AD的表达式为y=-x+2.设$E(t,t^2-2t+2)$,$G(t,2-t)$,
∴ $EG=t^2-t$.
∵ ADFE的面积为12,
∴ $S_{△ ADE}=\frac{1}{2}S_{ADFE}=6$,$S_{△ ADE}=S_{△ AGE}-S_{△ DGE}=\frac{1}{2}EG·H'D=6$.
∵ H'D=1,
∴ EG=12,
∴ $t^2-t=12$,解得$t_1=4,t_2=-3$(舍去),
∴ E(4,10).
∵ 点E先向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到点F,
∴ F(5,9),将F(5,9)代入$y=x^2-2mx+m^2-m+2(m≠1)$,得$m^2-11m+18=0$,解得$m_1=2,m_2=9$.即m的值为2或9.
(3) 如图②,过点M作MP⊥x轴,垂足为点P,过点D作DK//y轴,过点Q作QK//x轴,与DK交于点K,设$M(h,h^2-2h+2)$,$h＜1$且$h≠0$,$N(n,0)$.
∵ $y=x^2-2mx+m^2+2-m=(x-m)^2+2-m$,
∴ 抛物线$C_2$的顶点Q(m,2-m),
∴ $DK=|1-(2-m)|=|m-1|$,$KQ=|m-1|$,
∴ DK=KQ,∠DQK=45°.
∵ MN//DQ,KQ//NP,易得∠MNP=∠DQK=45°,
∴ ∠NMP=45°,
∴ MP=NP,
∴ $n-h=h^2-2h+2$,
∴ $n=h^2-h+2=(h-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}$,
∴ 当$h=\frac{1}{2}$时,n有最小值为$\frac{7}{4}$,
∴ 点N横坐标的最小值为$n=\frac{7}{4}$,此时点N到直线BD距离最近,△BDN的面积最小.最近距离即边BD上的高,高为$\frac{7}{4}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{7\sqrt{2}}{8}$.
∵ B(2,2),D(1,1),
∴ $BD=\sqrt{2}$.
∴ △BDN面积的最小值为$\frac{1}{2}×\frac{7\sqrt{2}}{8}×\sqrt{2}=\frac{7}{8}$.
4. (1) 将(2,2)代入$y=-x^2+bx+2$,得$2=-4+2b+2$,解得b=2,
∴ 抛物线的表达式为$y=-x^2+2x+2$.
∵ $y=-x^2+2x+2=-(x-1)^2+3$,
∴ 顶点坐标为(1,3).
(2) 对于$y=-x^2+2x+2$,当y=0时,$-x^2+2x+2=0$,解得$x_1=1-\sqrt{3}$,$x_2=1+\sqrt{3}$,当$1-m=1-\sqrt{3}$时,$m=\sqrt{3}$(不合题意,舍去);当$1-m=1+\sqrt{3}$时,$m=-\sqrt{3}$.故点A的坐标为$(-\sqrt{3},0)$.
(3) 由(2)可知点P的坐标为$(1-\sqrt{3},0)$,抛物线与x轴的右交点的坐标为$(1+\sqrt{3},0)$.易知抛物线的对称轴为直线x=1.由题意知$B(1-m,-m^2+3)$.
∵ m＜0,
∴ 1-m＞1,
∴ 点B在直线x=1右侧.分2种情况讨论:①当点B在x轴上方时,$1＜1-m＜1+\sqrt{3}$,即$-\sqrt{3}＜m＜0$,$3-0=2-m$,
∴ m=-1.②当点B在x轴下方时,$1-m≥1+\sqrt{3}$,即$m≤-\sqrt{3}$,$3-(-m^2+3)=2-m$,解得$m_1=1$(舍去),$m_2=-2$.综上可知,符合条件的m的值为-1或-2.
(4) m的值为$-2+\sqrt{2}$或$2-2\sqrt{3}$或$-\frac{1}{2}$.
解析:
∵ 点B在x轴上方,m＜0,
∴ $1＜1-m＜1+\sqrt{3}$,
∴ $-\sqrt{3}＜m＜0$.连接CD,
∵ D是OB的中点,
∴ $S_{△ BCD}=S_{△ COD}$.由(3)可知C(0,$-m^2+3$).分析可知有以下3种情况:
①当E是AC的中点时,如图①,则$S_{△ AOC}=2S_{△ COE}$,
∴ $S_{四边形AOBC}=2S_{四边形CEOD}$,将$E(\frac{m}{2},\frac{-m^2+3}{2})$代入$y=-x^2+2x+2$,得$\frac{-m^2+3}{2}=-(\frac{m}{2})^2+2×\frac{m}{2}+2$,解得$m_1=-\sqrt{2}-2$(舍去),$m_2=-2+\sqrt{2}$.
②当F为AO的中点时,如图②,则$S_{△ ACO}=2S_{△ CFO}$,
∴ $S_{四边形AOBC}=2S_{四边形CFOD}$.此时$\frac{m}{2}=1-\sqrt{3}$,解得$m=2-2\sqrt{3}$.
③如图③,若$S_{四边形AOBC}=2S_{四边形CFDO}$,则$\frac{1}{2}S_{△ AOC}=S_{△ CDF}$.由点D是OB的中点可知,点D到BC的距离$=\frac{1}{2}OC$,
∴ 当CF=AO时,符合题意,此时点F的横坐标为-m.
∵ B,F关于直线x=1对称,
∴ $\frac{-m+1-m}{2}=1$,解得$m=-\frac{1}{2}$.
综上可知,m的值为$-2+\sqrt{2}$或$2-2\sqrt{3}$或$-\frac{1}{2}$.