登录
一、选择题
1. 下列方程中，是分式方程的是 （
A.$\frac{1}{3}(x-1)=6$
B.$\frac{x-2}{7}=\frac{x+1}{5}$
C.$\frac{x}{a}+\frac{x}{b}=1(a,b为自然数)$
D.$\frac{x-1}{x}=0$
1. 下列方程中，是分式方程的是 （
D
）A.$\frac{1}{3}(x-1)=6$
B.$\frac{x-2}{7}=\frac{x+1}{5}$
C.$\frac{x}{a}+\frac{x}{b}=1(a,b为自然数)$
D.$\frac{x-1}{x}=0$
答案
1.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需逐个检查每个选项的方程分母里是否含有未知数即可，同时要注意区分常数和未知数，题目中明确标注为已知量的字母不属于未知数。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程，我们对各选项逐一分析：
A选项：方程$\frac{1}{3}(x-1)=6$的分母是3，为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
B选项：方程$\frac{x-2}{7}=\frac{x+1}{5}$的分母是7、5，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
C选项：方程$\frac{x}{a}+\frac{x}{b}=1$中注明a、b为自然数，即a、b是常数，分母不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
D选项：方程$\frac{x-1}{x}=0$的分母是x，x是未知数，符合分式方程的定义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的定义；整式方程的概念
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对分式方程定义的理解和运用，易错点是容易忽略题目中对a、b的常数说明，误将其当作未知数错选C，解题时要注意审题，明确题目给出的常数限定条件。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需逐个检查每个选项的方程分母里是否含有未知数即可，同时要注意区分常数和未知数，题目中明确标注为已知量的字母不属于未知数。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程，我们对各选项逐一分析：
A选项：方程$\frac{1}{3}(x-1)=6$的分母是3，为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
B选项：方程$\frac{x-2}{7}=\frac{x+1}{5}$的分母是7、5，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
C选项：方程$\frac{x}{a}+\frac{x}{b}=1$中注明a、b为自然数，即a、b是常数，分母不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
D选项：方程$\frac{x-1}{x}=0$的分母是x，x是未知数，符合分式方程的定义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的定义；整式方程的概念
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对分式方程定义的理解和运用，易错点是容易忽略题目中对a、b的常数说明，误将其当作未知数错选C，解题时要注意审题，明确题目给出的常数限定条件。
【难度系数】
0.8
2. 解分式方程$\frac{2}{x-1}+\frac{x+2}{1-x}=3$时，去分母后变形为（
A.$2+(x+2)=3(x-1)$
B.$2-x+2=3(x-1)$
C.$2-(x+2)=3(1-x)$
D.$2-(x+2)=3(x-1)$
D
）A.$2+(x+2)=3(x-1)$
B.$2-x+2=3(x-1)$
C.$2-(x+2)=3(1-x)$
D.$2-(x+2)=3(x-1)$
答案
2.D
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆分式方程去分母的解题思路：第一步先找所有分母的最简公分母，本题中两个分母$x-1$和$1-x$互为相反数，因此最简公分母为$x-1$；第二步根据等式的性质，方程两边同时乘最简公分母，注意两个易错点：一是每一项都要乘，包括不含分母的常数项，不能漏乘；二是分母为$1-x$的项乘$x-1$时，因为$x-1=-(1-x)$，所以该项整体要变号，最后整理式子对比选项即可。
【解析】
原方程为$\frac{2}{x-1}+\frac{x+2}{1-x}=3$，
先对第二个分式变形：$\frac{x+2}{1-x}=\frac{-(x+2)}{x-1}$，因此原方程可改写为：
$\frac{2}{x-1}-\frac{x+2}{x-1}=3$
方程两边同时乘最简公分母$x-1$（$x\ne1$），每一项都乘公分母后约分：
$2-(x+2)=3(x-1)$
该结果与选项D一致。
【答案】
D
【知识点】
分式方程去分母；分式符号法则；等式的基本性质
【点评】
本题是分式方程的基础题型，重点考查去分母时的符号处理和漏乘问题，只要掌握分式符号变化规则，牢记去分母时所有项都要乘公分母，就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆分式方程去分母的解题思路：第一步先找所有分母的最简公分母，本题中两个分母$x-1$和$1-x$互为相反数，因此最简公分母为$x-1$；第二步根据等式的性质，方程两边同时乘最简公分母，注意两个易错点：一是每一项都要乘，包括不含分母的常数项，不能漏乘；二是分母为$1-x$的项乘$x-1$时，因为$x-1=-(1-x)$，所以该项整体要变号，最后整理式子对比选项即可。
【解析】
原方程为$\frac{2}{x-1}+\frac{x+2}{1-x}=3$，
先对第二个分式变形：$\frac{x+2}{1-x}=\frac{-(x+2)}{x-1}$，因此原方程可改写为：
$\frac{2}{x-1}-\frac{x+2}{x-1}=3$
方程两边同时乘最简公分母$x-1$（$x\ne1$），每一项都乘公分母后约分：
$2-(x+2)=3(x-1)$
该结果与选项D一致。
【答案】
D
【知识点】
分式方程去分母；分式符号法则；等式的基本性质
【点评】
本题是分式方程的基础题型，重点考查去分母时的符号处理和漏乘问题，只要掌握分式符号变化规则，牢记去分母时所有项都要乘公分母，就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
3. 下列结论正确的是 （
A.$\frac{y+1}{5}=\frac{y}{3}$是分式方程
B.方程$\frac{x-2}{x+2}-\frac{16}{x^2-4}=1$无解
C.方程$\frac{x}{x^2+x}=\frac{3x}{x^2+x}$的根为$x=0$
D.解分式方程时，一定会出现增根
B
）A.$\frac{y+1}{5}=\frac{y}{3}$是分式方程
B.方程$\frac{x-2}{x+2}-\frac{16}{x^2-4}=1$无解
C.方程$\frac{x}{x^2+x}=\frac{3x}{x^2+x}$的根为$x=0$
D.解分式方程时，一定会出现增根
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查分式方程的相关概念辨析，解题时需结合分式方程的定义、解的要求、增根的含义逐一判断每个选项：1.先根据分式方程的定义判断选项A；2.通过求解分式方程并验根判断选项B、C；3.结合增根产生的原因判断选项D，最终选出正确结论。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：分式方程的核心特征是分母中含有未知数，$\frac{y+1}{5}=\frac{y}{3}$的分母为5、3，均为常数，不含未知数，属于一元一次方程，不是分式方程，A错误。
B选项：解方程$\frac{x-2}{x+2}-\frac{16}{x^2-4}=1$：
①确定最简公分母为$(x+2)(x-2)$，且分母不为0，即$x≠±2$；
②两边同乘最简公分母去分母得：$(x-2)^2 -16 = x^2 -4$；
③展开化简：$x^2 -4x +4 -16 = x^2 -4$，消去$x^2$后得$-4x=8$，解得$x=-2$；
④验根：将$x=-2$代入最简公分母，得$(x+2)(x-2)=0$，故$x=-2$是增根，原方程无解，B正确。
C选项：方程$\frac{x}{x^2+x}=\frac{3x}{x^2+x}$：
①分母$x^2+x=x(x+1)≠0$，即$x≠0$且$x≠-1$；
②移项合并得$\frac{-2x}{x^2+x}=0$，若分子为0则$x=0$，但$x=0$时分母为0，属于增根，原方程无解，C错误。
D选项：解分式方程时，只有整式方程的根使原分式方程分母为0时才会产生增根，增根不是必然出现的，D错误。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的定义；分式方程的解；分式方程的增根
【点评】
本题属于分式方程基础概念题，重点考查解分式方程的验根步骤和增根的判定，只要熟练掌握分式方程的相关定义和求解注意事项，就能快速判断选项对错。
【难度系数】
0.7
本题考查分式方程的相关概念辨析，解题时需结合分式方程的定义、解的要求、增根的含义逐一判断每个选项：1.先根据分式方程的定义判断选项A；2.通过求解分式方程并验根判断选项B、C；3.结合增根产生的原因判断选项D，最终选出正确结论。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：分式方程的核心特征是分母中含有未知数，$\frac{y+1}{5}=\frac{y}{3}$的分母为5、3，均为常数，不含未知数，属于一元一次方程，不是分式方程，A错误。
B选项：解方程$\frac{x-2}{x+2}-\frac{16}{x^2-4}=1$：
①确定最简公分母为$(x+2)(x-2)$，且分母不为0，即$x≠±2$；
②两边同乘最简公分母去分母得：$(x-2)^2 -16 = x^2 -4$；
③展开化简：$x^2 -4x +4 -16 = x^2 -4$，消去$x^2$后得$-4x=8$，解得$x=-2$；
④验根：将$x=-2$代入最简公分母，得$(x+2)(x-2)=0$，故$x=-2$是增根，原方程无解，B正确。
C选项：方程$\frac{x}{x^2+x}=\frac{3x}{x^2+x}$：
①分母$x^2+x=x(x+1)≠0$，即$x≠0$且$x≠-1$；
②移项合并得$\frac{-2x}{x^2+x}=0$，若分子为0则$x=0$，但$x=0$时分母为0，属于增根，原方程无解，C错误。
D选项：解分式方程时，只有整式方程的根使原分式方程分母为0时才会产生增根，增根不是必然出现的，D错误。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的定义；分式方程的解；分式方程的增根
【点评】
本题属于分式方程基础概念题，重点考查解分式方程的验根步骤和增根的判定，只要熟练掌握分式方程的相关定义和求解注意事项，就能快速判断选项对错。
【难度系数】
0.7
4.若关于$x$的方程$\frac{x}{x-3}+\frac{2}{m-x}=2$的解为$x=4$，则$m=$（
A.3
B.4
C.5
D.6
A
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
4.A
解析
【分析】
方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，已知本题中方程的解为x=4，解题核心思路是将x=4代入原分式方程，即可得到仅含未知数m的一元一次方程，再按照一元一次方程的解法求解m即可，求解后需检验分母不为0，保证原式有意义。
【解析】
解：
∵ x=4是方程$\frac{x}{x-3}+\frac{2}{m-x}=2$的解
∴ 将x=4代入原方程，得：
$\frac{4}{4-3} + \frac{2}{m-4} = 2$
化简第一个分式得4，方程可整理为：
$4 + \frac{2}{m-4} = 2$
移项计算得：
$\frac{2}{m-4} = -2$
方程两边同时乘$(m-4)$（$m≠4$，保证分母不为0），得：
$2 = -2(m-4)$
去括号得：
$2 = -2m + 8$
移项合并同类项得：
$2m = 6$
系数化为1得：
$m=3$
检验：当m=3时，原方程分母$x-3=1≠0$，$m-x=-1≠0$，符合分式有意义的条件，结果成立。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解、一元一次方程求解、分式有意义条件
【点评】
本题属于基础题型，考查利用分式方程的解求未知参数，只需将已知解代入原方程转化为一元一次方程求解即可，计算时注意符号不要出错，解完可验证分母不为0确保结果正确。
【难度系数】
0.8
方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，已知本题中方程的解为x=4，解题核心思路是将x=4代入原分式方程，即可得到仅含未知数m的一元一次方程，再按照一元一次方程的解法求解m即可，求解后需检验分母不为0，保证原式有意义。
【解析】
解：
∵ x=4是方程$\frac{x}{x-3}+\frac{2}{m-x}=2$的解
∴ 将x=4代入原方程，得：
$\frac{4}{4-3} + \frac{2}{m-4} = 2$
化简第一个分式得4，方程可整理为：
$4 + \frac{2}{m-4} = 2$
移项计算得：
$\frac{2}{m-4} = -2$
方程两边同时乘$(m-4)$（$m≠4$，保证分母不为0），得：
$2 = -2(m-4)$
去括号得：
$2 = -2m + 8$
移项合并同类项得：
$2m = 6$
系数化为1得：
$m=3$
检验：当m=3时，原方程分母$x-3=1≠0$，$m-x=-1≠0$，符合分式有意义的条件，结果成立。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解、一元一次方程求解、分式有意义条件
【点评】
本题属于基础题型，考查利用分式方程的解求未知参数，只需将已知解代入原方程转化为一元一次方程求解即可，计算时注意符号不要出错，解完可验证分母不为0确保结果正确。
【难度系数】
0.8
5.若关于$x$的分式方程$\frac{2m+x}{x-3} -1=\frac{2}{x}$有增根，则$m$的值为（
A.$-2$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$-\frac{3}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$或$-\frac{3}{2}$
C
）A.$-2$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$-\frac{3}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$或$-\frac{3}{2}$
答案
5.C
解析
【分析】
解这道题首先要明确分式方程增根的性质：增根是让原分式方程分母为0的根，同时也是去分母后得到的整式方程的根。解题思路分三步：第一步先找原分式方程分母为0时x的取值，确定可能的增根；第二步给分式方程去分母，转化为整式方程；第三步将可能的增根分别代入整式方程求解m，排除不符合的情况就能得到正确结果。
【解析】
首先确定原分式方程的分母为$x-3$和$x$，若方程有增根，则增根满足$x-3=0$或$x=0$，即可能的增根为$x=3$或$x=0$。
给原方程两边同时乘最简公分母$x(x-3)$去分母，得：
$x(2m+x) - x(x-3) = 2(x-3)$
展开并化简：
$2mx + x^2 - x^2 + 3x = 2x - 6$
消去$x^2$后整理得：
$2mx + x + 6 = 0$
① 将$x=0$代入上式，左边$=0+0+6=6≠0$，不满足整式方程，所以$x=0$不是该方程的增根；
② 将$x=3$代入上式，得：
$2m×3 + 3 + 6 = 0$
$6m +9=0$
解得$m=-\frac{3}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的增根；分式方程的解法
【点评】
本题重点考查分式方程增根的应用，解题时要注意增根需要同时满足“使原分式分母为0”和“是去分母后整式方程的根”两个条件，不要直接把所有可能的增根代入就得出结果，要注意验证，避免误选。
【难度系数】
0.6
解这道题首先要明确分式方程增根的性质：增根是让原分式方程分母为0的根，同时也是去分母后得到的整式方程的根。解题思路分三步：第一步先找原分式方程分母为0时x的取值，确定可能的增根；第二步给分式方程去分母，转化为整式方程；第三步将可能的增根分别代入整式方程求解m，排除不符合的情况就能得到正确结果。
【解析】
首先确定原分式方程的分母为$x-3$和$x$，若方程有增根，则增根满足$x-3=0$或$x=0$，即可能的增根为$x=3$或$x=0$。
给原方程两边同时乘最简公分母$x(x-3)$去分母，得：
$x(2m+x) - x(x-3) = 2(x-3)$
展开并化简：
$2mx + x^2 - x^2 + 3x = 2x - 6$
消去$x^2$后整理得：
$2mx + x + 6 = 0$
① 将$x=0$代入上式，左边$=0+0+6=6≠0$，不满足整式方程，所以$x=0$不是该方程的增根；
② 将$x=3$代入上式，得：
$2m×3 + 3 + 6 = 0$
$6m +9=0$
解得$m=-\frac{3}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的增根；分式方程的解法
【点评】
本题重点考查分式方程增根的应用，解题时要注意增根需要同时满足“使原分式分母为0”和“是去分母后整式方程的根”两个条件，不要直接把所有可能的增根代入就得出结果，要注意验证，避免误选。
【难度系数】
0.6
6.某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务.设原计划每天生产零件x个，依题意列方程为（
A.$\frac{210}{x} - \frac{210}{1.5x} =5$
B.$\frac{210}{x} - \frac{210}{x -1.5} =5$
C.$\frac{210}{1.5 +x} - \frac{210}{x} =5$
D.$\frac{210}{5} =1.5 + \frac{210}{x}$
A
）A.$\frac{210}{x} - \frac{210}{1.5x} =5$
B.$\frac{210}{x} - \frac{210}{x -1.5} =5$
C.$\frac{210}{1.5 +x} - \frac{210}{x} =5$
D.$\frac{210}{5} =1.5 + \frac{210}{x}$
答案
6.A
解析
【分析】
这是一道分式方程实际应用的题目，解题思路分为三步：第一步先找核心等量关系，题目明确说“提前5天完成任务”，也就是原计划完成任务的时间 - 实际完成任务的时间 = 5天；第二步用已知量和未知数分别表示两个时间，我们知道工程问题的基本公式是“工作时间=工作总量÷工作效率”，总零件数固定为210个，原计划每天生产x个，就能先表示出原计划的时间；实际每天效率是原计划的1.5倍，再表示出实际的时间；第三步把两个时间代入等量关系就能得到方程。
【解析】
根据工程问题公式：工作时间=工作总量÷工作效率
1. 计算原计划完成任务的时间：总零件210个，原计划每天生产x个，所以原计划时间为$\frac{210}{x}$天；
2. 计算实际完成任务的时间：实际每天生产数量是原计划的1.5倍，即实际每天生产$1.5x$个，所以实际时间为$\frac{210}{1.5x}$天；
3. 根据“原计划时间 - 实际时间=提前的5天”，列方程得：$\frac{210}{x} - \frac{210}{1.5x} =5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程应用、工程问题数量关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，核心是找准题干中的时间差等量关系，正确区分原计划和实际的工作效率，不要把两个时间的相减顺序搞反即可。
【难度系数】
0.8
这是一道分式方程实际应用的题目，解题思路分为三步：第一步先找核心等量关系，题目明确说“提前5天完成任务”，也就是原计划完成任务的时间 - 实际完成任务的时间 = 5天；第二步用已知量和未知数分别表示两个时间，我们知道工程问题的基本公式是“工作时间=工作总量÷工作效率”，总零件数固定为210个，原计划每天生产x个，就能先表示出原计划的时间；实际每天效率是原计划的1.5倍，再表示出实际的时间；第三步把两个时间代入等量关系就能得到方程。
【解析】
根据工程问题公式：工作时间=工作总量÷工作效率
1. 计算原计划完成任务的时间：总零件210个，原计划每天生产x个，所以原计划时间为$\frac{210}{x}$天；
2. 计算实际完成任务的时间：实际每天生产数量是原计划的1.5倍，即实际每天生产$1.5x$个，所以实际时间为$\frac{210}{1.5x}$天；
3. 根据“原计划时间 - 实际时间=提前的5天”，列方程得：$\frac{210}{x} - \frac{210}{1.5x} =5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程应用、工程问题数量关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，核心是找准题干中的时间差等量关系，正确区分原计划和实际的工作效率，不要把两个时间的相减顺序搞反即可。
【难度系数】
0.8
7.八年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了15 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是自行车速度的2倍，设汽车到博物馆所需的时间为$x$ h，则下列方程正确的是（
A.$\frac{10}{x+0.25}=2×\frac{10}{x}$
B.$\frac{10}{x-0.25}=2×\frac{10}{x}$
C.$\frac{10}{x}=2×\frac{10}{x+0.25}$
D.$\frac{10}{x}=2×\frac{10}{x-0.25}$
C
）A.$\frac{10}{x+0.25}=2×\frac{10}{x}$
B.$\frac{10}{x-0.25}=2×\frac{10}{x}$
C.$\frac{10}{x}=2×\frac{10}{x+0.25}$
D.$\frac{10}{x}=2×\frac{10}{x-0.25}$
答案
7.C
解析
【分析】
这是一道行程类的列方程题目，解题思路如下：首先统一时间单位，将15分钟换算为0.25小时；其次根据“骑车学生先走15分钟、和乘汽车学生同时到达”的条件，推导两种出行方式的行驶时间关系：设汽车用时为x h，则骑自行车的总用时为（x+0.25）h；再根据“速度=路程÷时间”分别表示出汽车和自行车的速度；最后利用“汽车速度是自行车速度2倍”的等量关系列出方程，匹配对应选项即可。
【解析】
第一步：单位换算，$15\ \mathrm{min} = 15÷60 = 0.25\ \mathrm{h}$。
第二步：推导行驶时间，已知汽车到博物馆所需时间为$x\ \mathrm{h}$，骑车学生提前0.25 h出发且同时到达，因此骑自行车的学生总行驶时间为$(x + 0.25)\ \mathrm{h}$。
第三步：分别表示速度，根据$\mathrm{速度}=\mathrm{路程}÷\mathrm{时间}$，总路程为10 km：
汽车速度为 $\frac{10}{x}\ \mathrm{km/h}$，自行车速度为 $\frac{10}{x+0.25}\ \mathrm{km/h}$。
第四步：根据等量关系列方程，题目给出汽车速度是自行车速度的2倍，因此：
$\frac{10}{x}=2×\frac{10}{x+0.25}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
行程问题公式，分式方程应用，时间单位换算
【点评】
本题是行程类方程应用的基础题型，解题核心是找准两种出行方式的时间差，以及速度的倍数关系，列方程前注意先统一单位，避免因单位不匹配导致列错方程。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类的列方程题目，解题思路如下：首先统一时间单位，将15分钟换算为0.25小时；其次根据“骑车学生先走15分钟、和乘汽车学生同时到达”的条件，推导两种出行方式的行驶时间关系：设汽车用时为x h，则骑自行车的总用时为（x+0.25）h；再根据“速度=路程÷时间”分别表示出汽车和自行车的速度；最后利用“汽车速度是自行车速度2倍”的等量关系列出方程，匹配对应选项即可。
【解析】
第一步：单位换算，$15\ \mathrm{min} = 15÷60 = 0.25\ \mathrm{h}$。
第二步：推导行驶时间，已知汽车到博物馆所需时间为$x\ \mathrm{h}$，骑车学生提前0.25 h出发且同时到达，因此骑自行车的学生总行驶时间为$(x + 0.25)\ \mathrm{h}$。
第三步：分别表示速度，根据$\mathrm{速度}=\mathrm{路程}÷\mathrm{时间}$，总路程为10 km：
汽车速度为 $\frac{10}{x}\ \mathrm{km/h}$，自行车速度为 $\frac{10}{x+0.25}\ \mathrm{km/h}$。
第四步：根据等量关系列方程，题目给出汽车速度是自行车速度的2倍，因此：
$\frac{10}{x}=2×\frac{10}{x+0.25}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
行程问题公式，分式方程应用，时间单位换算
【点评】
本题是行程类方程应用的基础题型，解题核心是找准两种出行方式的时间差，以及速度的倍数关系，列方程前注意先统一单位，避免因单位不匹配导致列错方程。
【难度系数】
0.7
8.关于$x$的分式方程$\frac{x}{x-1}=\frac{3}{2x-2}-2$的解是
$x=\frac{7}{6}$
。答案
8.$x=\frac{7}{6}$
解析
【分析】
要解这个分式方程，需先将其转化为整式方程求解，思考步骤如下：1. 先对分母因式分解，确定最简公分母；2. 方程两边同时乘最简公分母消去分母，注意每一项都要乘，不能漏乘不含分母的项；3. 解所得整式方程得到未知数的值；4. 最后必须检验：把求得的根代入最简公分母，若公分母不为0，才是原方程的解，否则是增根需舍去。
【解析】
原方程可整理为：$\frac{x}{x-1}=\frac{3}{2(x-1)}-2$
由分母不为0可得$x≠1$，方程两边同时乘最简公分母$2(x-1)$去分母得：
$2x = 3 - 4(x-1)$
展开并整理右侧：
$2x = 3 - 4x + 4$
$2x = 7 - 4x$
移项得：$2x + 4x = 7$
合并同类项得：$6x = 7$
系数化为1得：$x=\frac{7}{6}$
检验：将$x=\frac{7}{6}$代入$2(x-1)$，得$2×(\frac{7}{6}-1)=\frac{1}{3}≠0$，因此$x=\frac{7}{6}$是原分式方程的解。
【答案】
$x=\frac{7}{6}$
【知识点】
分式方程的解法；整式方程求解；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，解题核心是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的常数项，二是忘记验根导致错把增根当解。
【难度系数】
0.8
要解这个分式方程，需先将其转化为整式方程求解，思考步骤如下：1. 先对分母因式分解，确定最简公分母；2. 方程两边同时乘最简公分母消去分母，注意每一项都要乘，不能漏乘不含分母的项；3. 解所得整式方程得到未知数的值；4. 最后必须检验：把求得的根代入最简公分母，若公分母不为0，才是原方程的解，否则是增根需舍去。
【解析】
原方程可整理为：$\frac{x}{x-1}=\frac{3}{2(x-1)}-2$
由分母不为0可得$x≠1$，方程两边同时乘最简公分母$2(x-1)$去分母得：
$2x = 3 - 4(x-1)$
展开并整理右侧：
$2x = 3 - 4x + 4$
$2x = 7 - 4x$
移项得：$2x + 4x = 7$
合并同类项得：$6x = 7$
系数化为1得：$x=\frac{7}{6}$
检验：将$x=\frac{7}{6}$代入$2(x-1)$，得$2×(\frac{7}{6}-1)=\frac{1}{3}≠0$，因此$x=\frac{7}{6}$是原分式方程的解。
【答案】
$x=\frac{7}{6}$
【知识点】
分式方程的解法；整式方程求解；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，解题核心是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的常数项，二是忘记验根导致错把增根当解。
【难度系数】
0.8
9.若关于x的分式方程$\frac{x}{x-3}+\frac{3a}{3-x}=2a$无解，则a的值为
1或$\frac{1}{2}$
。答案
9. 1或$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要解决分式方程无解的问题，首先明确分式方程无解分两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身没有解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的未知数的值）。解题时先把分式方程转化为整式方程，再分这两种情况分别计算a的值即可。
【解析】
首先整理原方程，注意到$3-x=-(x-3)$，原方程可变形为：
$\frac{x}{x-3}-\frac{3a}{x-3}=2a$
方程两边同时乘最简公分母$(x-3)$（此时$x≠3$），去分母得：
$x - 3a = 2a(x - 3)$
展开并整理整式方程：
$x - 3a = 2ax - 6a$
移项合并同类项得：
$(1 - 2a)x = -3a$
分两种情况讨论：
1. 当整式方程无解时，未知数的系数为0，常数项不为0：
令$1-2a=0$，解得$a=\frac{1}{2}$，此时左边为$0· x=0$，右边为$-3×\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$，$0≠-\frac{3}{2}$，整式方程无解，因此原分式方程无解。
2. 当整式方程的解是原分式方程的增根时，原方程分母为0，即$x=3$：
把$x=3$代入$(1 - 2a)x = -3a$，得：
$3(1 - 2a) = -3a$
解得：$3 - 6a = -3a$，$3a=3$，$a=1$。
此时整式方程的解为$x=3$，但$x=3$使原分式方程分母为0，是增根，原分式方程无解。
【答案】
1或$\frac{1}{2}$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解判定；解分式方程
【点评】
本题重点考查分式方程无解的分类讨论，解题时需注意不要遗漏整式方程本身无解的情况，全面分析才能得到完整的解。
【难度系数】
0.5
要解决分式方程无解的问题，首先明确分式方程无解分两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身没有解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的未知数的值）。解题时先把分式方程转化为整式方程，再分这两种情况分别计算a的值即可。
【解析】
首先整理原方程，注意到$3-x=-(x-3)$，原方程可变形为：
$\frac{x}{x-3}-\frac{3a}{x-3}=2a$
方程两边同时乘最简公分母$(x-3)$（此时$x≠3$），去分母得：
$x - 3a = 2a(x - 3)$
展开并整理整式方程：
$x - 3a = 2ax - 6a$
移项合并同类项得：
$(1 - 2a)x = -3a$
分两种情况讨论：
1. 当整式方程无解时，未知数的系数为0，常数项不为0：
令$1-2a=0$，解得$a=\frac{1}{2}$，此时左边为$0· x=0$，右边为$-3×\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$，$0≠-\frac{3}{2}$，整式方程无解，因此原分式方程无解。
2. 当整式方程的解是原分式方程的增根时，原方程分母为0，即$x=3$：
把$x=3$代入$(1 - 2a)x = -3a$，得：
$3(1 - 2a) = -3a$
解得：$3 - 6a = -3a$，$3a=3$，$a=1$。
此时整式方程的解为$x=3$，但$x=3$使原分式方程分母为0，是增根，原分式方程无解。
【答案】
1或$\frac{1}{2}$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解判定；解分式方程
【点评】
本题重点考查分式方程无解的分类讨论，解题时需注意不要遗漏整式方程本身无解的情况，全面分析才能得到完整的解。
【难度系数】
0.5
