登录
13 已知：$A=\dfrac{m+1}{m^2 - 2m +1}$，$B=\dfrac{2}{m -1}$，$C=1$。
（1）在混合运算$A□(B◯ C)$中，“$□$”内可以任意填上“$×$”或“$÷$”，“$◯$”内可以任意填上“$+$”或“$-$”，用列表法或画树状图求得到代数式$A÷(B + C)$的概率。
（2）化简：$A÷(B + C)$。
（1）在混合运算$A□(B◯ C)$中，“$□$”内可以任意填上“$×$”或“$÷$”，“$◯$”内可以任意填上“$+$”或“$-$”，用列表法或画树状图求得到代数式$A÷(B + C)$的概率。
（2）化简：$A÷(B + C)$。
答案
(1) 如图,总共有4种等可能结果,占1种,因此概率为 $P=\dfrac{1}{4}$。
(2) $A ÷ (B + C) = \dfrac{m+1}{m^2 - 2m +1} ÷ (\dfrac{2}{m -1} +1) = \dfrac{m+1}{m^2 - 2m +1} ÷ (\dfrac{2}{m -1} + \dfrac{m -1}{m -1}) = \dfrac{m+1}{(m -1)^2} ÷ \dfrac{m+1}{m -1} = \dfrac{1}{m -1}。$
解析
【分析】
（1）求解第一问时，首先明确两个符号的可选情况：“”有×、÷共2种选择，“◯”有+、-共2种选择，所有组合均为等可能事件，我们可以通过列举所有运算组合，找到符合$A÷(B + C)$的组合数，再根据“概率=符合条件的情况数÷总情况数”的公式计算即可。
（2）求解第二问分式化简时，按照分式混合运算顺序，先计算括号内的$B+C$，通分将两个式子化为同分母分式相加，再将除法运算转化为乘法运算，同时对$A$的分母用完全平方公式因式分解，最后约分化为最简分式即可。
【解析】
（1）列举所有可能的运算组合：
① 填×，◯填+：$A×(B+C)$
② 填×，◯填-：$A×(B-C)$
③ 填÷，◯填+：$A÷(B+C)$
④ 填÷，◯填-：$A÷(B-C)$
总共有4种等可能的结果，其中得到$A÷(B + C)$的情况只有1种，因此$P=\frac{1}{4}$。
（2）化简$A÷(B + C)$：
先计算括号内的部分：
$B+C=\frac{2}{m-1}+1=\frac{2}{m-1}+\frac{m-1}{m-1}=\frac{m+1}{m-1}$
将$A$代入并转化为乘法运算，对$A$的分母因式分解：
$A÷(B + C)=\frac{m+1}{(m-1)^2}÷\frac{m+1}{m-1}=\frac{m+1}{(m-1)^2}×\frac{m-1}{m+1}$
约去公因式$m+1$和$m-1$（$m≠1$且$m≠-1$），得结果为$\frac{1}{m-1}$。
【答案】
(1) 如图,总共有4种等可能结果,占1种,因此概率为 $P=\dfrac{1}{4}$。
(2) $\dfrac{1}{m - 1}$
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 分式混合运算
3. 因式分解
【点评】
本题综合考查了概率求解和分式运算的核心知识，概率部分需要准确列举所有等可能情况，避免漏算或多算；分式化简部分需要掌握通分、约分的规则，以及完全平方公式的应用，运算时注意分母不为零的隐含条件。
【难度系数】
0.7
（1）求解第一问时，首先明确两个符号的可选情况：“”有×、÷共2种选择，“◯”有+、-共2种选择，所有组合均为等可能事件，我们可以通过列举所有运算组合，找到符合$A÷(B + C)$的组合数，再根据“概率=符合条件的情况数÷总情况数”的公式计算即可。
（2）求解第二问分式化简时，按照分式混合运算顺序，先计算括号内的$B+C$，通分将两个式子化为同分母分式相加，再将除法运算转化为乘法运算，同时对$A$的分母用完全平方公式因式分解，最后约分化为最简分式即可。
【解析】
（1）列举所有可能的运算组合：
① 填×，◯填+：$A×(B+C)$
② 填×，◯填-：$A×(B-C)$
③ 填÷，◯填+：$A÷(B+C)$
④ 填÷，◯填-：$A÷(B-C)$
总共有4种等可能的结果，其中得到$A÷(B + C)$的情况只有1种，因此$P=\frac{1}{4}$。
（2）化简$A÷(B + C)$：
先计算括号内的部分：
$B+C=\frac{2}{m-1}+1=\frac{2}{m-1}+\frac{m-1}{m-1}=\frac{m+1}{m-1}$
将$A$代入并转化为乘法运算，对$A$的分母因式分解：
$A÷(B + C)=\frac{m+1}{(m-1)^2}÷\frac{m+1}{m-1}=\frac{m+1}{(m-1)^2}×\frac{m-1}{m+1}$
约去公因式$m+1$和$m-1$（$m≠1$且$m≠-1$），得结果为$\frac{1}{m-1}$。
【答案】
(1) 如图,总共有4种等可能结果,占1种,因此概率为 $P=\dfrac{1}{4}$。
(2) $\dfrac{1}{m - 1}$
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 分式混合运算
3. 因式分解
【点评】
本题综合考查了概率求解和分式运算的核心知识，概率部分需要准确列举所有等可能情况，避免漏算或多算；分式化简部分需要掌握通分、约分的规则，以及完全平方公式的应用，运算时注意分母不为零的隐含条件。
【难度系数】
0.7
14 中国邮政于2025年3月14日发行《数学之美》特种邮票，分别以“圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带”为主题，一套四张，在方寸间展现数学的无限魅力与艺术美感。已知每张邮票成本2元，商场将两套邮票分别装入八个相同的盲盒中，每个盲盒装一张且被抽中的概率相同。凡在商场购物满300元的顾客，将获得一次抽盲盒的机会，规定：抽到“圆周率”，获得该邮票且奖励10元；抽到“勾股定理或欧拉公式”，获得该邮票且奖励6元；抽到“莫比乌斯带”，仅获得该邮票。
（1）小颖从盲盒中随机抽取一个，求恰好抽到“圆周率”的概率。
（2）此活动推出的一个月里，共抽了540次盲盒，试估计商场这一个月里需支付此活动的费用。
（1）小颖从盲盒中随机抽取一个，求恰好抽到“圆周率”的概率。
（2）此活动推出的一个月里，共抽了540次盲盒，试估计商场这一个月里需支付此活动的费用。
答案
(1) $\dfrac{1}{4}$
(2) 商场这一个月里需支付邮票的成本费用为: $2 × 540 = 1080$(元)。
抽到“圆周率”的总次数约为: $\dfrac{1}{4} × 540 = 135$(次)。
抽到“勾股定理或欧拉公式”的总次数约为: $\dfrac{1}{2} × 540 = 270$(次)。
抽到“莫比乌斯带”的总次数约为: $\dfrac{1}{4} × 540 = 135$(次)。
所以商场这一个月里需支付此活动的费用约为: $1080 + 135 × 10 + 270 × 6 + 135 × 0 = 4050$(元)。
(2) 商场这一个月里需支付邮票的成本费用为: $2 × 540 = 1080$(元)。
抽到“圆周率”的总次数约为: $\dfrac{1}{4} × 540 = 135$(次)。
抽到“勾股定理或欧拉公式”的总次数约为: $\dfrac{1}{2} × 540 = 270$(次)。
抽到“莫比乌斯带”的总次数约为: $\dfrac{1}{4} × 540 = 135$(次)。
所以商场这一个月里需支付此活动的费用约为: $1080 + 135 × 10 + 270 × 6 + 135 × 0 = 4050$(元)。
解析
【分析】
（1）本题考查古典概型的概率计算，解题时先明确所有等可能的总情况数，再找到恰好抽到“圆周率”的情况数，根据概率公式“概率=所求事件的情况数÷总情况数”计算即可。首先两套邮票共8张，每个盲盒1张，总共有8种等可能的抽取结果，其中“圆周率”主题的邮票共有2张，对应2种符合要求的结果，代入公式就能得到概率。
（2）本题考查用概率估算实际费用，解题思路如下：首先活动费用包含两部分，一是所有抽出邮票的成本，每张邮票成本2元，抽多少次就需要支付多少张的成本；二是不同奖项对应的奖励费用。先计算出抽中三类邮票的概率，用总抽取次数乘以各概率得到每类邮票的大致抽取次数，再分别乘以对应的奖励金额得到总奖励费用，最后将邮票总成本和总奖励费用相加，就是总支付费用。
【解析】
（1）由题意可知，两套邮票共8张，分别装入8个盲盒，即抽取盲盒共有8种等可能的结果。
其中“圆周率”主题的邮票有2张，即抽到“圆周率”的结果有2种。
因此恰好抽到“圆周率”的概率 $P=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$。
（2）首先计算邮票的总成本：每张邮票成本2元，共抽取540次，因此邮票成本为 $2×540=1080$ 元。
接下来计算各类型邮票的预计抽取次数和对应奖励：
抽到“圆周率”的预计次数为 $\dfrac{1}{4}×540=135$ 次，奖励费用为 $135×10=1350$ 元；
抽到“勾股定理或欧拉公式”的概率为 $\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$，预计次数为 $\dfrac{1}{2}×540=270$ 次，奖励费用为 $270×6=1620$ 元；
抽到“莫比乌斯带”的预计次数为 $\dfrac{1}{4}×540=135$ 次，奖励费用为0元。
因此总费用为 $1080+1350+1620=4050$ 元。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{4}$
(2) $4050$元
【知识点】
1. 古典概型计算
2. 概率的实际应用
3. 有理数混合运算
【点评】
本题结合盲盒活动和邮票发行的实景出题，将数学知识和生活实际紧密结合，既考查了概率的基础计算，也考查了学生运用数学知识解决实际费用估算问题的能力，趣味性和实用性较强。
【难度系数】
0.75
（1）本题考查古典概型的概率计算，解题时先明确所有等可能的总情况数，再找到恰好抽到“圆周率”的情况数，根据概率公式“概率=所求事件的情况数÷总情况数”计算即可。首先两套邮票共8张，每个盲盒1张，总共有8种等可能的抽取结果，其中“圆周率”主题的邮票共有2张，对应2种符合要求的结果，代入公式就能得到概率。
（2）本题考查用概率估算实际费用，解题思路如下：首先活动费用包含两部分，一是所有抽出邮票的成本，每张邮票成本2元，抽多少次就需要支付多少张的成本；二是不同奖项对应的奖励费用。先计算出抽中三类邮票的概率，用总抽取次数乘以各概率得到每类邮票的大致抽取次数，再分别乘以对应的奖励金额得到总奖励费用，最后将邮票总成本和总奖励费用相加，就是总支付费用。
【解析】
（1）由题意可知，两套邮票共8张，分别装入8个盲盒，即抽取盲盒共有8种等可能的结果。
其中“圆周率”主题的邮票有2张，即抽到“圆周率”的结果有2种。
因此恰好抽到“圆周率”的概率 $P=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$。
（2）首先计算邮票的总成本：每张邮票成本2元，共抽取540次，因此邮票成本为 $2×540=1080$ 元。
接下来计算各类型邮票的预计抽取次数和对应奖励：
抽到“圆周率”的预计次数为 $\dfrac{1}{4}×540=135$ 次，奖励费用为 $135×10=1350$ 元；
抽到“勾股定理或欧拉公式”的概率为 $\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$，预计次数为 $\dfrac{1}{2}×540=270$ 次，奖励费用为 $270×6=1620$ 元；
抽到“莫比乌斯带”的预计次数为 $\dfrac{1}{4}×540=135$ 次，奖励费用为0元。
因此总费用为 $1080+1350+1620=4050$ 元。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{4}$
(2) $4050$元
【知识点】
1. 古典概型计算
2. 概率的实际应用
3. 有理数混合运算
【点评】
本题结合盲盒活动和邮票发行的实景出题，将数学知识和生活实际紧密结合，既考查了概率的基础计算，也考查了学生运用数学知识解决实际费用估算问题的能力，趣味性和实用性较强。
【难度系数】
0.75
