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27. (14分)如图1,在四边形ABCD中,∠BAD=∠D=90°,AD=8,CD=6,AB=m.过A,B,C三点的⊙O的圆心位置和半径,随着m的变化而变化.解决下列问题:
【特殊情形】
(1) 如图2,当m=0时,圆心O在AD上,求⊙O的半径.
【一般情形】
(2) Ⅰ.当m=2时,求⊙O的半径;
Ⅱ.当m＞0时,随着m的增大,点O的运动路径是
① 射线 ② 弧 ③ 双曲线的一部分 ④ 不规则的曲线
【深入研究】
(3) 如图3,连接AC,以O为圆心,作出与CD边相切的圆,记为小⊙O.当小⊙O与AC相交且与BC相离时,直接写出m的取值范围.
【特殊情形】
(1) 如图2,当m=0时,圆心O在AD上,求⊙O的半径.
【一般情形】
(2) Ⅰ.当m=2时,求⊙O的半径;
Ⅱ.当m＞0时,随着m的增大,点O的运动路径是
①
. (填写序号)① 射线 ② 弧 ③ 双曲线的一部分 ④ 不规则的曲线
【深入研究】
(3) 如图3,连接AC,以O为圆心,作出与CD边相切的圆,记为小⊙O.当小⊙O与AC相交且与BC相离时,直接写出m的取值范围.
答案
27. (1) 连接OC,在$\odot O$中,设$OA=OC=r$,则$OD=8-r$.在$Rt△ OCD$中,$∠ D=90°$,$\therefore OD^2+CD^2=OC^2$,即$(8-r)^2+6^2=r^2$.解得$r=\frac{25}{4}$.
(2) Ⅰ. 如图1,过点O分别作$OF⊥ AB,OE⊥ CD$,连接OC,OB,$\because OF$过圆心,$OF⊥ AB$,$\therefore AF=BF=1$. $\because ∠ A=∠ D=∠ OFA=90°$,$\therefore$ 四边形AFED是矩形,$\therefore AF=DE=1$,$\therefore CE=CD-DE=5$.设$OE=x$,则$OF=8-x$,在$Rt△ COE$中,$OE^2+CE^2=OC^2$,在$Rt△ BOF$中,$OF^2+BF^2=OB^2$,$\therefore OE^2+CE^2=OF^2+BF^2$,即$x^2+5^2=(8-x)^2+1^2$,解得$x=\frac{5}{2}$,$\therefore OC^2=OE^2+CE^2=\frac{125}{4}$,即$r=OC=\frac{5\sqrt{5}}{2}$.
Ⅱ. ①
(3) 过O作$EF⊥ CD$,交CD于E,交AB于F,过O作$OM⊥ AC$于M,作$ON⊥ BC$于N,连接OC,OB,过B作$BG⊥ CD$于G,如图2:由(Ⅱ)知,$OE=\frac{14+3m}{8}$,$\therefore OC^2=CE^2+OE^2=\frac{25}{64}(m^2-12m+100)$. $\because AD=8,CD=6$,$\therefore AC=10$,$\therefore CM=\frac{1}{2}AC=5$,$\therefore OM^2=OC^2-CM^2=\frac{25}{64}(m^2-12m+100)-25=\frac{25}{64}(m^2-12m+36)$. $\because BG⊥ CD,AD⊥ CD,DG// AB$,$\therefore$ 四边形ABGD是矩形,$\therefore DG=AB=m,BG=AD=8$,$\therefore CG=6-m$,$\therefore BC^2=CG^2+BG^2=m^2-12m+100$,$\therefore CN^2=(\frac{1}{2}BC)^2=\frac{1}{4}(m^2-12m+100)$,$\therefore ON^2=OC^2-CN^2=\frac{1}{64}(9m^2-108m+900)$,$\because$ 小$\odot O$与AC相交且与BC相离,$\therefore OM＜OE＜ON$,$\therefore OM^2＜OE^2＜ON^2$,即$\frac{25}{64}(m^2-12m+36)＜(\frac{14+3m}{8})^2＜\frac{1}{64}(9m^2-108m+900)$,解得:$2＜m＜\frac{11}{3}$.
解析
【分析】
(1) 当m=0时A、B重合，圆心O在AD上，OA、OC均为⊙O半径，设半径为r后可得OD=8-r，在Rt△OCD中利用勾股定理列方程即可求解。
(2) Ⅰ. 当m=2时，根据垂径定理过圆心作AB、CD的垂线可平分两条弦，结合已知的直角可证得围成的四边形是矩形，用矩形性质得到相关线段长度，设未知数后利用OC=OB（同圆半径相等），分别在两个直角三角形中用勾股定理表示半径平方，列方程即可求解。
Ⅱ. 推导圆心坐标的关系可知其满足一次函数特征，m＞0时运动路径为射线，故选①。
(3) 小⊙O与CD相切，故半径等于O到CD的距离OE；小⊙O与AC相交等价于O到AC的距离小于半径，与BC相离等价于O到BC的距离大于半径，据此列不等式组求解即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 连接OC，设⊙O的半径为r，则$OA=OC=r$，$OD=AD-OA=8-r$。
在$Rt△OCD$中，$∠D=90°$，由勾股定理得：$OD^2+CD^2=OC^2$，
代入得$(8-r)^2+6^2=r^2$，
展开整理得$16r=100$，解得$r=\frac{25}{4}$。
(2) Ⅰ. 如图1，过点O分别作$OF⊥AB$于F，$OE⊥CD$于E，连接OC、OB。
由垂径定理得$AF=BF=\frac{1}{2}AB=1$。
∵$∠BAD=∠D=∠OFA=90°$，
∴四边形AFED是矩形，
∴$DE=AF=1$，$EF=AD=8$，
∴$CE=CD-DE=5$。
设$OE=x$，则$OF=8-x$。
在$Rt△COE$中，$OC^2=x^2+5^2$；在$Rt△BOF$中，$OB^2=(8-x)^2+1^2$。
∵OC=OB，
∴$x^2+25=(8-x)^2+1$，
解得$x=\frac{5}{2}$。
∴$OC^2=(\frac{5}{2})^2+5^2=\frac{125}{4}$，即$r=OC=\frac{5\sqrt{5}}{2}$。
Ⅱ. 圆心的坐标满足一次函数关系，m＞0时运动路径为射线，故选①。
(3) 过O作$EF⊥CD$交CD于E、交AB于F，过O作$OM⊥AC$于M，$ON⊥BC$于N，连接OC、OB，过B作$BG⊥CD$于G，如图2。
由推导可得$OE=\frac{14+3m}{8}$，$OC^2=\frac{25}{64}(m^2-12m+100)$。
∵AD=8，CD=6，∠D=90°，
∴$AC=10$，由垂径定理得$CM=5$，
∴$OM^2=OC^2-CM^2=\frac{25}{64}(m^2-12m+36)$。
易证四边形ABGD是矩形，故$DG=m$，$BG=8$，$CG=6-m$，
∴$BC^2=m^2-12m+100$，$CN=\frac{1}{2}BC$，
∴$ON^2=OC^2-CN^2=\frac{1}{64}(9m^2-108m+900)$。
小⊙O与CD相切，半径为OE，由相交、相离的条件得$OM＜OE＜ON$，即$OM^2＜OE^2＜ON^2$，
代入得$\frac{25}{64}(m^2-12m+36)＜(\frac{14+3m}{8})^2＜\frac{1}{64}(9m^2-108m+900)$，
解得$2＜m＜\frac{11}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{25}{4}$；(2) Ⅰ. $\frac{5\sqrt{5}}{2}$；Ⅱ. ①；(3) $2＜m＜\frac{11}{3}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直线与圆的位置关系
【点评】
本题为圆的综合题，融合了矩形性质、动态几何分析、不等式组求解等内容，既考查基础运算能力，也要求学生能结合几何性质建立方程或不等式解决问题，对知识综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.3
(1) 当m=0时A、B重合，圆心O在AD上，OA、OC均为⊙O半径，设半径为r后可得OD=8-r，在Rt△OCD中利用勾股定理列方程即可求解。
(2) Ⅰ. 当m=2时，根据垂径定理过圆心作AB、CD的垂线可平分两条弦，结合已知的直角可证得围成的四边形是矩形，用矩形性质得到相关线段长度，设未知数后利用OC=OB（同圆半径相等），分别在两个直角三角形中用勾股定理表示半径平方，列方程即可求解。
Ⅱ. 推导圆心坐标的关系可知其满足一次函数特征，m＞0时运动路径为射线，故选①。
(3) 小⊙O与CD相切，故半径等于O到CD的距离OE；小⊙O与AC相交等价于O到AC的距离小于半径，与BC相离等价于O到BC的距离大于半径，据此列不等式组求解即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 连接OC，设⊙O的半径为r，则$OA=OC=r$，$OD=AD-OA=8-r$。
在$Rt△OCD$中，$∠D=90°$，由勾股定理得：$OD^2+CD^2=OC^2$，
代入得$(8-r)^2+6^2=r^2$，
展开整理得$16r=100$，解得$r=\frac{25}{4}$。
(2) Ⅰ. 如图1，过点O分别作$OF⊥AB$于F，$OE⊥CD$于E，连接OC、OB。
由垂径定理得$AF=BF=\frac{1}{2}AB=1$。
∵$∠BAD=∠D=∠OFA=90°$，
∴四边形AFED是矩形，
∴$DE=AF=1$，$EF=AD=8$，
∴$CE=CD-DE=5$。
设$OE=x$，则$OF=8-x$。
在$Rt△COE$中，$OC^2=x^2+5^2$；在$Rt△BOF$中，$OB^2=(8-x)^2+1^2$。
∵OC=OB，
∴$x^2+25=(8-x)^2+1$，
解得$x=\frac{5}{2}$。
∴$OC^2=(\frac{5}{2})^2+5^2=\frac{125}{4}$，即$r=OC=\frac{5\sqrt{5}}{2}$。
Ⅱ. 圆心的坐标满足一次函数关系，m＞0时运动路径为射线，故选①。
(3) 过O作$EF⊥CD$交CD于E、交AB于F，过O作$OM⊥AC$于M，$ON⊥BC$于N，连接OC、OB，过B作$BG⊥CD$于G，如图2。
由推导可得$OE=\frac{14+3m}{8}$，$OC^2=\frac{25}{64}(m^2-12m+100)$。
∵AD=8，CD=6，∠D=90°，
∴$AC=10$，由垂径定理得$CM=5$，
∴$OM^2=OC^2-CM^2=\frac{25}{64}(m^2-12m+36)$。
易证四边形ABGD是矩形，故$DG=m$，$BG=8$，$CG=6-m$，
∴$BC^2=m^2-12m+100$，$CN=\frac{1}{2}BC$，
∴$ON^2=OC^2-CN^2=\frac{1}{64}(9m^2-108m+900)$。
小⊙O与CD相切，半径为OE，由相交、相离的条件得$OM＜OE＜ON$，即$OM^2＜OE^2＜ON^2$，
代入得$\frac{25}{64}(m^2-12m+36)＜(\frac{14+3m}{8})^2＜\frac{1}{64}(9m^2-108m+900)$，
解得$2＜m＜\frac{11}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{25}{4}$；(2) Ⅰ. $\frac{5\sqrt{5}}{2}$；Ⅱ. ①；(3) $2＜m＜\frac{11}{3}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直线与圆的位置关系
【点评】
本题为圆的综合题，融合了矩形性质、动态几何分析、不等式组求解等内容，既考查基础运算能力，也要求学生能结合几何性质建立方程或不等式解决问题，对知识综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.3
