23. (10分)为备战校运动会,初二某班的体育委员将报名100米的同学分为A队和B队,每队8人,并进行了一次100米跑的队内测试,两队的成绩如下(单位:秒):

(1) 小明通过计算平均数得$\bar{x}_A=$秒,$\bar{x}_B=15.25$秒;通过计算方差$s_A^2=$,$s_B^2=1.1875$;
(2) 小颖利用四分位数、箱线图进行分析.
① A队队员成绩的$m_{25}=$,B队队员成绩的$m_{75}=$;
② A队队员成绩的中位数B队队员成绩的中位数(填“＞”“=”或“＜”),且队选手间成绩差异较大;
(3) 请你结合小明和小颖的数据分析,从A,B两队中选择一个队伍参加运动会接力赛,并说明理由.

23. (1) 14;0.75
(2) ① 13,16 ② $＜$,B
(3) 选择A队参加运动会接力赛.A队的平均成绩为14秒,相较于B队速度更快,且A队整体的100米跑成绩更好,参赛更有可能取得优异成绩.(答案不唯一).

【分析】
这道题考查统计特征量的计算与实际应用，解题思路如下：1. 第一问计算平均数时，将对应队伍所有成绩求和后除以总人数即可；计算方差时，代入方差公式，先求每个数据与平均数差值的平方，再求平均值即可。2. 第二问求解四分位数和中位数时，先将两队成绩分别从小到大排序，再根据各分位数对应位置取数即可；方差大小反映数据波动程度，方差越大说明成绩差异越大。3. 第三问结合平均数、方差的实际意义选择队伍即可：平均成绩越小说明整体速度越快，方差越小说明成绩稳定性越高。
【解析】
(1) 计算A队平均成绩：将A队8人的成绩求和后除以人数8，可得$\bar{x}_A=14$秒；
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，代入A队所有成绩和平均数14计算，得$s_A^2=0.75$。
(2) ① 将A队成绩从小到大排序后，取25%位置对应的数值，得$m_{25}=13$；将B队成绩从小到大排序后，取75%位置对应的数值，得$m_{75}=16$。
② 分别计算两队中位数（偶数个数据时取排序后中间两个数的平均值），对比可得A队队员成绩的中位数＜B队队员成绩的中位数；因为$s_B^2=1.1875＞s_A^2=0.75$，方差越大成绩波动越大，所以B队选手间成绩差异较大。
(3) 选择A队参赛：A队平均成绩14秒小于B队的15.25秒，说明A队整体跑步速度更快，且A队方差更小，成绩更稳定，参赛获得好成绩的概率更高。（理由合理即可）
【答案】
(1) $14$；$0.75$
(2) ① $13$，$16$ ② $＜$，$B$
(3) 选择A队参加运动会接力赛。A队的平均成绩为14秒，相较于B队速度更快，且A队整体的100米跑成绩更好，参赛更有可能取得优异成绩。(答案不唯一)
【知识点】
平均数计算，方差的意义，中位数与四分位数
【点评】
本题结合运动会参赛选拔的实际场景，考查对多个统计量的掌握情况，需要同学们熟练掌握各统计量的计算方法，理解其代表的数据特征，能结合数据解决实际决策问题。
【难度系数】
0.7

24. (10分)如图,点M在∠BAC的AB边上,用直尺与圆规分别按下列要求作图:
（1）在图中作⊙O,使⊙O经过点A,M,且圆心O在AC上；
（2）在图中作⊙O,使⊙O与AC相切,且与AB相切于点M(保留作图痕迹,写出必要的文字说明).

24. (1) 如图所示,$\odot O$即为所求.

(2) 如图所示,$\odot O$即为所求.

【分析】
（1）要作经过A、M且圆心在AC上的⊙O，圆心O需满足两个条件：①到A、M两点的距离相等（即OA=OM），根据垂直平分线的性质，满足该条件的点在线段AM的垂直平分线上；②在AC上。因此只需作出AM的垂直平分线，它与AC的交点就是圆心O，再以O为圆心、OA为半径作圆即可。
（2）要作与AB相切于M，且与AC相切的⊙O，圆心O需满足：①和AB相切于M，根据切线的性质，圆心与切点的连线垂直于切线，因此O在过点M且垂直于AB的直线上；②到AB、AC的距离相等（都等于半径），根据角平分线的性质，满足该条件的点在∠BAC的角平分线上。因此作出这两条直线的交点就是圆心O，再以O为圆心、OM为半径作圆即可。
【解析】
（1）作图步骤：
①连接AM，用尺规作线段AM的垂直平分线，该垂直平分线与AC交于点O；
②以点O为圆心，OA（或OM）的长度为半径作圆，所得⊙O即为所求。
（2）作图步骤：
①过点M用尺规作AB的垂线；
②作∠BAC的角平分线，角平分线与上述过M的AB的垂线交于点O；
③以点O为圆心，OM的长度为半径作圆，所得⊙O即为所求。
（作图需保留所有尺规作图的痕迹，如作垂直平分线、角平分线时的弧线标记。）
【答案】
(1) 如图所示,$\odot O$即为所求.

(2) 如图所示,$\odot O$即为所求.
【知识点】
垂直平分线的性质；角平分线的性质；切线的性质
【点评】
本题是基础尺规作图题，结合多个几何性质考察作图能力，解题的关键是根据题目给出的条件推导得出圆心所在的两条轨迹线，交点即为圆心，作图时要注意保留规范的作图痕迹。
【难度系数】
0.7

25. (10分)若$x=m$时，代数式$ax^2+bx+c$的值也为$m$，则称$m$是这个代数式的“$x$优值”.例如，当$x=0$时，代数式$x^2-x$的值为0；当$x=2$时，代数式$x^2-x$的值为2，所以0和2都是$x^2-x$的“$x$优值”.
（1）代数式$x^2$的“$x$优值”是；
（2）判断代数式$x^2-x+n^2+2$是否存在“$x$优值”，并说明理由；
（3）代数式$x^2-n^2+n$存在两个“$x$优值”且差为5，求$n$的值.

25. (1) 0和1
(2) 不存在“x优值”.理由如下:假设存在优值为x,则有$x^2-x+n^2+2=x$,整理得:$x^2-2x+n^2+2=0$,则$\Delta=(-2)^2-4(n^2+2)=-4n^2-4$,$\because$ 无论n取何值时,$-4n^2-4＜0$,$\therefore$ 方程没有实数根,即代数式$x^2-x+n^2+2$不存在“x优值”.
(3) 设“x优值”为x,则有$x^2-n^2+n=x$,整理得:$x^2-x-n(n-1)=0$,$\therefore (x-n)(x+n-1)=0$,$\therefore x_1=n,x_2=1-n$.$\because$ 两个“x优值”差为5,$\therefore n-(1-n)=5$或$(1-n)-n=5$,$\therefore n=3$或$n=-2$.

【分析】
解题的核心是理解“x优值”的定义：若m是代数式的“x优值”，则当x=m时，代数式的值等于m，可将问题转化为一元二次方程求解问题。
（1）求代数式$x^2$的“x优值”，只需根据定义列方程$x^2=x$，解该一元二次方程即可得到结果；
（2）判断是否存在“x优值”，先按定义列方程，整理为一元二次方程的一般形式，通过判别式$\Delta$判断方程是否有实数根，若$\Delta＜0$则无实根，即不存在“x优值”；
（3）先根据定义列方程，整理后求解得到两个“x优值”，结合两个优值的差为5，分类讨论两数的大小关系列方程，即可求出$n$的值。
【解析】
（1）设代数式$x^2$的“x优值”为$m$，根据定义得：
$m^2=m$
移项因式分解得$m(m-1)=0$，解得$m_1=0$，$m_2=1$。
（2）不存在“x优值”，理由如下：
假设存在“x优值”$x$，根据定义得：
$x^2-x+n^2+2=x$
整理得$x^2-2x+n^2+2=0$
该方程的判别式$\Delta=(-2)^2-4×1×(n^2+2)=-4n^2-4$
$\because$ 无论$n$取何值，$n^2≥0$，$\therefore -4n^2-4≤-4＜0$
$\therefore$ 方程没有实数根，即代数式$x^2-x+n^2+2$不存在“x优值”。
（3）设“x优值”为$x$，根据定义得：
$x^2-n^2+n=x$
整理得$x^2-x-n(n-1)=0$
因式分解得$(x-n)(x+n-1)=0$
解得$x_1=n$，$x_2=1-n$
$\because$ 两个“x优值”的差为5，
$\therefore$ 当$n-(1-n)=5$时，解得$n=3$；
当$(1-n)-n=5$时，解得$n=-2$。
【答案】
(1) 0和1；(2) 不存在“x优值”；(3) $n=3$或$n=-2$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法
【点评】
本题以新定义为背景考查一元二次方程的应用，解题关键是将新定义转化为熟悉的方程问题，第三问需注意分类讨论两根的大小关系，避免漏解。
【难度系数】
0.65