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18. (8分)如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，$CE⊥ AB$于点E，$DF⊥ AB$于点F，$OE=OF$. 求证：$AC=BD$.
答案
18. 如图,连接OC,OD,$\because CE⊥ AB,DF⊥ AB,\therefore ∠ OEC=∠ OFD=90°$.在$Rt△ OEC$和$Rt△ OFD$中,$\begin{cases} OE=OF, \\ OC=OD, \end{cases}$ $\therefore Rt△ OEC≌ Rt△ OFD(HL),\therefore ∠ AOC=∠ BOD,\therefore AC=BD$.
解析
【分析】
要证明弦$AC=BD$，根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等，可先证明二者对应的圆心角$∠ AOC=∠ BOD$。已知$OE=OF$，且$CE⊥ AB$、$DF⊥ AB$，同时$OC$、$OD$均为$\odot O$的半径、长度相等，因此可以通过连接$OC$、$OD$构造直角三角形，证明两个直角三角形全等得到对应角相等，进而推出圆心角相等，最终得到弦相等的结论。
【解析】
证明：连接$OC$、$OD$，
$\because CE⊥ AB$，$DF⊥ AB$，
$\therefore ∠ OEC=∠ OFD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OEC$和$\mathrm{Rt}△ OFD$中，
$\begin{cases}OE=OF \\OC=OD\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OEC≌ \mathrm{Rt}△ OFD(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ AOC=∠ BOD$，
$\therefore AC=BD$。
【答案】
如图,连接OC,OD,$\because CE⊥ AB,DF⊥ AB,\therefore ∠ OEC=∠ OFD=90°$.在$Rt△ OEC$和$Rt△ OFD$中,$\begin{cases} OE=OF, \\ OC=OD, \end{cases}$ $\therefore Rt△ OEC≌ Rt△ OFD(HL),\therefore ∠ AOC=∠ BOD,\therefore AC=BD$.
【知识点】
圆的基本性质；直角三角形全等判定；圆心角与弦的关系
【点评】
本题是圆的基础证明题，解题关键是合理连接半径构造全等三角形，通过全等转化角的关系，再结合同圆中圆心角与弦的对应关系完成证明，解题思路直观，属于常规考查题型。
【难度系数】
0.7
要证明弦$AC=BD$，根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等，可先证明二者对应的圆心角$∠ AOC=∠ BOD$。已知$OE=OF$，且$CE⊥ AB$、$DF⊥ AB$，同时$OC$、$OD$均为$\odot O$的半径、长度相等，因此可以通过连接$OC$、$OD$构造直角三角形，证明两个直角三角形全等得到对应角相等，进而推出圆心角相等，最终得到弦相等的结论。
【解析】
证明：连接$OC$、$OD$，
$\because CE⊥ AB$，$DF⊥ AB$，
$\therefore ∠ OEC=∠ OFD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OEC$和$\mathrm{Rt}△ OFD$中，
$\begin{cases}OE=OF \\OC=OD\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OEC≌ \mathrm{Rt}△ OFD(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ AOC=∠ BOD$，
$\therefore AC=BD$。
【答案】
如图,连接OC,OD,$\because CE⊥ AB,DF⊥ AB,\therefore ∠ OEC=∠ OFD=90°$.在$Rt△ OEC$和$Rt△ OFD$中,$\begin{cases} OE=OF, \\ OC=OD, \end{cases}$ $\therefore Rt△ OEC≌ Rt△ OFD(HL),\therefore ∠ AOC=∠ BOD,\therefore AC=BD$.
【知识点】
圆的基本性质；直角三角形全等判定；圆心角与弦的关系
【点评】
本题是圆的基础证明题，解题关键是合理连接半径构造全等三角形，通过全等转化角的关系，再结合同圆中圆心角与弦的对应关系完成证明，解题思路直观，属于常规考查题型。
【难度系数】
0.7
19. (8分)关于x的方程$x^2 - (m+4)x + 3m + 3 = 0$.
(1) 求证:不论m取何值,方程总有两个实数根;
(2) 若方程有一个根小于2,则m的取值范围是
(1) 求证:不论m取何值,方程总有两个实数根;
(2) 若方程有一个根小于2,则m的取值范围是
$m＜1$
.答案
19. (1) $\Delta=[-(m+4)]^2-4(3m+3)=(m-2)^2$,$\because$ 无论m取何值时,$(m-2)^2≥0$,$\therefore$ 原方程总有两个实数根.
(2) $x^2-(m+4)x+3m+3=0,(x-3)(x-m-1)=0,x=3或x=m+1$,若方程有一个根小于2,则$m+1＜2$,解得$m＜1$.综上可知,若方程有一个根小于2,m的取值范围为$m＜1$.
(2) $x^2-(m+4)x+3m+3=0,(x-3)(x-m-1)=0,x=3或x=m+1$,若方程有一个根小于2,则$m+1＜2$,解得$m＜1$.综上可知,若方程有一个根小于2,m的取值范围为$m＜1$.
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程总有两个实数根，核心思路是验证根的判别式Δ恒大于等于0。先根据方程写出Δ的表达式，展开化简后判断其取值范围即可完成证明。
(2) 先通过因式分解法求出方程的两个明确的根，已知其中一个根为3，本身大于2，因此只需让另一个根小于2，据此列出关于m的不等式，求解即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2 - (m+4)x + 3m + 3 = 0$，
根的判别式$\Delta = [-(m+4)]^2 - 4×1×(3m+3)$
$= m^2 + 8m + 16 - 12m - 12$
$= m^2 -4m +4$
$=(m-2)^2$
∵ 不论m取何值，$(m-2)^2≥0$恒成立，即$\Delta≥0$恒成立，
∴ 不论m取何值，方程总有两个实数根。
(2) 解：对原方程因式分解：
将方程变形为$x^2 - (m+4)x + 3(m+1) = 0$，十字相乘可得$(x-3)(x - (m+1))=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=m+1$。
已知根$x_1=3＞2$，若方程有一个根小于2，则需$x_2=m+1＜2$，
解不等式得$m＜1$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $m＜1$
【知识点】
根的判别式应用，因式分解法解方程，一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，侧重核心知识点的直接应用，解题关键是熟练掌握根的判别式的意义、因式分解解一元二次方程的方法，能根据根的取值要求正确列出不等式。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明一元二次方程总有两个实数根，核心思路是验证根的判别式Δ恒大于等于0。先根据方程写出Δ的表达式，展开化简后判断其取值范围即可完成证明。
(2) 先通过因式分解法求出方程的两个明确的根，已知其中一个根为3，本身大于2，因此只需让另一个根小于2，据此列出关于m的不等式，求解即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2 - (m+4)x + 3m + 3 = 0$，
根的判别式$\Delta = [-(m+4)]^2 - 4×1×(3m+3)$
$= m^2 + 8m + 16 - 12m - 12$
$= m^2 -4m +4$
$=(m-2)^2$
∵ 不论m取何值，$(m-2)^2≥0$恒成立，即$\Delta≥0$恒成立，
∴ 不论m取何值，方程总有两个实数根。
(2) 解：对原方程因式分解：
将方程变形为$x^2 - (m+4)x + 3(m+1) = 0$，十字相乘可得$(x-3)(x - (m+1))=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=m+1$。
已知根$x_1=3＞2$，若方程有一个根小于2，则需$x_2=m+1＜2$，
解不等式得$m＜1$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $m＜1$
【知识点】
根的判别式应用，因式分解法解方程，一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，侧重核心知识点的直接应用，解题关键是熟练掌握根的判别式的意义、因式分解解一元二次方程的方法，能根据根的取值要求正确列出不等式。
【难度系数】
0.7
20. (8分)如图,在平面直角坐标系中,A(2,5),B(4,5),C(6,3).⊙M经过A,B,C三点.
（1）点M的坐标是
（2）判断⊙M与y轴的位置关系,并说明理由.
（1）点M的坐标是
$(3,2)$
；（2）判断⊙M与y轴的位置关系,并说明理由.
答案
20. (1) 连接AB,BC,分别作AB,BC的垂直平分线交于点M,则以点M为圆心,以AM为半径的圆为所求,如图所示.根据网格的特征可得:点M的坐标为$(3,2)$.
(2) $\odot M$与y轴相交,理由如下:由勾股定理得:$MA=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,即$\odot M$的半径为$r=\sqrt{10}$,$\because \odot M$的圆心M的坐标为$(3,2)$,$\therefore$ 点M到y轴的距离$d=3$,$\because d＜r$,$\therefore \odot M$与y轴相交.
解析
【分析】
（1）求圆心坐标可利用“圆心是圆中任意两条弦的垂直平分线的交点”的性质求解。首先A、B两点纵坐标相同，AB为水平线段，可快速得到AB的垂直平分线；再求出线段BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心M，结合坐标计算即可得到M的坐标。
（2）判断圆与y轴的位置关系，只需比较圆心到y轴的距离$d$和圆的半径$r$的大小：$d＜r$时相交，$d=r$时相切，$d＞r$时相离。因此先通过勾股定理计算半径$r$，再得到圆心到y轴的距离$d$，比较二者大小即可得出结论。
【解析】
（1）已知$A(2,5)$，$B(4,5)$，两点纵坐标相等，故AB平行于x轴，AB中点坐标为$(\frac{2+4}{2},5)=(3,5)$，因此AB的垂直平分线为直线$x=3$。
再求BC的垂直平分线：$B(4,5)$，$C(6,3)$，BC的中点坐标为$(\frac{4+6}{2},\frac{5+3}{2})=(5,4)$，BC的斜率为$\frac{3-5}{6-4}=-1$，因此BC垂直平分线的斜率为1，可得其解析式为$y-4=x-5$，即$y=x-1$。
联立$\begin{cases}x=3\\y=x-1\end{cases}$，解得$y=2$，即点M的坐标为$(3,2)$。
（2）$\odot M$与y轴相交，理由如下：
由勾股定理得半径$MA=\sqrt{(3-2)^2+(2-5)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$，即$r=\sqrt{10}$。
圆心$M(3,2)$到y轴的距离为点M横坐标的绝对值，即$d=3$。
因为$3=\sqrt{9}＜\sqrt{10}$，即$d＜r$，所以$\odot M$与y轴相交。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3,2)}$
(2) $\odot M$与y轴相交，理由：$\odot M$的半径$r=\sqrt{10}$，圆心M到y轴的距离$d=3＜\sqrt{10}$，因此$\odot M$与y轴相交。
【知识点】
垂径定理的应用；直线与圆的位置关系判定；勾股定理
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查圆的基础性质，解题核心是掌握圆心与弦垂直平分线的关系，以及直线与圆位置关系的判定方法，计算量小，侧重对基础定理的应用考查。
【难度系数】
0.7
（1）求圆心坐标可利用“圆心是圆中任意两条弦的垂直平分线的交点”的性质求解。首先A、B两点纵坐标相同，AB为水平线段，可快速得到AB的垂直平分线；再求出线段BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心M，结合坐标计算即可得到M的坐标。
（2）判断圆与y轴的位置关系，只需比较圆心到y轴的距离$d$和圆的半径$r$的大小：$d＜r$时相交，$d=r$时相切，$d＞r$时相离。因此先通过勾股定理计算半径$r$，再得到圆心到y轴的距离$d$，比较二者大小即可得出结论。
【解析】
（1）已知$A(2,5)$，$B(4,5)$，两点纵坐标相等，故AB平行于x轴，AB中点坐标为$(\frac{2+4}{2},5)=(3,5)$，因此AB的垂直平分线为直线$x=3$。
再求BC的垂直平分线：$B(4,5)$，$C(6,3)$，BC的中点坐标为$(\frac{4+6}{2},\frac{5+3}{2})=(5,4)$，BC的斜率为$\frac{3-5}{6-4}=-1$，因此BC垂直平分线的斜率为1，可得其解析式为$y-4=x-5$，即$y=x-1$。
联立$\begin{cases}x=3\\y=x-1\end{cases}$，解得$y=2$，即点M的坐标为$(3,2)$。
（2）$\odot M$与y轴相交，理由如下：
由勾股定理得半径$MA=\sqrt{(3-2)^2+(2-5)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$，即$r=\sqrt{10}$。
圆心$M(3,2)$到y轴的距离为点M横坐标的绝对值，即$d=3$。
因为$3=\sqrt{9}＜\sqrt{10}$，即$d＜r$，所以$\odot M$与y轴相交。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3,2)}$
(2) $\odot M$与y轴相交，理由：$\odot M$的半径$r=\sqrt{10}$，圆心M到y轴的距离$d=3＜\sqrt{10}$，因此$\odot M$与y轴相交。
【知识点】
垂径定理的应用；直线与圆的位置关系判定；勾股定理
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查圆的基础性质，解题核心是掌握圆心与弦垂直平分线的关系，以及直线与圆位置关系的判定方法，计算量小，侧重对基础定理的应用考查。
【难度系数】
0.7
21. (8分)(2025·连云港)一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球,这些球除颜色外都相同.
(1) 搅匀后从中任意摸出1个球,则摸到红球的概率是
(2) 搅匀后从中任意摸出1个球,记录颜色后放回、搅匀,再从中任意摸出1个球.用画树状图或列表的方法,求2次都摸到白球的概率.
(1) 搅匀后从中任意摸出1个球,则摸到红球的概率是
$\frac{1}{4}$
;(2) 搅匀后从中任意摸出1个球,记录颜色后放回、搅匀,再从中任意摸出1个球.用画树状图或列表的方法,求2次都摸到白球的概率.
答案
21. (1) $\frac{1}{4}$
(2) 列表如下:
| | 红 | 白 | 白 | 白 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,白) | (红,白) | (红,白) |
| 白 | (白,红) | (白,白) | (白,白) | (白,白) |
| 白 | (白,红) | (白,白) | (白,白) | (白,白) |
| 白 | (白,红) | (白,白) | (白,白) | (白,白) |
共有16种等可能的结果,其中2次都摸到白球的结果有9种,$\therefore$ 2次都摸到白球的概率为$\frac{9}{16}$.
(2) 列表如下:
| | 红 | 白 | 白 | 白 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,白) | (红,白) | (红,白) |
| 白 | (白,红) | (白,白) | (白,白) | (白,白) |
| 白 | (白,红) | (白,白) | (白,白) | (白,白) |
| 白 | (白,红) | (白,白) | (白,白) | (白,白) |
共有16种等可能的结果,其中2次都摸到白球的结果有9种,$\therefore$ 2次都摸到白球的概率为$\frac{9}{16}$.
解析
【分析】
（1）第一问为简单概率计算问题，解题时先计算袋子中球的总个数，再明确红球的数量，根据古典概型概率公式“概率=所求情况数÷总等可能情况数”直接代入计算即可。
（2）第二问是有放回的两次摸球试验，属于两步概率问题，解题思路为：用列表法列举出两次摸球所有的等可能结果，再从中筛选出两次都摸到白球的结果数，最后代入概率公式计算即可，注意放回摸球时两次摸球的总情况数互不影响，均为4种。
【解析】
（1）袋子中球的总个数为$1+3=4$个，其中红球有1个，所有摸球结果均为等可能事件，因此摸到红球的概率为：
$P(\mathrm{摸到红球})=\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{1}{4}$
（2）根据题意列表如下：
| | 红 | 白 | 白 | 白 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,白) | (红,白) | (红,白) |
| 白 | (白,红) | (白,白) | (白,白) | (白,白) |
| 白 | (白,红) | (白,白) | (白,白) | (白,白) |
| 白 | (白,红) | (白,白) | (白,白) | (白,白) |
由表格可得，共有16种等可能的结果，其中2次都摸到白球的结果有9种，因此2次都摸到白球的概率为：
$P(\mathrm{两次都摸到白球})=\frac{9}{16}$
【答案】
（1）$\frac{1}{4}$；（2）$\frac{9}{16}$
【知识点】
简单概率计算，列表法求概率
【点评】
本题是概率部分的基础常考题，第一问直接考查概率公式的基本应用，第二问考查用列表法求解有放回的两步试验概率，解题核心是准确列举所有等可能结果，避免漏数或重复计数，掌握概率基本计算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
（1）第一问为简单概率计算问题，解题时先计算袋子中球的总个数，再明确红球的数量，根据古典概型概率公式“概率=所求情况数÷总等可能情况数”直接代入计算即可。
（2）第二问是有放回的两次摸球试验，属于两步概率问题，解题思路为：用列表法列举出两次摸球所有的等可能结果，再从中筛选出两次都摸到白球的结果数，最后代入概率公式计算即可，注意放回摸球时两次摸球的总情况数互不影响，均为4种。
【解析】
（1）袋子中球的总个数为$1+3=4$个，其中红球有1个，所有摸球结果均为等可能事件，因此摸到红球的概率为：
$P(\mathrm{摸到红球})=\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{1}{4}$
（2）根据题意列表如下：
| | 红 | 白 | 白 | 白 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,白) | (红,白) | (红,白) |
| 白 | (白,红) | (白,白) | (白,白) | (白,白) |
| 白 | (白,红) | (白,白) | (白,白) | (白,白) |
| 白 | (白,红) | (白,白) | (白,白) | (白,白) |
由表格可得，共有16种等可能的结果，其中2次都摸到白球的结果有9种，因此2次都摸到白球的概率为：
$P(\mathrm{两次都摸到白球})=\frac{9}{16}$
【答案】
（1）$\frac{1}{4}$；（2）$\frac{9}{16}$
【知识点】
简单概率计算，列表法求概率
【点评】
本题是概率部分的基础常考题，第一问直接考查概率公式的基本应用，第二问考查用列表法求解有放回的两步试验概率，解题核心是准确列举所有等可能结果，避免漏数或重复计数，掌握概率基本计算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
22. (8分)如图,一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象交于点$A(1,4)$,$B(4,n)$.
(1) 求这两个函数的表达式；
(2) 请结合图象直接写出不等式$kx+b≤\frac{m}{x}$的解集；
(3) 若点$P$为$x$轴上一点,$△ ABP$的面积为6,求点$P$的坐标.
(1) 求这两个函数的表达式；
(2) 请结合图象直接写出不等式$kx+b≤\frac{m}{x}$的解集；
(3) 若点$P$为$x$轴上一点,$△ ABP$的面积为6,求点$P$的坐标.
答案
22. (1) 把$A(1,4)$代入$y=\frac{m}{x}$,得:$m=4$,$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$;把$B(4,n)$代入$y=\frac{4}{x}$,得:$n=1$,$\therefore B(4,1)$,把$A(1,4),(4,1)$代入$y=kx+b$,得:$\begin{cases} k+b=4, \\ 4k+b=1, \end{cases}$ 解得:$\begin{cases} k=-1, \\ b=5, \end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的解析式为$y=-x+5$;
(2) 根据图象得:当$0＜x≤1$或$x≥4$时,$kx+b≤\frac{m}{x}$;$\therefore$ 不等式$kx+b≤\frac{m}{x}$的解集为$0＜x≤1$或$x≥4$;
(3) 如图,设直线AB与x轴交于点C,$\because$ 直线AB与x轴交于点C,$\therefore$ 点C坐标为$(5,0)$. $\because S_{△ ABP}=6$,$\therefore \frac{1}{2}× PC×4-\frac{1}{2}PC×1=6$.$\therefore PC=4$,$\therefore$ 点P的坐标为$(1,0)$或$(9,0)$.
解析
【分析】
(1) 求函数表达式使用待定系数法：反比例函数仅需一个已知点即可求出未知系数，因此先将点A坐标代入反比例函数解析式求出m，得到反比例函数表达式；再将点B的横坐标代入反比例函数求出n，得到B点完整坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数一般式，解二元一次方程组得到k、b的值，即可求出一次函数表达式。
(2) 不等式$kx+b≤\frac{m}{x}$的几何意义是一次函数图象位于反比例函数图象下方（含交点）时对应的x的取值范围，结合函数图象的位置，注意反比例函数自变量x≠0，分区间写出解集即可。
(3) 求x轴上点P的坐标，可先求出一次函数与x轴的交点C，将$△ ABP$的面积转化为$△ ACP$与$△ BCP$的面积差，两个三角形共底PC，高分别为点A、点B的纵坐标，据此列方程求出PC的长度，再结合点C的坐标，分P在C左侧、右侧两种情况即可求出P点坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 把$A(1,4)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$m=1×4=4$，$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$；
把$B(4,n)$代入$y=\frac{4}{x}$，得$n=\frac{4}{4}=1$，$\therefore B$点坐标为$(4,1)$；
把$A(1,4)$、$B(4,1)$代入$y=kx+b$，得方程组$\begin{cases} k+b=4 \\ 4k+b=1 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=5 \end{cases}$，$\therefore$ 一次函数的解析式为$y=-x+5$。
(2) 观察图象可知：一次函数图象在反比例函数图象下方（含交点）的x的取值范围是$0＜x≤1$或$x≥4$，即为不等式$kx+b≤\frac{m}{x}$的解集。
(3) 设直线AB与x轴交于点C，令$y=-x+5$中$y=0$，解得$x=5$，$\therefore$ 点C坐标为$(5,0)$。
$\because S_{△ ABP}=6$，$\therefore \frac{1}{2}×PC×4-\frac{1}{2}×PC×1=6$，解得$PC=4$。
当点P在点C左侧时，P点横坐标为$5-4=1$，即$P(1,0)$；当点P在点C右侧时，P点横坐标为$5+4=9$，即$P(9,0)$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$y=\frac{4}{x}$，一次函数解析式为$y=-x+5$；
(2) 不等式的解集为$0＜x≤1$或$x≥4$；
(3) 点P的坐标为$(1,0)$或$(9,0)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数图象解不等式，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数与反比例函数的综合题型，侧重考查数形结合思想的应用，前两问难度较低，第三问需要将不规则三角形面积转化为两个同底三角形的面积差求解，同时要注意x轴上的点P存在两种位置，避免漏解。
【难度系数】
0.65
(1) 求函数表达式使用待定系数法：反比例函数仅需一个已知点即可求出未知系数，因此先将点A坐标代入反比例函数解析式求出m，得到反比例函数表达式；再将点B的横坐标代入反比例函数求出n，得到B点完整坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数一般式，解二元一次方程组得到k、b的值，即可求出一次函数表达式。
(2) 不等式$kx+b≤\frac{m}{x}$的几何意义是一次函数图象位于反比例函数图象下方（含交点）时对应的x的取值范围，结合函数图象的位置，注意反比例函数自变量x≠0，分区间写出解集即可。
(3) 求x轴上点P的坐标，可先求出一次函数与x轴的交点C，将$△ ABP$的面积转化为$△ ACP$与$△ BCP$的面积差，两个三角形共底PC，高分别为点A、点B的纵坐标，据此列方程求出PC的长度，再结合点C的坐标，分P在C左侧、右侧两种情况即可求出P点坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 把$A(1,4)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$m=1×4=4$，$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$；
把$B(4,n)$代入$y=\frac{4}{x}$，得$n=\frac{4}{4}=1$，$\therefore B$点坐标为$(4,1)$；
把$A(1,4)$、$B(4,1)$代入$y=kx+b$，得方程组$\begin{cases} k+b=4 \\ 4k+b=1 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=5 \end{cases}$，$\therefore$ 一次函数的解析式为$y=-x+5$。
(2) 观察图象可知：一次函数图象在反比例函数图象下方（含交点）的x的取值范围是$0＜x≤1$或$x≥4$，即为不等式$kx+b≤\frac{m}{x}$的解集。
(3) 设直线AB与x轴交于点C，令$y=-x+5$中$y=0$，解得$x=5$，$\therefore$ 点C坐标为$(5,0)$。
$\because S_{△ ABP}=6$，$\therefore \frac{1}{2}×PC×4-\frac{1}{2}×PC×1=6$，解得$PC=4$。
当点P在点C左侧时，P点横坐标为$5-4=1$，即$P(1,0)$；当点P在点C右侧时，P点横坐标为$5+4=9$，即$P(9,0)$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$y=\frac{4}{x}$，一次函数解析式为$y=-x+5$；
(2) 不等式的解集为$0＜x≤1$或$x≥4$；
(3) 点P的坐标为$(1,0)$或$(9,0)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数图象解不等式，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数与反比例函数的综合题型，侧重考查数形结合思想的应用，前两问难度较低，第三问需要将不规则三角形面积转化为两个同底三角形的面积差求解，同时要注意x轴上的点P存在两种位置，避免漏解。
【难度系数】
0.65
