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26. (10分)解题与遐想.
如图1,$Rt△ ABC$的内切圆与斜边$AB$相切于点$D$,$AD=4$,$BD=5$.求$Rt△ ABC$的面积.
王小明:
这道题算出来面积刚好是20,太凑巧了吧.刚好是$4×5=20$,有种白算的感觉……
赵丽华:
我把4和5换成$m$,$n$再算一遍,$△ ABC$的面积总是$m· n$!确实非常神奇了……
数学刘老师:
大家想一想,既然结果如此简单到极致,不计算能不能得到呢?比如,拼图?
霍佳:
刘老师,我在想另一个东西,这个图能不能尺规画出来啊?感觉图都定了.我怎么想不出来呢?
计算验证
(1) 通过计算求出$Rt△ ABC$的面积.
拼图演绎
(2) 将$Rt△ ABC$分割放入矩形中(如图),通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置,作必要标注并简要说明.
尺规作图
(3) 尺规作图:如图,点$D$在线段$AB$上,以$AB$为斜边求作一个$Rt△ ABC$,使它的内切圆与斜边$AB$相切于点$D$.(保留作图的痕迹,写出必要的文字说明)
如图1,$Rt△ ABC$的内切圆与斜边$AB$相切于点$D$,$AD=4$,$BD=5$.求$Rt△ ABC$的面积.
王小明:
这道题算出来面积刚好是20,太凑巧了吧.刚好是$4×5=20$,有种白算的感觉……
赵丽华:
我把4和5换成$m$,$n$再算一遍,$△ ABC$的面积总是$m· n$!确实非常神奇了……
数学刘老师:
大家想一想,既然结果如此简单到极致,不计算能不能得到呢?比如,拼图?
霍佳:
刘老师,我在想另一个东西,这个图能不能尺规画出来啊?感觉图都定了.我怎么想不出来呢?
计算验证
(1) 通过计算求出$Rt△ ABC$的面积.
拼图演绎
(2) 将$Rt△ ABC$分割放入矩形中(如图),通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置,作必要标注并简要说明.
尺规作图
(3) 尺规作图:如图,点$D$在线段$AB$上,以$AB$为斜边求作一个$Rt△ ABC$,使它的内切圆与斜边$AB$相切于点$D$.(保留作图的痕迹,写出必要的文字说明)
答案
26. (1) 如图1,设$\odot O$的半径为r,连接OE,OF,$\because \odot O$内切于$△ ABC$,$\therefore OE⊥ AC,OF⊥ BC,AE=AD=4,BF=BD=5$,$\therefore ∠ OEC=∠ OFC=∠ C=90°$,$\therefore$ 四边形ECFO是矩形,$\therefore CF=OE=r,CE=OF=r$,$\therefore AC=4+r,BC=5+r$,在$Rt△ ABC$中,由勾股定理得,$(r+4)^2+(r+5)^2=9^2$,$\therefore r^2+9r=20$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}(r+4)·(r+5)=\frac{1}{2}(r^2+9r+20)=\frac{1}{2}×(20+20)=20$;
(2) 如图2
(3) 设$△ ABC$的内切圆记作$\odot F$,$\therefore AF$和BF平分$∠ BAC$和$∠ ABC$,$FD⊥ AB$,$\therefore ∠ BAF=\frac{1}{2}∠ CAB,∠ ABF=\frac{1}{2}∠ ABC$,$\therefore ∠ BAF+∠ ABF=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)=\frac{1}{2}×90°=45°$,$\therefore ∠ AFB=135°$,可以按以下步骤作图(如图3):① 以BA为直径作圆,作AB的垂直平分线交圆于点E,② 以E为圆心,AE为半径作圆,③ 过点D作AB的垂线,交圆于F,④ 连接EF并延长交圆于C,连接AC,BC,则$△ ABC$就是求作的三角形.
解析
【分析】
本题分为三个小问，解题思路清晰分层：
(1) 求直角三角形面积：先利用三角形内切圆的切线长定理得到两组相等的切线段，设内切圆半径为r，用r表示两条直角边的长度，再结合勾股定理建立关于r的关系式，最后整体代入三角形面积公式计算，无需算出r的具体值可简化运算。
(2) 拼图验证：利用矩形分割后的面积关系，将甲、乙、丙、丁四个直角三角形填入矩形空白区域，可直接看出剩余阴影部分面积等于△ABC的面积，恰好为AD与BD的乘积。
(3) 尺规作图：先推导内切圆圆心的角度特征∠AFB=135°，再利用圆周角的性质确定圆心位置，进而找到直角顶点C即可完成作图。
【解析】
(1) 如图1，设$\odot O$的半径为r，连接OE,OF。
$\because \odot O$内切于$△ ABC$，$\therefore OE⊥ AC,OF⊥ BC$，由切线长定理得$AE=AD=4,BF=BD=5$，
$\therefore ∠ OEC=∠ OFC=∠ C=90°$，且$OE=OF=r$，
$\therefore$ 四边形ECFO是正方形，$\therefore CF=OE=r,CE=OF=r$，
$\therefore AC=4+r,BC=5+r$，斜边$AB=4+5=9$，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：$(r+4)^2+(r+5)^2=9^2$，
整理得$r^2+9r=20$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}(r+4)·(r+5)=\frac{1}{2}(r^2+9r+20)=\frac{1}{2}×(20+20)=20$。
(2) 拼图时将乙放入4号矩形右上空白、甲放入左上空白、丙放入5号矩形右下空白、丁放入左下阴影旁空白，可直接看出△ABC面积等于阴影矩形面积$4×5=20$，拼图如下：
(3) 内切圆圆心F满足$∠AFB=135°$，作图步骤：① 以BA为直径作圆，作AB的垂直平分线交圆于点E，② 以E为圆心，AE为半径作圆，③ 过点D作AB的垂线，交圆于F，④ 连接EF并延长交以AB为直径的圆于C，连接AC,BC即可，作图如下：
【答案】
(1) $Rt△ABC$的面积为20；
(2)
(3)
【知识点】
切线长定理，勾股定理，尺规作图
【点评】
本题综合性较强，融合了代数计算、几何直观、动手操作三类考点，既考查了三角形内切圆性质、勾股定理等基础知识点的应用，又能锻炼逻辑推理和实践操作能力，解题时运用整体代入、性质推导等技巧可简化运算过程。
【难度系数】
0.6
本题分为三个小问，解题思路清晰分层：
(1) 求直角三角形面积：先利用三角形内切圆的切线长定理得到两组相等的切线段，设内切圆半径为r，用r表示两条直角边的长度，再结合勾股定理建立关于r的关系式，最后整体代入三角形面积公式计算，无需算出r的具体值可简化运算。
(2) 拼图验证：利用矩形分割后的面积关系，将甲、乙、丙、丁四个直角三角形填入矩形空白区域，可直接看出剩余阴影部分面积等于△ABC的面积，恰好为AD与BD的乘积。
(3) 尺规作图：先推导内切圆圆心的角度特征∠AFB=135°，再利用圆周角的性质确定圆心位置，进而找到直角顶点C即可完成作图。
【解析】
(1) 如图1，设$\odot O$的半径为r，连接OE,OF。
$\because \odot O$内切于$△ ABC$，$\therefore OE⊥ AC,OF⊥ BC$，由切线长定理得$AE=AD=4,BF=BD=5$，
$\therefore ∠ OEC=∠ OFC=∠ C=90°$，且$OE=OF=r$，
$\therefore$ 四边形ECFO是正方形，$\therefore CF=OE=r,CE=OF=r$，
$\therefore AC=4+r,BC=5+r$，斜边$AB=4+5=9$，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：$(r+4)^2+(r+5)^2=9^2$，
整理得$r^2+9r=20$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}(r+4)·(r+5)=\frac{1}{2}(r^2+9r+20)=\frac{1}{2}×(20+20)=20$。
(2) 拼图时将乙放入4号矩形右上空白、甲放入左上空白、丙放入5号矩形右下空白、丁放入左下阴影旁空白，可直接看出△ABC面积等于阴影矩形面积$4×5=20$，拼图如下：
(3) 内切圆圆心F满足$∠AFB=135°$，作图步骤：① 以BA为直径作圆，作AB的垂直平分线交圆于点E，② 以E为圆心，AE为半径作圆，③ 过点D作AB的垂线，交圆于F，④ 连接EF并延长交以AB为直径的圆于C，连接AC,BC即可，作图如下：
【答案】
(1) $Rt△ABC$的面积为20；
(2)
(3)
【知识点】
切线长定理，勾股定理，尺规作图
【点评】
本题综合性较强，融合了代数计算、几何直观、动手操作三类考点，既考查了三角形内切圆性质、勾股定理等基础知识点的应用，又能锻炼逻辑推理和实践操作能力，解题时运用整体代入、性质推导等技巧可简化运算过程。
【难度系数】
0.6
