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8 如图,第(1)个图中有1个黑球;第(2)个图为3个同样大小的球叠成的图形,最下一层的2个球为黑球,其余为白球;第(3)个图为6个同样大小的球叠成的图形,最下一层的3个球为黑球,其余为白球;…;则从第(n)个图中随机取出一个球,是黑球的概率是
$\dfrac{2}{n+1}$
。答案
$\dfrac{2}{n+1}$ [提示:根据图示规律,第n个图中,黑球有n个,球的总数有$1+2+3+4+5+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$,则从第(n)个图中随机取出一个球,是黑球的概率是$\dfrac{n}{\dfrac{n(n+1)}{2}}=\dfrac{2}{n+1}。$ ]
解析
【分析】
要求从第n个图中随机取一个球是黑球的概率，需先分别求出第n个图中黑球的个数和球的总个数，再根据概率的定义（概率=所求情况数与总情况数之比）计算即可。首先观察图形特征：第1个图黑球1个，第2个图黑球2个，第3个图黑球3个，可归纳得到第n个图的黑球个数为n；再看总球数，第n个图的球从上到下每层数量依次为1、2、……、n，总球数是首项为1、末项为n的等差数列的和，最后代入概率公式化简即可得到结果。
【解析】
解：观察图形规律推导如下：
1. 确定黑球数量：第1个图黑球1个，第2个图黑球2个，第3个图黑球3个，以此类推，第n个图中黑球的个数为$n$；
2. 计算总球数：第n个图的球从上到下每层分别有1个、2个、……、n个，根据等差数列求和公式，总球数为：
$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
3. 计算概率：根据概率公式，随机取出一个球是黑球的概率为：
$P=\frac{\mathrm{黑球个数}}{\mathrm{总球个数}}=\frac{n}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{2n}{n(n+1)}=\frac{2}{n+1} \quad (n为正整数)$
【答案】
$\dfrac{2}{n+1}$
【知识点】
概率计算，图形规律探究，等差数列求和
【点评】
本题是图形规律与概率计算结合的典型题型，解题核心是先通过观察归纳出黑球数量和总球数的表达式，再代入概率公式化简求解，能够考查学生的规律归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.65
要求从第n个图中随机取一个球是黑球的概率，需先分别求出第n个图中黑球的个数和球的总个数，再根据概率的定义（概率=所求情况数与总情况数之比）计算即可。首先观察图形特征：第1个图黑球1个，第2个图黑球2个，第3个图黑球3个，可归纳得到第n个图的黑球个数为n；再看总球数，第n个图的球从上到下每层数量依次为1、2、……、n，总球数是首项为1、末项为n的等差数列的和，最后代入概率公式化简即可得到结果。
【解析】
解：观察图形规律推导如下：
1. 确定黑球数量：第1个图黑球1个，第2个图黑球2个，第3个图黑球3个，以此类推，第n个图中黑球的个数为$n$；
2. 计算总球数：第n个图的球从上到下每层分别有1个、2个、……、n个，根据等差数列求和公式，总球数为：
$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
3. 计算概率：根据概率公式，随机取出一个球是黑球的概率为：
$P=\frac{\mathrm{黑球个数}}{\mathrm{总球个数}}=\frac{n}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{2n}{n(n+1)}=\frac{2}{n+1} \quad (n为正整数)$
【答案】
$\dfrac{2}{n+1}$
【知识点】
概率计算，图形规律探究，等差数列求和
【点评】
本题是图形规律与概率计算结合的典型题型，解题核心是先通过观察归纳出黑球数量和总球数的表达式，再代入概率公式化简求解，能够考查学生的规律归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.65
9 如图,甲、乙、丙3人站在$5×6$网格中的三个格子中,小王随机站在剩下的空格中,与图中3人均不在同一行或同一列的概率是
$\dfrac{2}{9}$
。答案
$\dfrac{2}{9}$
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算题，解题思路分三步：第一步计算总等可能情况数，即小王可选择的所有空格总数；第二步计算满足“与3人均不在同一行或同一列”的符合条件的位置数，先排除3人所在的行，得到剩余可选行数，再排除3人所在的列，得到剩余可选列数，二者相乘即为符合条件的位置数；第三步用符合条件的位置数除以总空格数，化简得到概率。
【解析】
1. 计算总空格数：网格总格子数为 $5×6=30$ 个，已有3人站立，所以剩余空格数为 $30-3=27$ 个，即小王随机站位的总等可能情况数为27。
2. 计算符合条件的位置数：已知甲、乙、丙三人分别位于不同的3行、不同的3列，要与3人均不同行，可选行数为 $5-3=2$ 行；要与3人均不同列，可选列数为 $6-3=3$ 列。因此符合条件的位置数为 $2×3=6$ 个。
3. 计算概率：根据古典概型概率公式，$P=\frac{\mathrm{符合条件的位置数}}{\mathrm{总空格数}}=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$。
【答案】
$\dfrac{2}{9}$
【知识点】
古典概型计算、分步计数原理、概率化简
【点评】
本题结合网格场景考查概率的基础应用，解题核心是准确计数总情况和符合要求的情况，只需正确排除不符合要求的行和列即可得到符合条件的位置数，计算量小，解题时注意约分即可。
【难度系数】
0.6
这是一道古典概型的概率计算题，解题思路分三步：第一步计算总等可能情况数，即小王可选择的所有空格总数；第二步计算满足“与3人均不在同一行或同一列”的符合条件的位置数，先排除3人所在的行，得到剩余可选行数，再排除3人所在的列，得到剩余可选列数，二者相乘即为符合条件的位置数；第三步用符合条件的位置数除以总空格数，化简得到概率。
【解析】
1. 计算总空格数：网格总格子数为 $5×6=30$ 个，已有3人站立，所以剩余空格数为 $30-3=27$ 个，即小王随机站位的总等可能情况数为27。
2. 计算符合条件的位置数：已知甲、乙、丙三人分别位于不同的3行、不同的3列，要与3人均不同行，可选行数为 $5-3=2$ 行；要与3人均不同列，可选列数为 $6-3=3$ 列。因此符合条件的位置数为 $2×3=6$ 个。
3. 计算概率：根据古典概型概率公式，$P=\frac{\mathrm{符合条件的位置数}}{\mathrm{总空格数}}=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$。
【答案】
$\dfrac{2}{9}$
【知识点】
古典概型计算、分步计数原理、概率化简
【点评】
本题结合网格场景考查概率的基础应用，解题核心是准确计数总情况和符合要求的情况，只需正确排除不符合要求的行和列即可得到符合条件的位置数，计算量小，解题时注意约分即可。
【难度系数】
0.6
⑩ 如图，在圆形转盘中，$∠ AOB = ∠ BOC = 90°$，拨动指针，指针指向区域$a$的概率为$P_1$；在矩形转盘中，$CD = 1$，$BD = 2$，拨动指针，指针指向$a$区域的概率为$P_2$，则$P_1 + P_2 =$
$\dfrac{3}{4}$
。答案
$\dfrac{3}{4}$
解析
【分析】
本题是几何概率的求和问题，解题核心是分别算出两个转盘中指针指向a区域的概率，再相加。首先回忆转盘类几何概率的计算方法：均匀转盘中，指针指向某区域的概率等于该区域对应圆心角与周角的比值（或该区域面积与总面积的比值）。第一步先计算圆形转盘的概率$P_1$：确定a区域对应的圆心角，除以周角$360°$得到$P_1$；第二步计算矩形转盘的概率$P_2$：利用直角三角形的边角关系求出a区域对应的中心角，除以$360°$得到$P_2$；最后将两个概率相加即可得到结果。
【解析】
1. 计算$P_1$：
圆形转盘的周角为$360°$，由题意得$∠ AOB=∠ BOC=90°$，a区域对应的圆心角和为$90°+90°=180°$，因此：
$P_1=\frac{180°}{360°}=\frac{1}{2}$
2. 计算$P_2$：
矩形内角为直角，在$Rt△ BCD$中，$∠ C=90°$，$CD=1$，$BD=2$，因此$\sin∠ CBD=\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$，可得$∠ CBD=30°$，由此推导a区域对应的中心角为$90°$，因此：
$P_2=\frac{90°}{360°}=\frac{1}{4}$
3. 计算概率和：
$P_1+P_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
几何概率计算、直角三角形边角关系、圆的基本性质
【点评】
本题属于基础综合题，将几何概率和图形性质结合考查，只要熟练掌握几何概率的计算方法和直角三角形的相关性质就能顺利求解，易错点是误判区域对应的角度占比。
【难度系数】
0.7
本题是几何概率的求和问题，解题核心是分别算出两个转盘中指针指向a区域的概率，再相加。首先回忆转盘类几何概率的计算方法：均匀转盘中，指针指向某区域的概率等于该区域对应圆心角与周角的比值（或该区域面积与总面积的比值）。第一步先计算圆形转盘的概率$P_1$：确定a区域对应的圆心角，除以周角$360°$得到$P_1$；第二步计算矩形转盘的概率$P_2$：利用直角三角形的边角关系求出a区域对应的中心角，除以$360°$得到$P_2$；最后将两个概率相加即可得到结果。
【解析】
1. 计算$P_1$：
圆形转盘的周角为$360°$，由题意得$∠ AOB=∠ BOC=90°$，a区域对应的圆心角和为$90°+90°=180°$，因此：
$P_1=\frac{180°}{360°}=\frac{1}{2}$
2. 计算$P_2$：
矩形内角为直角，在$Rt△ BCD$中，$∠ C=90°$，$CD=1$，$BD=2$，因此$\sin∠ CBD=\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$，可得$∠ CBD=30°$，由此推导a区域对应的中心角为$90°$，因此：
$P_2=\frac{90°}{360°}=\frac{1}{4}$
3. 计算概率和：
$P_1+P_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
几何概率计算、直角三角形边角关系、圆的基本性质
【点评】
本题属于基础综合题，将几何概率和图形性质结合考查，只要熟练掌握几何概率的计算方法和直角三角形的相关性质就能顺利求解，易错点是误判区域对应的角度占比。
【难度系数】
0.7
11 从0、1、2、3四个数中选取一个作为m的值，则满足不等式组$\begin{cases}x+8＜4x-1, \\ x＞m\end{cases}$的解集是$x＞3$，且分式方程$\frac{x}{x-1}+\frac{m}{1-x}=2$有解的概率为 ______ 。
答案
$\dfrac{3}{4}$ [提示:$\begin{cases} x+8＜4x-1 \quad ①, \\ x＞m \quad ②, \end{cases}$由①得，$x＞3$,因为不等式组的解集为$x＞3$,所以$m ≤ 3$。解分式方程,得$x=2-m$。因为分式方程有解,所以$x ≠ 1$,即$2-m ≠ 1$,所以$m ≠ 1$,所以m的取值范围为$m ≤ 3$且$m ≠ 1$,所以从0、1、2、3四个数中选取一个作为m的值,符合条件的有0、2、3,共3个,所以满足条件的概率为$\dfrac{3}{4}$。]
解析
【分析】
本题是结合不等式组、分式方程与概率的综合题，解题思路分三步：第一步先确定m的可选总情况数，共0、1、2、3四种；第二步解一元一次不等式组，根据解集为x＞3确定m的初步取值范围；第三步解分式方程，结合分式方程有解（分母不为0，排除增根）的条件，进一步筛选m的符合值；最后用符合条件的m的个数除以总个数即可得到概率。
【解析】
1. 解不等式组：
$\begin{cases} x+8＜4x-1 \quad ① \\ x＞m \quad ② \end{cases}$
解不等式①：移项得$x-4x ＜ -1-8$，合并同类项得$-3x ＜ -9$，系数化为1得$x＞3$。
已知不等式组的解集为$x＞3$，根据“同大取大”的解集确定原则，可得$m ≤ 3$。
2. 解分式方程$\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{m}{1-x}=2$：
先变形为$\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{m}{x-1}=2$，去分母两边同乘$(x-1)$得：
$x - m = 2(x-1)$，
展开得$x - m = 2x - 2$，
移项合并得$x = 2 - m$。
因为分式方程有解，所以分母不为0，即$x ≠ 1$，代入得$2 - m ≠ 1$，解得$m ≠ 1$。
3. 筛选符合条件的m：
可选的m为0、1、2、3，满足$m ≤ 3$且$m ≠ 1$的m为0、2、3，共3个。
根据概率公式，所求概率为$\dfrac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}} = \dfrac{3}{4}$。
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
解一元一次不等式组，分式方程有解的条件，概率计算
【点评】
本题属于小综合题，难度不大，解题的易错点是容易忽略分式方程有解需要排除增根的情况，即忘记验证分母不为0的条件导致多算m=1的情况，需要注意多个条件结合筛选参数取值。
【难度系数】
0.7
本题是结合不等式组、分式方程与概率的综合题，解题思路分三步：第一步先确定m的可选总情况数，共0、1、2、3四种；第二步解一元一次不等式组，根据解集为x＞3确定m的初步取值范围；第三步解分式方程，结合分式方程有解（分母不为0，排除增根）的条件，进一步筛选m的符合值；最后用符合条件的m的个数除以总个数即可得到概率。
【解析】
1. 解不等式组：
$\begin{cases} x+8＜4x-1 \quad ① \\ x＞m \quad ② \end{cases}$
解不等式①：移项得$x-4x ＜ -1-8$，合并同类项得$-3x ＜ -9$，系数化为1得$x＞3$。
已知不等式组的解集为$x＞3$，根据“同大取大”的解集确定原则，可得$m ≤ 3$。
2. 解分式方程$\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{m}{1-x}=2$：
先变形为$\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{m}{x-1}=2$，去分母两边同乘$(x-1)$得：
$x - m = 2(x-1)$，
展开得$x - m = 2x - 2$，
移项合并得$x = 2 - m$。
因为分式方程有解，所以分母不为0，即$x ≠ 1$，代入得$2 - m ≠ 1$，解得$m ≠ 1$。
3. 筛选符合条件的m：
可选的m为0、1、2、3，满足$m ≤ 3$且$m ≠ 1$的m为0、2、3，共3个。
根据概率公式，所求概率为$\dfrac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}} = \dfrac{3}{4}$。
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
解一元一次不等式组，分式方程有解的条件，概率计算
【点评】
本题属于小综合题，难度不大，解题的易错点是容易忽略分式方程有解需要排除增根的情况，即忘记验证分母不为0的条件导致多算m=1的情况，需要注意多个条件结合筛选参数取值。
【难度系数】
0.7
12 有三张牌，点数分别是2、3、5，将牌背面朝上，洗匀。
（1）从中抽取一张牌，若要使抽到奇数和偶数的概率相等，则需要增加
（2）嘉嘉先从这三张牌中抽一张，淇淇从剩下的两张牌中抽一张，请在图中补全两人所抽取牌上数字的可能结果，并求两张牌上的数字之和是奇数的概率。
（1）从中抽取一张牌，若要使抽到奇数和偶数的概率相等，则需要增加
1
张点数为偶数的牌。（2）嘉嘉先从这三张牌中抽一张，淇淇从剩下的两张牌中抽一张，请在图中补全两人所抽取牌上数字的可能结果，并求两张牌上的数字之和是奇数的概率。
答案
(1) 1 (2) 图略;两张牌上的数字之和是奇数的概率为$\dfrac{2}{3}$。
解析
【分析】
（1）先明确原有牌中奇数、偶数的数量：2、3、5里，偶数仅2共1张，奇数有3、5共2张。要使抽到奇数和偶数的概率相等，需两类牌的数量相同，因此计算需要补充的偶数牌数量即可。
（2）本题是不放回抽取问题，用树状图可以列出所有等可能的结果：嘉嘉先抽有3种可能，对应每种嘉嘉的抽取结果，淇淇从剩余2张牌抽取有2种可能，总共有6种等可能结果；再从中找出数字之和为奇数的结果数，根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算概率即可。
【解析】
（1）原有牌中，奇数牌共2张，偶数牌共1张。若要抽到奇数、偶数的概率相等，则两类牌的数量需相等，因此需要增加偶数牌的数量为$2-1=1$张。
（2）补全树状图：
①嘉嘉抽到3时，淇淇可抽2、5，对应和为$3+2=5$、$3+5=8$；
②嘉嘉抽到5时，淇淇可抽2、3，对应和为$5+2=7$、$5+3=8$。
由树状图可知，共有6种等可能的结果，对应和分别是5、7、5、8、7、8，其中数字之和为奇数的结果有4种。
因此两张牌数字之和是奇数的概率为$P=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) 树状图补全略，两张牌上的数字之和是奇数的概率为$\boxed{\dfrac{2}{3}}$
【知识点】
概率公式，树状图法求概率，等可能事件概率
【点评】
本题属于概率基础题型，第一问考查概率与数量的对应关系，较为简单；第二问考查不放回抽取的概率计算，核心是要列全所有等可能的结果，避免漏算、错算，掌握列表或树状图列举法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
（1）先明确原有牌中奇数、偶数的数量：2、3、5里，偶数仅2共1张，奇数有3、5共2张。要使抽到奇数和偶数的概率相等，需两类牌的数量相同，因此计算需要补充的偶数牌数量即可。
（2）本题是不放回抽取问题，用树状图可以列出所有等可能的结果：嘉嘉先抽有3种可能，对应每种嘉嘉的抽取结果，淇淇从剩余2张牌抽取有2种可能，总共有6种等可能结果；再从中找出数字之和为奇数的结果数，根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算概率即可。
【解析】
（1）原有牌中，奇数牌共2张，偶数牌共1张。若要抽到奇数、偶数的概率相等，则两类牌的数量需相等，因此需要增加偶数牌的数量为$2-1=1$张。
（2）补全树状图：
①嘉嘉抽到3时，淇淇可抽2、5，对应和为$3+2=5$、$3+5=8$；
②嘉嘉抽到5时，淇淇可抽2、3，对应和为$5+2=7$、$5+3=8$。
由树状图可知，共有6种等可能的结果，对应和分别是5、7、5、8、7、8，其中数字之和为奇数的结果有4种。
因此两张牌数字之和是奇数的概率为$P=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) 树状图补全略，两张牌上的数字之和是奇数的概率为$\boxed{\dfrac{2}{3}}$
【知识点】
概率公式，树状图法求概率，等可能事件概率
【点评】
本题属于概率基础题型，第一问考查概率与数量的对应关系，较为简单；第二问考查不放回抽取的概率计算，核心是要列全所有等可能的结果，避免漏算、错算，掌握列表或树状图列举法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
